حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{1}{4} t^{2} - \ln (t + 1)$

خطوة 1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $\frac{1}{4} t^{2} - \ln (t + 1)$ بالنسبة إلى $t$ هو $\frac{d}{d t} [\frac{1}{4} t^{2}] + \frac{d}{d t} [- \ln (t + 1)]$ .

$\frac{d}{d t} [\frac{1}{4} t^{2}] + \frac{d}{d t} [- \ln (t + 1)]$

خطوة 2

احسِب قيمة $\frac{d}{d t} [\frac{1}{4} t^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

بما أن $\frac{1}{4}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، إذن مشتق $\frac{1}{4} t^{2}$ بالنسبة إلى $t$ يساوي $\frac{1}{4} \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$\frac{1}{4} \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- \ln (t + 1)]$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ هو $n t^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{1}{4} (2 t) + \frac{d}{d t} [- \ln (t + 1)]$

خطوة 2.3

اجمع $2$ و $\frac{1}{4}$ .

$\frac{2}{4} t + \frac{d}{d t} [- \ln (t + 1)]$

خطوة 2.4

اجمع $\frac{2}{4}$ و $t$ .

$\frac{2 t}{4} + \frac{d}{d t} [- \ln (t + 1)]$

خطوة 2.5

احذِف العامل المشترك لـ $2$ و $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1

أخرِج العامل $2$ من $2 t$ .

$\frac{2 (t)}{4} + \frac{d}{d t} [- \ln (t + 1)]$

خطوة 2.5.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.2.1

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$\frac{2 t}{2 \cdot 2} + \frac{d}{d t} [- \ln (t + 1)]$

خطوة 2.5.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 t}{2 \cdot 2} + \frac{d}{d t} [- \ln (t + 1)]$

خطوة 2.5.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{t}{2} + \frac{d}{d t} [- \ln (t + 1)]$

خطوة 3

احسِب قيمة $\frac{d}{d t} [- \ln (t + 1)]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، إذن مشتق $- \ln (t + 1)$ بالنسبة إلى $t$ يساوي $- \frac{d}{d t} [\ln (t + 1)]$ .

$\frac{t}{2} - \frac{d}{d t} [\ln (t + 1)]$

خطوة 3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ هو $f' (g (t)) g' (t)$ حيث $f (t) = \ln (t)$ و $g (t) = t + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $t + 1$ .

$\frac{t}{2} - (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d t} [t + 1])$

خطوة 3.2.2

مشتق $\ln (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $\frac{1}{u}$ .

$\frac{t}{2} - (\frac{1}{u} \frac{d}{d t} [t + 1])$

خطوة 3.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $t + 1$ .

$\frac{t}{2} - (\frac{1}{t + 1} \frac{d}{d t} [t + 1])$

خطوة 3.3

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $t + 1$ بالنسبة إلى $t$ هو $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [1]$ .

$\frac{t}{2} - (\frac{1}{t + 1} (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [1]))$

خطوة 3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ هو $n t^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{t}{2} - (\frac{1}{t + 1} (1 + \frac{d}{d t} [1]))$

خطوة 3.5

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $t$ هو $0$ .

$\frac{t}{2} - (\frac{1}{t + 1} (1 + 0))$

خطوة 3.6

أضف $1$ و $0$ .

$\frac{t}{2} - (\frac{1}{t + 1} \cdot 1)$

خطوة 3.7

اضرب $\frac{1}{t + 1}$ في $1$ .

$\frac{t}{2} - \frac{1}{t + 1}$

خطوة 4

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

لكتابة $\frac{t}{2}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{t + 1}{t + 1}$ .

$\frac{t}{2} \cdot \frac{t + 1}{t + 1} - \frac{1}{t + 1}$

خطوة 4.2

لكتابة $- \frac{1}{t + 1}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$\frac{t}{2} \cdot \frac{t + 1}{t + 1} - \frac{1}{t + 1} \cdot \frac{2}{2}$

خطوة 4.3

اكتب كل عبارة قاسمها المشترك $2 (t + 1)$ ، بضربها في العامل المناسب للعدد $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

اضرب $\frac{t}{2}$ في $\frac{t + 1}{t + 1}$ .

$\frac{t (t + 1)}{2 (t + 1)} - \frac{1}{t + 1} \cdot \frac{2}{2}$

خطوة 4.3.2

اضرب $\frac{1}{t + 1}$ في $\frac{2}{2}$ .

$\frac{t (t + 1)}{2 (t + 1)} - \frac{2}{(t + 1) \cdot 2}$

خطوة 4.3.3

أعِد ترتيب عوامل $(t + 1) \cdot 2$ .

$\frac{t (t + 1)}{2 (t + 1)} - \frac{2}{2 (t + 1)}$

خطوة 4.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{t (t + 1) - 2}{2 (t + 1)}$