حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$(1 + \sqrt{t}) (2 t^{2} - 3)$

خطوة 1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{t}$ في صورة $t^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d t} [(1 + t^{\frac{1}{2}}) (2 t^{2} - 3)]$

خطوة 2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ هو $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ حيث $f (t) = 1 + t^{\frac{1}{2}}$ و $g (t) = 2 t^{2} - 3$ .

$(1 + t^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d t} [2 t^{2} - 3] + (2 t^{2} - 3) \frac{d}{d t} [1 + t^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $2 t^{2} - 3$ بالنسبة إلى $t$ هو $\frac{d}{d t} [2 t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 3]$ .

$(1 + t^{\frac{1}{2}}) (\frac{d}{d t} [2 t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 3]) + (2 t^{2} - 3) \frac{d}{d t} [1 + t^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 3.2

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، إذن مشتق $2 t^{2}$ بالنسبة إلى $t$ يساوي $2 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$(1 + t^{\frac{1}{2}}) (2 \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 3]) + (2 t^{2} - 3) \frac{d}{d t} [1 + t^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ هو $n t^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$(1 + t^{\frac{1}{2}}) (2 (2 t) + \frac{d}{d t} [- 3]) + (2 t^{2} - 3) \frac{d}{d t} [1 + t^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 3.4

اضرب $2$ في $2$ .

$(1 + t^{\frac{1}{2}}) (4 t + \frac{d}{d t} [- 3]) + (2 t^{2} - 3) \frac{d}{d t} [1 + t^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 3.5

بما أن $- 3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، فإن مشتق $- 3$ بالنسبة إلى $t$ هو $0$ .

$(1 + t^{\frac{1}{2}}) (4 t + 0) + (2 t^{2} - 3) \frac{d}{d t} [1 + t^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 3.6

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.1

أضف $4 t$ و $0$ .

$(1 + t^{\frac{1}{2}}) (4 t) + (2 t^{2} - 3) \frac{d}{d t} [1 + t^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 3.6.2

انقُل $4$ إلى يسار $1 + t^{\frac{1}{2}}$ .

$4 \cdot (1 + t^{\frac{1}{2}}) t + (2 t^{2} - 3) \frac{d}{d t} [1 + t^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 3.7

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $1 + t^{\frac{1}{2}}$ بالنسبة إلى $t$ هو $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]$ .

$4 (1 + t^{\frac{1}{2}}) t + (2 t^{2} - 3) (\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}])$

خطوة 3.8

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $t$ هو $0$ .

$4 (1 + t^{\frac{1}{2}}) t + (2 t^{2} - 3) (0 + \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}])$

خطوة 3.9

أضف $0$ و $\frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]$ .

$4 (1 + t^{\frac{1}{2}}) t + (2 t^{2} - 3) \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 3.10

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ هو $n t^{n - 1}$ حيث $n = \frac{1}{2}$ .

$4 (1 + t^{\frac{1}{2}}) t + (2 t^{2} - 3) (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1})$

خطوة 4

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$4 (1 + t^{\frac{1}{2}}) t + (2 t^{2} - 3) (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

خطوة 5

اجمع $- 1$ و $\frac{2}{2}$ .

$4 (1 + t^{\frac{1}{2}}) t + (2 t^{2} - 3) (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

خطوة 6

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$4 (1 + t^{\frac{1}{2}}) t + (2 t^{2} - 3) (\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

خطوة 7

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$4 (1 + t^{\frac{1}{2}}) t + (2 t^{2} - 3) (\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 2}{2}})$

خطوة 7.2

اطرح $2$ من $1$ .

$4 (1 + t^{\frac{1}{2}}) t + (2 t^{2} - 3) (\frac{1}{2} t^{\frac{- 1}{2}})$

خطوة 8

انقُل السالب أمام الكسر.

$4 (1 + t^{\frac{1}{2}}) t + (2 t^{2} - 3) (\frac{1}{2} t^{- \frac{1}{2}})$

خطوة 9

اجمع $\frac{1}{2}$ و $t^{- \frac{1}{2}}$ .

$4 (1 + t^{\frac{1}{2}}) t + (2 t^{2} - 3) \frac{t^{- \frac{1}{2}}}{2}$

خطوة 10

انقُل $t^{- \frac{1}{2}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$4 (1 + t^{\frac{1}{2}}) t + (2 t^{2} - 3) \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 11

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

طبّق خاصية التوزيع.

$(4 \cdot 1 + 4 t^{\frac{1}{2}}) t + (2 t^{2} - 3) \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 11.2

طبّق خاصية التوزيع.

$4 \cdot 1 t + 4 t^{\frac{1}{2}} t + (2 t^{2} - 3) \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 11.3

طبّق خاصية التوزيع.

$4 \cdot 1 t + 4 t^{\frac{1}{2}} t + 2 t^{2} \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - 3 \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 11.4

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.4.1

اضرب $4$ في $1$ .

$4 t + 4 t^{\frac{1}{2}} t + 2 t^{2} \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - 3 \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 11.4.2

ارفع $t$ إلى القوة $1$ .

$4 t + 4 (t^{1} t^{\frac{1}{2}}) + 2 t^{2} \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - 3 \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 11.4.3

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$4 t + 4 t^{1 + \frac{1}{2}} + 2 t^{2} \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - 3 \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 11.4.4

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$4 t + 4 t^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} + 2 t^{2} \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - 3 \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 11.4.5

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$4 t + 4 t^{\frac{2 + 1}{2}} + 2 t^{2} \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - 3 \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 11.4.6

أضف $2$ و $1$ .

$4 t + 4 t^{\frac{3}{2}} + 2 t^{2} \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - 3 \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 11.4.7

اجمع $2$ و $\frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}$ .

$4 t + 4 t^{\frac{3}{2}} + t^{2} \frac{2}{2 t^{\frac{1}{2}}} - 3 \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 11.4.8

اجمع $t^{2}$ و $\frac{2}{2 t^{\frac{1}{2}}}$ .

$4 t + 4 t^{\frac{3}{2}} + \frac{t^{2} \cdot 2}{2 t^{\frac{1}{2}}} - 3 \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 11.4.9

انقُل $2$ إلى يسار $t^{2}$ .

$4 t + 4 t^{\frac{3}{2}} + \frac{2 \cdot t^{2}}{2 t^{\frac{1}{2}}} - 3 \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 11.4.10

انقُل $t^{\frac{1}{2}}$ إلى بسط الكسر باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$4 t + 4 t^{\frac{3}{2}} + \frac{2 t^{2} t^{- \frac{1}{2}}}{2} - 3 \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 11.4.11

اضرب $t^{2}$ في $t^{- \frac{1}{2}}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.4.11.1

انقُل $t^{- \frac{1}{2}}$ .

$4 t + 4 t^{\frac{3}{2}} + \frac{2 (t^{- \frac{1}{2}} t^{2})}{2} - 3 \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 11.4.11.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$4 t + 4 t^{\frac{3}{2}} + \frac{2 t^{- \frac{1}{2} + 2}}{2} - 3 \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 11.4.11.3

لكتابة $2$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$4 t + 4 t^{\frac{3}{2}} + \frac{2 t^{- \frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{2}{2}}}{2} - 3 \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 11.4.11.4

اجمع $2$ و $\frac{2}{2}$ .

$4 t + 4 t^{\frac{3}{2}} + \frac{2 t^{- \frac{1}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2}}}{2} - 3 \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 11.4.11.5

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$4 t + 4 t^{\frac{3}{2}} + \frac{2 t^{\frac{- 1 + 2 \cdot 2}{2}}}{2} - 3 \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 11.4.11.6

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.4.11.6.1

اضرب $2$ في $2$ .

$4 t + 4 t^{\frac{3}{2}} + \frac{2 t^{\frac{- 1 + 4}{2}}}{2} - 3 \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 11.4.11.6.2

أضف $- 1$ و $4$ .

$4 t + 4 t^{\frac{3}{2}} + \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{2} - 3 \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 11.4.12

ألغِ العامل المشترك.

$4 t + 4 t^{\frac{3}{2}} + \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{2} - 3 \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 11.4.13

اقسِم $t^{\frac{3}{2}}$ على $1$ .

$4 t + 4 t^{\frac{3}{2}} + t^{\frac{3}{2}} - 3 \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 11.4.14

اجمع $- 3$ و $\frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}$ .

$4 t + 4 t^{\frac{3}{2}} + t^{\frac{3}{2}} + \frac{- 3}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 11.4.15

انقُل السالب أمام الكسر.

$4 t + 4 t^{\frac{3}{2}} + t^{\frac{3}{2}} - \frac{3}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 11.4.16

أضف $4 t^{\frac{3}{2}}$ و $t^{\frac{3}{2}}$ .

$4 t + 5 t^{\frac{3}{2}} - \frac{3}{2 t^{\frac{1}{2}}}$