حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

${(\frac{5 t^{2}}{3 t^{2} + 2})}^{3}$

خطوة 1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ هو $f' (g (t)) g' (t)$ حيث $f (t) = t^{3}$ و $g (t) = \frac{5 t^{2}}{3 t^{2} + 2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $\frac{5 t^{2}}{3 t^{2} + 2}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d t} [\frac{5 t^{2}}{3 t^{2} + 2}]$

خطوة 1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$3 u^{2} \frac{d}{d t} [\frac{5 t^{2}}{3 t^{2} + 2}]$

خطوة 1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $\frac{5 t^{2}}{3 t^{2} + 2}$ .

$3 {(\frac{5 t^{2}}{3 t^{2} + 2})}^{2} \frac{d}{d t} [\frac{5 t^{2}}{3 t^{2} + 2}]$

خطوة 2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة المضاعف الثابت.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

بما أن $5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، إذن مشتق $\frac{5 t^{2}}{3 t^{2} + 2}$ بالنسبة إلى $t$ يساوي $5 \frac{d}{d t} [\frac{t^{2}}{3 t^{2} + 2}]$ .

$3 {(\frac{5 t^{2}}{3 t^{2} + 2})}^{2} (5 \frac{d}{d t} [\frac{t^{2}}{3 t^{2} + 2}])$

خطوة 2.2

اضرب $5$ في $3$ .

$15 {(\frac{5 t^{2}}{3 t^{2} + 2})}^{2} \frac{d}{d t} [\frac{t^{2}}{3 t^{2} + 2}]$

خطوة 3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ هو $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ حيث $f (t) = t^{2}$ و $g (t) = 3 t^{2} + 2$ .

$15 {(\frac{5 t^{2}}{3 t^{2} + 2})}^{2} \frac{(3 t^{2} + 2) \frac{d}{d t} [t^{2}] - t^{2} \frac{d}{d t} [3 t^{2} + 2]}{{(3 t^{2} + 2)}^{2}}$

خطوة 4

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ هو $n t^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$15 {(\frac{5 t^{2}}{3 t^{2} + 2})}^{2} \frac{(3 t^{2} + 2) (2 t) - t^{2} \frac{d}{d t} [3 t^{2} + 2]}{{(3 t^{2} + 2)}^{2}}$

خطوة 4.2

انقُل $2$ إلى يسار $3 t^{2} + 2$ .

$15 {(\frac{5 t^{2}}{3 t^{2} + 2})}^{2} \frac{2 \cdot (3 t^{2} + 2) t - t^{2} \frac{d}{d t} [3 t^{2} + 2]}{{(3 t^{2} + 2)}^{2}}$

خطوة 4.3

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $3 t^{2} + 2$ بالنسبة إلى $t$ هو $\frac{d}{d t} [3 t^{2}] + \frac{d}{d t} [2]$ .

$15 {(\frac{5 t^{2}}{3 t^{2} + 2})}^{2} \frac{2 (3 t^{2} + 2) t - t^{2} (\frac{d}{d t} [3 t^{2}] + \frac{d}{d t} [2])}{{(3 t^{2} + 2)}^{2}}$

خطوة 4.4

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، إذن مشتق $3 t^{2}$ بالنسبة إلى $t$ يساوي $3 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$15 {(\frac{5 t^{2}}{3 t^{2} + 2})}^{2} \frac{2 (3 t^{2} + 2) t - t^{2} (3 \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [2])}{{(3 t^{2} + 2)}^{2}}$

خطوة 4.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ هو $n t^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$15 {(\frac{5 t^{2}}{3 t^{2} + 2})}^{2} \frac{2 (3 t^{2} + 2) t - t^{2} (3 (2 t) + \frac{d}{d t} [2])}{{(3 t^{2} + 2)}^{2}}$

خطوة 4.6

اضرب $2$ في $3$ .

$15 {(\frac{5 t^{2}}{3 t^{2} + 2})}^{2} \frac{2 (3 t^{2} + 2) t - t^{2} (6 t + \frac{d}{d t} [2])}{{(3 t^{2} + 2)}^{2}}$

خطوة 4.7

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، فإن مشتق $2$ بالنسبة إلى $t$ هو $0$ .

$15 {(\frac{5 t^{2}}{3 t^{2} + 2})}^{2} \frac{2 (3 t^{2} + 2) t - t^{2} (6 t + 0)}{{(3 t^{2} + 2)}^{2}}$

خطوة 4.8

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.8.1

أضف $6 t$ و $0$ .

$15 {(\frac{5 t^{2}}{3 t^{2} + 2})}^{2} \frac{2 (3 t^{2} + 2) t - t^{2} (6 t)}{{(3 t^{2} + 2)}^{2}}$

خطوة 4.8.2

اضرب $6$ في $- 1$ .

$15 {(\frac{5 t^{2}}{3 t^{2} + 2})}^{2} \frac{2 (3 t^{2} + 2) t - 6 t^{2} t}{{(3 t^{2} + 2)}^{2}}$

خطوة 5

ارفع $t$ إلى القوة $1$ .

$15 {(\frac{5 t^{2}}{3 t^{2} + 2})}^{2} \frac{2 (3 t^{2} + 2) t - 6 (t^{1} t^{2})}{{(3 t^{2} + 2)}^{2}}$

خطوة 6

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$15 {(\frac{5 t^{2}}{3 t^{2} + 2})}^{2} \frac{2 (3 t^{2} + 2) t - 6 t^{1 + 2}}{{(3 t^{2} + 2)}^{2}}$

خطوة 7

أضف $1$ و $2$ .

$15 {(\frac{5 t^{2}}{3 t^{2} + 2})}^{2} \frac{2 (3 t^{2} + 2) t - 6 t^{3}}{{(3 t^{2} + 2)}^{2}}$

خطوة 8

اجمع $\frac{2 (3 t^{2} + 2) t - 6 t^{3}}{{(3 t^{2} + 2)}^{2}}$ و $15$ .

$\frac{(2 (3 t^{2} + 2) t - 6 t^{3}) \cdot 15}{{(3 t^{2} + 2)}^{2}} {(\frac{5 t^{2}}{3 t^{2} + 2})}^{2}$

خطوة 9

انقُل $15$ إلى يسار $2 (3 t^{2} + 2) t - 6 t^{3}$ .

$\frac{15 \cdot (2 (3 t^{2} + 2) t - 6 t^{3})}{{(3 t^{2} + 2)}^{2}} {(\frac{5 t^{2}}{3 t^{2} + 2})}^{2}$

خطوة 10

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{5 t^{2}}{3 t^{2} + 2}$ .

$\frac{15 (2 (3 t^{2} + 2) t - 6 t^{3})}{{(3 t^{2} + 2)}^{2}} \cdot \frac{{(5 t^{2})}^{2}}{{(3 t^{2} + 2)}^{2}}$

خطوة 10.2

طبّق قاعدة الضرب على $5 t^{2}$ .

$\frac{15 (2 (3 t^{2} + 2) t - 6 t^{3})}{{(3 t^{2} + 2)}^{2}} \cdot \frac{5^{2} {(t^{2})}^{2}}{{(3 t^{2} + 2)}^{2}}$

خطوة 10.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{15 ((2 (3 t^{2}) + 2 \cdot 2) t - 6 t^{3})}{{(3 t^{2} + 2)}^{2}} \cdot \frac{5^{2} {(t^{2})}^{2}}{{(3 t^{2} + 2)}^{2}}$

خطوة 10.4

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{15 (2 (3 t^{2}) t + 2 \cdot 2 t - 6 t^{3})}{{(3 t^{2} + 2)}^{2}} \cdot \frac{5^{2} {(t^{2})}^{2}}{{(3 t^{2} + 2)}^{2}}$

خطوة 10.5

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{15 (2 (3 t^{2}) t) + 15 (2 \cdot 2 t) + 15 (- 6 t^{3})}{{(3 t^{2} + 2)}^{2}} \cdot \frac{5^{2} {(t^{2})}^{2}}{{(3 t^{2} + 2)}^{2}}$

خطوة 10.6

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.6.1

اضرب $3$ في $2$ .

$\frac{15 (6 t^{2} t) + 15 (2 \cdot 2 t) + 15 (- 6 t^{3})}{{(3 t^{2} + 2)}^{2}} \cdot \frac{5^{2} {(t^{2})}^{2}}{{(3 t^{2} + 2)}^{2}}$

خطوة 10.6.2

ارفع $t$ إلى القوة $1$ .

$\frac{15 (6 (t^{1} t^{2})) + 15 (2 \cdot 2 t) + 15 (- 6 t^{3})}{{(3 t^{2} + 2)}^{2}} \cdot \frac{5^{2} {(t^{2})}^{2}}{{(3 t^{2} + 2)}^{2}}$

خطوة 10.6.3

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{15 (6 t^{1 + 2}) + 15 (2 \cdot 2 t) + 15 (- 6 t^{3})}{{(3 t^{2} + 2)}^{2}} \cdot \frac{5^{2} {(t^{2})}^{2}}{{(3 t^{2} + 2)}^{2}}$

خطوة 10.6.4

أضف $1$ و $2$ .

$\frac{15 (6 t^{3}) + 15 (2 \cdot 2 t) + 15 (- 6 t^{3})}{{(3 t^{2} + 2)}^{2}} \cdot \frac{5^{2} {(t^{2})}^{2}}{{(3 t^{2} + 2)}^{2}}$

خطوة 10.6.5

اضرب $6$ في $15$ .

$\frac{90 t^{3} + 15 (2 \cdot 2 t) + 15 (- 6 t^{3})}{{(3 t^{2} + 2)}^{2}} \cdot \frac{5^{2} {(t^{2})}^{2}}{{(3 t^{2} + 2)}^{2}}$

خطوة 10.6.6

اضرب $2$ في $2$ .

$\frac{90 t^{3} + 15 (4 t) + 15 (- 6 t^{3})}{{(3 t^{2} + 2)}^{2}} \cdot \frac{5^{2} {(t^{2})}^{2}}{{(3 t^{2} + 2)}^{2}}$

خطوة 10.6.7

اضرب $4$ في $15$ .

$\frac{90 t^{3} + 60 t + 15 (- 6 t^{3})}{{(3 t^{2} + 2)}^{2}} \cdot \frac{5^{2} {(t^{2})}^{2}}{{(3 t^{2} + 2)}^{2}}$

خطوة 10.6.8

اضرب $- 6$ في $15$ .

$\frac{90 t^{3} + 60 t - 90 t^{3}}{{(3 t^{2} + 2)}^{2}} \cdot \frac{5^{2} {(t^{2})}^{2}}{{(3 t^{2} + 2)}^{2}}$

خطوة 10.6.9

اطرح $90 t^{3}$ من $90 t^{3}$ .

$\frac{60 t + 0}{{(3 t^{2} + 2)}^{2}} \cdot \frac{5^{2} {(t^{2})}^{2}}{{(3 t^{2} + 2)}^{2}}$

خطوة 10.6.10

أضف $60 t$ و $0$ .

$\frac{60 t}{{(3 t^{2} + 2)}^{2}} \cdot \frac{5^{2} {(t^{2})}^{2}}{{(3 t^{2} + 2)}^{2}}$

خطوة 10.6.11

ارفع $5$ إلى القوة $2$ .

$\frac{60 t}{{(3 t^{2} + 2)}^{2}} \cdot \frac{25 {(t^{2})}^{2}}{{(3 t^{2} + 2)}^{2}}$

خطوة 10.6.12

اضرب الأُسس في ${(t^{2})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.6.12.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{60 t}{{(3 t^{2} + 2)}^{2}} \cdot \frac{25 t^{2 \cdot 2}}{{(3 t^{2} + 2)}^{2}}$

خطوة 10.6.12.2

اضرب $2$ في $2$ .

$\frac{60 t}{{(3 t^{2} + 2)}^{2}} \cdot \frac{25 t^{4}}{{(3 t^{2} + 2)}^{2}}$

خطوة 10.6.13

اضرب $\frac{60 t}{{(3 t^{2} + 2)}^{2}}$ في $\frac{25 t^{4}}{{(3 t^{2} + 2)}^{2}}$ .

$\frac{60 t (25 t^{4})}{{(3 t^{2} + 2)}^{2} {(3 t^{2} + 2)}^{2}}$

خطوة 10.6.14

اضرب $25$ في $60$ .

$\frac{1500 t \cdot t^{4}}{{(3 t^{2} + 2)}^{2} {(3 t^{2} + 2)}^{2}}$

خطوة 10.6.15

اضرب $t$ في $t^{4}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.6.15.1

انقُل $t^{4}$ .

$\frac{1500 (t^{4} t)}{{(3 t^{2} + 2)}^{2} {(3 t^{2} + 2)}^{2}}$

خطوة 10.6.15.2

اضرب $t^{4}$ في $t$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.6.15.2.1

ارفع $t$ إلى القوة $1$ .

$\frac{1500 (t^{4} t^{1})}{{(3 t^{2} + 2)}^{2} {(3 t^{2} + 2)}^{2}}$

خطوة 10.6.15.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{1500 t^{4 + 1}}{{(3 t^{2} + 2)}^{2} {(3 t^{2} + 2)}^{2}}$

خطوة 10.6.15.3

أضف $4$ و $1$ .

$\frac{1500 t^{5}}{{(3 t^{2} + 2)}^{2} {(3 t^{2} + 2)}^{2}}$

خطوة 10.6.16

اضرب ${(3 t^{2} + 2)}^{2}$ في ${(3 t^{2} + 2)}^{2}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.6.16.1

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{1500 t^{5}}{{(3 t^{2} + 2)}^{2 + 2}}$

خطوة 10.6.16.2

أضف $2$ و $2$ .

$\frac{1500 t^{5}}{{(3 t^{2} + 2)}^{4}}$