حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{2 x - 1}{{(x + 1)}^{3}}$

خطوة 1

فكّ الكسر واضرب في القاسم المشترك.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أنشئ كسرًا جديدًا لكل عامل في القاسم باستخدام العامل كقاسم، وقيمة غير معروفة كبسط الكسر. ونظرًا إلى أن العامل في القاسم خطي، ضع متغيرًا واحدًا في مكانه $A$ .

$\frac{A}{{(x + 1)}^{3}}$

خطوة 1.2

أنشئ كسرًا جديدًا لكل عامل في القاسم باستخدام العامل كقاسم، وقيمة غير معروفة كبسط الكسر. ونظرًا إلى أن العامل في القاسم خطي، ضع متغيرًا واحدًا في مكانه $B$ .

$\frac{A}{{(x + 1)}^{3}} + \frac{B}{{(x + 1)}^{2}}$

خطوة 1.3

أنشئ كسرًا جديدًا لكل عامل في القاسم باستخدام العامل كقاسم، وقيمة غير معروفة كبسط الكسر. ونظرًا إلى أن العامل في القاسم خطي، ضع متغيرًا واحدًا في مكانه $C$ .

$\frac{A}{{(x + 1)}^{3}} + \frac{B}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{C}{x + 1}$

خطوة 1.4

اضرب كل كسر في المعادلة في قاسم العبارة الأصلية. في هذه الحالة، القاسم يساوي ${(x + 1)}^{3}$ .

$\frac{(2 x - 1) {(x + 1)}^{3}}{{(x + 1)}^{3}} = \frac{(A) {(x + 1)}^{3}}{{(x + 1)}^{3}} + \frac{(B) {(x + 1)}^{3}}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{(C) {(x + 1)}^{3}}{x + 1}$

خطوة 1.5

ألغِ العامل المشترك لـ ${(x + 1)}^{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{(2 x - 1) {(x + 1)}^{3}}{{(x + 1)}^{3}} = \frac{(A) {(x + 1)}^{3}}{{(x + 1)}^{3}} + \frac{(B) {(x + 1)}^{3}}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{(C) {(x + 1)}^{3}}{x + 1}$

خطوة 1.5.2

اقسِم $2 x - 1$ على $1$ .

$2 x - 1 = \frac{(A) {(x + 1)}^{3}}{{(x + 1)}^{3}} + \frac{(B) {(x + 1)}^{3}}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{(C) {(x + 1)}^{3}}{x + 1}$

خطوة 1.6

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.6.1

ألغِ العامل المشترك لـ ${(x + 1)}^{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.6.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$2 x - 1 = \frac{A {(x + 1)}^{3}}{{(x + 1)}^{3}} + \frac{(B) {(x + 1)}^{3}}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{(C) {(x + 1)}^{3}}{x + 1}$

خطوة 1.6.1.2

اقسِم $A$ على $1$ .

$2 x - 1 = A + \frac{(B) {(x + 1)}^{3}}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{(C) {(x + 1)}^{3}}{x + 1}$

خطوة 1.6.2

احذِف العامل المشترك لـ ${(x + 1)}^{3}$ و ${(x + 1)}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.6.2.1

أخرِج العامل ${(x + 1)}^{2}$ من $(B) {(x + 1)}^{3}$ .

$2 x - 1 = A + \frac{{(x + 1)}^{2} (B (x + 1))}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{(C) {(x + 1)}^{3}}{x + 1}$

خطوة 1.6.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.6.2.2.1

اضرب في $1$ .

$2 x - 1 = A + \frac{{(x + 1)}^{2} (B (x + 1))}{{(x + 1)}^{2} \cdot 1} + \frac{(C) {(x + 1)}^{3}}{x + 1}$

خطوة 1.6.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$2 x - 1 = A + \frac{{(x + 1)}^{2} (B (x + 1))}{{(x + 1)}^{2} \cdot 1} + \frac{(C) {(x + 1)}^{3}}{x + 1}$

خطوة 1.6.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$2 x - 1 = A + \frac{B (x + 1)}{1} + \frac{(C) {(x + 1)}^{3}}{x + 1}$

خطوة 1.6.2.2.4

اقسِم $B (x + 1)$ على $1$ .

$2 x - 1 = A + B (x + 1) + \frac{(C) {(x + 1)}^{3}}{x + 1}$

خطوة 1.6.3

طبّق خاصية التوزيع.

$2 x - 1 = A + B x + B \cdot 1 + \frac{(C) {(x + 1)}^{3}}{x + 1}$

خطوة 1.6.4

اضرب $B$ في $1$ .

$2 x - 1 = A + B x + B + \frac{(C) {(x + 1)}^{3}}{x + 1}$

خطوة 1.6.5

احذِف العامل المشترك لـ ${(x + 1)}^{3}$ و $x + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.6.5.1

أخرِج العامل $x + 1$ من $(C) {(x + 1)}^{3}$ .

$2 x - 1 = A + B x + B + \frac{(x + 1) (C {(x + 1)}^{2})}{x + 1}$

خطوة 1.6.5.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.6.5.2.1

اضرب في $1$ .

$2 x - 1 = A + B x + B + \frac{(x + 1) (C {(x + 1)}^{2})}{(x + 1) \cdot 1}$

خطوة 1.6.5.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$2 x - 1 = A + B x + B + \frac{(x + 1) (C {(x + 1)}^{2})}{(x + 1) \cdot 1}$

خطوة 1.6.5.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$2 x - 1 = A + B x + B + \frac{C {(x + 1)}^{2}}{1}$

خطوة 1.6.5.2.4

اقسِم $C {(x + 1)}^{2}$ على $1$ .

$2 x - 1 = A + B x + B + C {(x + 1)}^{2}$

خطوة 1.6.6

أعِد كتابة ${(x + 1)}^{2}$ بالصيغة $(x + 1) (x + 1)$ .

$2 x - 1 = A + B x + B + C ((x + 1) (x + 1))$

خطوة 1.6.7

وسّع $(x + 1) (x + 1)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.6.7.1

طبّق خاصية التوزيع.

$2 x - 1 = A + B x + B + C (x (x + 1) + 1 (x + 1))$

خطوة 1.6.7.2

طبّق خاصية التوزيع.

$2 x - 1 = A + B x + B + C (x \cdot x + x \cdot 1 + 1 (x + 1))$

خطوة 1.6.7.3

طبّق خاصية التوزيع.

$2 x - 1 = A + B x + B + C (x \cdot x + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1)$

خطوة 1.6.8

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.6.8.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.6.8.1.1

اضرب $x$ في $x$ .

$2 x - 1 = A + B x + B + C (x^{2} + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1)$

خطوة 1.6.8.1.2

اضرب $x$ في $1$ .

$2 x - 1 = A + B x + B + C (x^{2} + x + 1 x + 1 \cdot 1)$

خطوة 1.6.8.1.3

اضرب $x$ في $1$ .

$2 x - 1 = A + B x + B + C (x^{2} + x + x + 1 \cdot 1)$

خطوة 1.6.8.1.4

اضرب $1$ في $1$ .

$2 x - 1 = A + B x + B + C (x^{2} + x + x + 1)$

خطوة 1.6.8.2

أضف $x$ و $x$ .

$2 x - 1 = A + B x + B + C (x^{2} + 2 x + 1)$

خطوة 1.6.9

طبّق خاصية التوزيع.

$2 x - 1 = A + B x + B + C x^{2} + C (2 x) + C \cdot 1$

خطوة 1.6.10

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.6.10.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$2 x - 1 = A + B x + B + C x^{2} + 2 C x + C \cdot 1$

خطوة 1.6.10.2

اضرب $C$ في $1$ .

$2 x - 1 = A + B x + B + C x^{2} + 2 C x + C$

خطوة 1.7

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.1

انقُل $B$ .

$2 x - 1 = A + B x + C x^{2} + 2 C x + B + C$

خطوة 1.7.2

انقُل $A$ .

$2 x - 1 = B x + C x^{2} + 2 C x + A + B + C$

خطوة 1.7.3

أعِد ترتيب $B x$ و $C x^{2}$ .

$2 x - 1 = C x^{2} + B x + 2 C x + A + B + C$

خطوة 2

أنشئ معادلات لمتغيرات الكسور الجزئية واستخدمها لتعيين سلسلة معادلات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أنشئ معادلة لمتغيرات الكسر الجزئي عن طريق معادلة معاملات $x^{2}$ من كل متعادل. ولكي تكون المعادلة متساوية، يجب أن تكون المعاملات المتكافئة في كل متعادل متساوية.

$0 = C$

خطوة 2.2

أنشئ معادلة لمتغيرات الكسر الجزئي عن طريق معادلة معاملات $x$ من كل متعادل. ولكي تكون المعادلة متساوية، يجب أن تكون المعاملات المتكافئة في كل متعادل متساوية.

$2 = B + 2 C$

خطوة 2.3

أنشئ معادلة لمتغيرات الكسر الجزئي عن طريق معادلة معاملات الحدود التي لا تتضمن $x$ . ولكي تكون المعادلة متساوية، يجب أن تكون المعاملات المتكافئة في كل متعادل متساوية.

$- 1 = A + B + C$

خطوة 2.4

عيّن سلسلة المعادلات لإيجاد معاملات الكسور الجزئية.

$0 = C$

$2 = B + 2 C$

$- 1 = A + B + C$

$0 = C$

$2 = B + 2 C$

$- 1 = A + B + C$

خطوة 3

أوجِد حل سلسلة المعادلات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $C = 0$ .

$C = 0$

$2 = B + 2 C$

$- 1 = A + B + C$

خطوة 3.2

استبدِل كافة حالات حدوث $C$ بـ $0$ في كل معادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

استبدِل كافة حالات حدوث $C$ في $2 = B + 2 C$ بـ $0$ .

$2 = B + 2 (0)$

$C = 0$

$- 1 = A + B + C$

خطوة 3.2.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1

بسّط $B + 2 (0)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1.1

اضرب $2$ في $0$ .

$2 = B + 0$

$C = 0$

$- 1 = A + B + C$

خطوة 3.2.2.1.2

أضف $B$ و $0$ .

$2 = B$

$C = 0$

$- 1 = A + B + C$

$2 = B$

$C = 0$

$- 1 = A + B + C$

$2 = B$

$C = 0$

$- 1 = A + B + C$

خطوة 3.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $C$ في $- 1 = A + B + C$ بـ $0$ .

$- 1 = A + B + 0$

$2 = B$

$C = 0$

خطوة 3.2.4

بسّط $- 1 = A + B + 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.4.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.4.1.1

احذِف الأقواس.

$- 1 = A + B + 0$

$2 = B$

$C = 0$

$- 1 = A + B + 0$

$2 = B$

$C = 0$

خطوة 3.2.4.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.4.2.1

أضف $A + B$ و $0$ .

$- 1 = A + B$

$2 = B$

$C = 0$

$- 1 = A + B$

$2 = B$

$C = 0$

$- 1 = A + B$

$2 = B$

$C = 0$

$- 1 = A + B$

$2 = B$

$C = 0$

خطوة 3.3

أعِد كتابة المعادلة في صورة $B = 2$ .

$B = 2$

$- 1 = A + B$

$C = 0$

خطوة 3.4

استبدِل كافة حالات حدوث $B$ بـ $2$ في كل معادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

استبدِل كافة حالات حدوث $B$ في $- 1 = A + B$ بـ $2$ .

$- 1 = A + 2$

$B = 2$

$C = 0$

خطوة 3.4.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.2.1

احذِف الأقواس.

$- 1 = A + 2$

$B = 2$

$C = 0$

$- 1 = A + 2$

$B = 2$

$C = 0$

$- 1 = A + 2$

$B = 2$

$C = 0$

خطوة 3.5

أوجِد قيمة $A$ في $- 1 = A + 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $A + 2 = - 1$ .

$A + 2 = - 1$

$B = 2$

$C = 0$

خطوة 3.5.2

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $A$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.1

اطرح $2$ من كلا المتعادلين.

$A = - 1 - 2$

$B = 2$

$C = 0$

خطوة 3.5.2.2

اطرح $2$ من $- 1$ .

$A = - 3$

$B = 2$

$C = 0$

$A = - 3$

$B = 2$

$C = 0$

$A = - 3$

$B = 2$

$C = 0$

خطوة 3.6

أوجِد حل سلسلة المعادلات.

$A = - 3 B = 2 C = 0$

خطوة 3.7

اسرِد جميع الحلول.

$A = - 3, B = 2, C = 0$

خطوة 4

استبدِل كل معامل من معاملات الكسور الجزئية في $\frac{A}{{(x + 1)}^{3}} + \frac{B}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{C}{x + 1}$ بالقيم التي تم إيجادها لـ $A$ و $B$ و $C$ .

$\frac{- 3}{{(x + 1)}^{3}} + \frac{2}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{0}{x + 1}$