حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$z = e^{- (x^{2} + y^{2})}$

خطوة 1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $e^{- (x^{2} + y^{2})} = z$ .

$e^{- (x^{2} + y^{2})} = z$

خطوة 2

خُذ اللوغاريتم الطبيعي لكلا المتعادلين لحذف المتغير من الأُس.

$\ln (e^{- (x^{2} + y^{2})}) = \ln (z)$

خطوة 3

وسّع الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

وسّع $\ln (e^{- (x^{2} + y^{2})})$ بنقل $- (x^{2} + y^{2})$ خارج اللوغاريتم.

$- (x^{2} + y^{2}) \ln (e) = \ln (z)$

خطوة 3.2

اللوغاريتم الطبيعي لـ $e$ يساوي $1$ .

$- (x^{2} + y^{2}) \cdot 1 = \ln (z)$

خطوة 3.3

طبّق خاصية التوزيع.

$(- x^{2} - y^{2}) \cdot 1 = \ln (z)$

خطوة 3.4

اضرب $- x^{2} - y^{2}$ في $1$ .

$- x^{2} - y^{2} = \ln (z)$

خطوة 4

أضف $x^{2}$ إلى كلا المتعادلين.

$- y^{2} = \ln (z) + x^{2}$

خطوة 5

اقسِم كل حد في $- y^{2} = \ln (z) + x^{2}$ على $- 1$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

اقسِم كل حد في $- y^{2} = \ln (z) + x^{2}$ على $- 1$ .

$\frac{- y^{2}}{- 1} = \frac{\ln (z)}{- 1} + \frac{x^{2}}{- 1}$

خطوة 5.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$\frac{y^{2}}{1} = \frac{\ln (z)}{- 1} + \frac{x^{2}}{- 1}$

خطوة 5.2.2

اقسِم $y^{2}$ على $1$ .

$y^{2} = \frac{\ln (z)}{- 1} + \frac{x^{2}}{- 1}$

خطوة 5.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1.1

انقُل العدد سالب واحد من قاسم $\frac{\ln (z)}{- 1}$ .

$y^{2} = - 1 \cdot \ln (z) + \frac{x^{2}}{- 1}$

خطوة 5.3.1.2

أعِد كتابة $- 1 \cdot \ln (z)$ بالصيغة $- \ln (z)$ .

$y^{2} = - \ln (z) + \frac{x^{2}}{- 1}$

خطوة 5.3.1.3

انقُل العدد سالب واحد من قاسم $\frac{x^{2}}{- 1}$ .

$y^{2} = - \ln (z) - 1 \cdot x^{2}$

خطوة 5.3.1.4

أعِد كتابة $- 1 \cdot x^{2}$ بالصيغة $- x^{2}$ .

$y^{2} = - \ln (z) - x^{2}$

خطوة 6

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{- \ln (z) - x^{2}}$

خطوة 7

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

أولاً، استخدِم القيمة الموجبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الأول.

$y = \sqrt{- \ln (z) - x^{2}}$

خطوة 7.2

بعد ذلك، استخدِم القيمة السالبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الثاني.

$y = - \sqrt{- \ln (z) - x^{2}}$

خطوة 7.3

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

$y = \sqrt{- \ln (z) - x^{2}}$

$y = - \sqrt{- \ln (z) - x^{2}}$

$y = \sqrt{- \ln (z) - x^{2}}$

$y = - \sqrt{- \ln (z) - x^{2}}$

خطوة 8

عيّن قيمة المتغير المستقل في $\ln (z)$ بحيث تصبح أكبر من $0$ لإيجاد الموضع الذي تكون فيه العبارة معرّفة.

$z > 0$

خطوة 9

عيّن قيمة المجذور في $\sqrt{- \ln (z) - x^{2}}$ بحيث تصبح أكبر من أو تساوي $0$ لإيجاد الموضع الذي تكون فيه العبارة معرّفة.

$- \ln (z) - x^{2} \geq 0$

خطوة 10

أضِف $x^{2}$ إلى كلا طرفي المتباينة.

$- \ln (z) \geq x^{2}$

خطوة 11

النطاق هو جميع قيم $z$ التي تجعل العبارة معرّفة.

$[N o (Max i m u m), \infty)$

ترميز بناء المجموعات:

${z | z \geq N o (Max i m u m)}$