حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = \sqrt{\sin (π (x - 1))} + \sqrt{4 - x^{2}}$

خطوة 1

عيّن قيمة المجذور في $\sqrt{\sin (π (x - 1))}$ بحيث تصبح أكبر من أو تساوي $0$ لإيجاد الموضع الذي تكون فيه العبارة معرّفة.

$\sin (π (x - 1)) \geq 0$

خطوة 2

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

خُذ الجيب العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $x$ من داخل الجيب.

$π (x - 1) \geq \arcsin (0)$

خطوة 2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

بسّط $π (x - 1)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1

بسّط بالضرب.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$π x + π \cdot - 1 \geq \arcsin (0)$

خطوة 2.2.1.1.2

انقُل $- 1$ إلى يسار $π$ .

$π x - 1 \cdot π \geq \arcsin (0)$

خطوة 2.2.1.2

أعِد كتابة $- 1 π$ بالصيغة $- π$ .

$π x - π \geq \arcsin (0)$

خطوة 2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

القيمة الدقيقة لـ $\arcsin (0)$ هي $0$ .

$π x - π \geq 0$

خطوة 2.4

أضِف $π$ إلى كلا طرفي المتباينة.

$π x \geq π$

خطوة 2.5

اقسِم كل حد في $π x \geq π$ على $π$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1

اقسِم كل حد في $π x \geq π$ على $π$ .

$\frac{π x}{π} \geq \frac{π}{π}$

خطوة 2.5.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $π$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{π x}{π} \geq \frac{π}{π}$

خطوة 2.5.2.1.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$x \geq \frac{π}{π}$

خطوة 2.5.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.3.1

ألغِ العامل المشترك لـ $π$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.3.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$x \geq \frac{π}{π}$

خطوة 2.5.3.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$x \geq 1$

خطوة 2.6

دالة الجيب موجبة في الربعين الأول والثاني. لإيجاد الحل الثاني، اطرح زاوية المرجع من $π$ لإيجاد الحل في الربع الثاني.

$π x - π = π - 0$

خطوة 2.7

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.7.1

اطرح $0$ من $π$ .

$π x - π = π$

خطوة 2.7.2

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $x$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.7.2.1

أضف $π$ إلى كلا المتعادلين.

$π x = π + π$

خطوة 2.7.2.2

أضف $π$ و $π$ .

$π x = 2 π$

خطوة 2.7.3

اقسِم كل حد في $π x = 2 π$ على $π$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.7.3.1

اقسِم كل حد في $π x = 2 π$ على $π$ .

$\frac{π x}{π} = \frac{2 π}{π}$

خطوة 2.7.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.7.3.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $π$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.7.3.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{π x}{π} = \frac{2 π}{π}$

خطوة 2.7.3.2.1.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$x = \frac{2 π}{π}$

خطوة 2.7.3.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.7.3.3.1

ألغِ العامل المشترك لـ $π$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.7.3.3.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$x = \frac{2 π}{π}$

خطوة 2.7.3.3.1.2

اقسِم $2$ على $1$ .

$x = 2$

خطوة 2.8

أوجِد فترة $\sin (π (x - 1))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.8.1

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

خطوة 2.8.2

استبدِل $b$ بـ $π$ في القاعدة للفترة.

$\frac{2 π}{| π |}$

خطوة 2.8.3

$π$ تساوي تقريبًا $3.14159265$ وهو عدد موجب، لذا أزِل القيمة المطلقة

$\frac{2 π}{π}$

خطوة 2.8.4

ألغِ العامل المشترك لـ $π$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.8.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 π}{π}$

خطوة 2.8.4.2

اقسِم $2$ على $1$ .

$2$

خطوة 2.9

فترة دالة $\sin (π (x - 1))$ هي $2$ ، لذا تتكرر القيم كل $2$ راديان في كلا الاتجاهين.

$x = 1 + 2 n, 2 + 2 n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 2.10

وحّد الإجابات.

$x = 1 n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 2.11

استخدِم كل جذر من الجذور لإنشاء فترات اختبار.

$0 < x < 1$

$1 < x < 2$

خطوة 2.12

اختر قيمة اختبار من كل فترة وعوض بهذه القيمة في المتباينة الأصلية لتحدد أي الفترات تستوفي المتباينة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.12.1

اختبر قيمة في الفترة $0 < x < 1$ لترى ما إذا كانت تجعل المتباينة صحيحة أم لا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.12.1.1

اختر قيمة من الفترة $0 < x < 1$ ولاحظ ما إذا كانت هذه القيمة تجعل المتباينة الأصلية صحيحة.

$x = 0.5$

خطوة 2.12.1.2

استبدِل $x$ بـ $0.5$ في المتباينة الأصلية.

$\sin (π ((0.5) - 1)) \geq 0$

خطوة 2.12.1.3

الطرف الأيسر $- 1$ أصغر من الطرف الأيمن $0$ ، ما يعني أن العبارة المُعطاة خطأ.

خطأ

خطوة 2.12.2

اختبر قيمة في الفترة $1 < x < 2$ لترى ما إذا كانت تجعل المتباينة صحيحة أم لا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.12.2.1

اختر قيمة من الفترة $1 < x < 2$ ولاحظ ما إذا كانت هذه القيمة تجعل المتباينة الأصلية صحيحة.

$x = 1.5$

خطوة 2.12.2.2

استبدِل $x$ بـ $1.5$ في المتباينة الأصلية.

$\sin (π ((1.5) - 1)) \geq 0$

خطوة 2.12.2.3

الطرف الأيسر $1$ أكبر من الطرف الأيمن $0$ ، ما يعني أن العبارة المُعطاة صحيحة دائمًا.

صائب

خطوة 2.12.3

قارن بين الفترات لتحدد أيًا منها يستوفي المتباينة الأصلية.

$0 < x < 1$ خطأ

$1 < x < 2$ صحيحة

$0 < x < 1$ خطأ

$1 < x < 2$ صحيحة

خطوة 2.13

يتكون الحل من جميع الفترات الصحيحة.

$1 + 2 n \leq x \leq 2 + 2 n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 3

عيّن قيمة المجذور في $\sqrt{4 - x^{2}}$ بحيث تصبح أكبر من أو تساوي $0$ لإيجاد الموضع الذي تكون فيه العبارة معرّفة.

$4 - x^{2} \geq 0$

خطوة 4

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

اطرح $4$ من كلا طرفي المتباينة.

$- x^{2} \geq - 4$

خطوة 4.2

اقسِم كل حد في $- x^{2} \geq - 4$ على $- 1$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

اقسِم كل حد في $- x^{2} \geq - 4$ على $- 1$ . وعند ضرب كلا طرفي المتباينة في قيمة سالبة أو قسمتهما عليها، اعكس اتجاه علامة المتباينة.

$\frac{- x^{2}}{- 1} \leq \frac{- 4}{- 1}$

خطوة 4.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.1

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$\frac{x^{2}}{1} \leq \frac{- 4}{- 1}$

خطوة 4.2.2.2

اقسِم $x^{2}$ على $1$ .

$x^{2} \leq \frac{- 4}{- 1}$

خطوة 4.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.3.1

اقسِم $- 4$ على $- 1$ .

$x^{2} \leq 4$

خطوة 4.3

خُذ الجذر المحدد لكلا المتباينين لحذف الأُس على الطرف الأيسر.

$\sqrt{x^{2}} \leq \sqrt{4}$

خطوة 4.4

بسّط المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.4.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.4.1.1

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$| x | \leq \sqrt{4}$

خطوة 4.4.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.4.2.1

بسّط $\sqrt{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.4.2.1.1

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$| x | \leq \sqrt{2^{2}}$

خطوة 4.4.2.1.2

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$| x | \leq | 2 |$

خطوة 4.4.2.1.3

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $2$ تساوي $2$ .

$| x | \leq 2$

خطوة 4.5

اكتب $| x | \leq 2$ في صورة دالة قطع متتابعة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.1

لإيجاد الفترة للجزء الأول، أوجِد الموضع الذي تكون فيه قيمة ما بين شريطَي القيمة المطلقة غير سالبة.

$x \geq 0$

خطوة 4.5.2

في الجزء الذي يكون فيه $x$ غير سالب، احذف القيمة المطلقة.

$x \leq 2$

خطوة 4.5.3

لإيجاد الفترة للجزء الثاني، أوجِد الموضع الذي تكون فيه قيمة ما بين شريطَي القيمة المطلقة سالبة.

$x < 0$

خطوة 4.5.4

في الجزء الذي يكون فيه $x$ سالبًا، احذف القيمة المطلقة واضرب في $- 1$ .

$- x \leq 2$

خطوة 4.5.5

اكتب في صورة دالة قطع متتابعة.

${\begin{cases} x \leq 2 & x \geq 0 \\ - x \leq 2 & x < 0 \end{cases}$

خطوة 4.6

أوجِد التقاطع بين $x \leq 2$ و $x \geq 0$ .

$0 \leq x \leq 2$

خطوة 4.7

أوجِد حل $- x \leq 2$ عندما تكون $x < 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.7.1

اقسِم كل حد في $- x \leq 2$ على $- 1$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.7.1.1

اقسِم كل حد في $- x \leq 2$ على $- 1$ . وعند ضرب كلا طرفي المتباينة في قيمة سالبة أو قسمتهما عليها، اعكس اتجاه علامة المتباينة.

$\frac{- x}{- 1} \geq \frac{2}{- 1}$

خطوة 4.7.1.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.7.1.2.1

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$\frac{x}{1} \geq \frac{2}{- 1}$

خطوة 4.7.1.2.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$x \geq \frac{2}{- 1}$

خطوة 4.7.1.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.7.1.3.1

اقسِم $2$ على $- 1$ .

$x \geq - 2$

خطوة 4.7.2

أوجِد التقاطع بين $x \geq - 2$ و $x < 0$ .

$- 2 \leq x < 0$

خطوة 4.8

أوجِد اتحاد الحلول.

$- 2 \leq x \leq 2$

خطوة 5

النطاق هو جميع قيم $x$ التي تجعل العبارة معرّفة.

ترميز بناء المجموعات:

${x | - 2 \leq x \leq 2, x = 1 + 2 n, x = 2 + 2 n}$

خطوة 6