حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = \frac{x + 1}{x - 1}$

خطوة 1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ هو $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ حيث $f (x) = x + 1$ و $g (x) = x - 1$ .

$\frac{(x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1] - (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

خطوة 2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x + 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{(x - 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) - (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{(x - 1) (1 + \frac{d}{d x} [1]) - (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

خطوة 2.3

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{(x - 1) (1 + 0) - (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

خطوة 2.4

أضف $1$ و $0$ .

$\frac{(x - 1) \cdot 1 - (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

خطوة 2.5

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x - 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{(x - 1) \cdot 1 - (x + 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x - 1)}^{2}}$

خطوة 2.6

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{(x - 1) \cdot 1 - (x + 1) (1 + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x - 1)}^{2}}$

خطوة 2.7

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{(x - 1) \cdot 1 - (x + 1) (1 + 0)}{{(x - 1)}^{2}}$

خطوة 2.8

أضف $1$ و $0$ .

$\frac{(x - 1) \cdot 1 - (x + 1) \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}$

خطوة 3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{x \cdot 1 - 1 \cdot 1 - (x + 1) \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}$

خطوة 3.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{x \cdot 1 - 1 \cdot 1 + (- x - 1 \cdot 1) \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}$

خطوة 3.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{x \cdot 1 - 1 \cdot 1 - x \cdot 1 - 1 \cdot 1 \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}$

خطوة 3.4

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1.1

اضرب $x$ في $1$ .

$\frac{x - 1 \cdot 1 - x \cdot 1 - 1 \cdot 1 \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}$

خطوة 3.4.1.2

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{x - 1 - x \cdot 1 - 1 \cdot 1 \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}$

خطوة 3.4.1.3

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{x - 1 - x - 1 \cdot 1 \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}$

خطوة 3.4.1.4

اضرب $- 1 \cdot 1 \cdot 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1.4.1

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{x - 1 - x - 1 \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}$

خطوة 3.4.1.4.2

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{x - 1 - x - 1}{{(x - 1)}^{2}}$

خطوة 3.4.2

جمّع الحدود المتعاكسة في $x - 1 - x - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.2.1

اطرح $x$ من $x$ .

$\frac{0 - 1 - 1}{{(x - 1)}^{2}}$

خطوة 3.4.2.2

اطرح $1$ من $0$ .

$\frac{- 1 - 1}{{(x - 1)}^{2}}$

خطوة 3.4.3

اطرح $1$ من $- 1$ .

$\frac{- 2}{{(x - 1)}^{2}}$

خطوة 3.5

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{2}{{(x - 1)}^{2}}$