حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$F (x) = \frac{x^{3} + 27}{x + 3}$

خطوة 1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ هو $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ حيث $f (x) = x^{3} + 27$ و $g (x) = x + 3$ .

$\frac{(x + 3) \frac{d}{d x} [x^{3} + 27] - (x^{3} + 27) \frac{d}{d x} [x + 3]}{{(x + 3)}^{2}}$

خطوة 2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{3} + 27$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [27]$ .

$\frac{(x + 3) (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [27]) - (x^{3} + 27) \frac{d}{d x} [x + 3]}{{(x + 3)}^{2}}$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$\frac{(x + 3) (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [27]) - (x^{3} + 27) \frac{d}{d x} [x + 3]}{{(x + 3)}^{2}}$

خطوة 2.3

بما أن $27$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $27$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{(x + 3) (3 x^{2} + 0) - (x^{3} + 27) \frac{d}{d x} [x + 3]}{{(x + 3)}^{2}}$

خطوة 2.4

أضف $3 x^{2}$ و $0$ .

$\frac{(x + 3) (3 x^{2}) - (x^{3} + 27) \frac{d}{d x} [x + 3]}{{(x + 3)}^{2}}$

خطوة 2.5

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x + 3$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{(x + 3) (3 x^{2}) - (x^{3} + 27) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3])}{{(x + 3)}^{2}}$

خطوة 2.6

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{(x + 3) (3 x^{2}) - (x^{3} + 27) (1 + \frac{d}{d x} [3])}{{(x + 3)}^{2}}$

خطوة 2.7

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $3$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{(x + 3) (3 x^{2}) - (x^{3} + 27) (1 + 0)}{{(x + 3)}^{2}}$

خطوة 2.8

أضف $1$ و $0$ .

$\frac{(x + 3) (3 x^{2}) - (x^{3} + 27) \cdot 1}{{(x + 3)}^{2}}$

خطوة 3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{x (3 x^{2}) + 3 (3 x^{2}) - (x^{3} + 27) \cdot 1}{{(x + 3)}^{2}}$

خطوة 3.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{x (3 x^{2}) + 3 (3 x^{2}) + (- x^{3} - 1 \cdot 27) \cdot 1}{{(x + 3)}^{2}}$

خطوة 3.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{x (3 x^{2}) + 3 (3 x^{2}) - x^{3} \cdot 1 - 1 \cdot 27 \cdot 1}{{(x + 3)}^{2}}$

خطوة 3.4

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\frac{3 x \cdot x^{2} + 3 (3 x^{2}) - x^{3} \cdot 1 - 1 \cdot 27 \cdot 1}{{(x + 3)}^{2}}$

خطوة 3.4.1.2

اضرب $x$ في $x^{2}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1.2.1

انقُل $x^{2}$ .

$\frac{3 (x^{2} x) + 3 (3 x^{2}) - x^{3} \cdot 1 - 1 \cdot 27 \cdot 1}{{(x + 3)}^{2}}$

خطوة 3.4.1.2.2

اضرب $x^{2}$ في $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1.2.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\frac{3 (x^{2} x^{1}) + 3 (3 x^{2}) - x^{3} \cdot 1 - 1 \cdot 27 \cdot 1}{{(x + 3)}^{2}}$

خطوة 3.4.1.2.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{3 x^{2 + 1} + 3 (3 x^{2}) - x^{3} \cdot 1 - 1 \cdot 27 \cdot 1}{{(x + 3)}^{2}}$

خطوة 3.4.1.2.3

أضف $2$ و $1$ .

$\frac{3 x^{3} + 3 (3 x^{2}) - x^{3} \cdot 1 - 1 \cdot 27 \cdot 1}{{(x + 3)}^{2}}$

خطوة 3.4.1.3

اضرب $3$ في $3$ .

$\frac{3 x^{3} + 9 x^{2} - x^{3} \cdot 1 - 1 \cdot 27 \cdot 1}{{(x + 3)}^{2}}$

خطوة 3.4.1.4

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{3 x^{3} + 9 x^{2} - x^{3} - 1 \cdot 27 \cdot 1}{{(x + 3)}^{2}}$

خطوة 3.4.1.5

اضرب $- 1 \cdot 27 \cdot 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1.5.1

اضرب $- 1$ في $27$ .

$\frac{3 x^{3} + 9 x^{2} - x^{3} - 27 \cdot 1}{{(x + 3)}^{2}}$

خطوة 3.4.1.5.2

اضرب $- 27$ في $1$ .

$\frac{3 x^{3} + 9 x^{2} - x^{3} - 27}{{(x + 3)}^{2}}$

خطوة 3.4.2

اطرح $x^{3}$ من $3 x^{3}$ .

$\frac{2 x^{3} + 9 x^{2} - 27}{{(x + 3)}^{2}}$