حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{x^{6} + 8 y^{7}}{x^{7} + y^{8}}$

خطوة 1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ هو $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ حيث $f (x) = x^{6} + 8 y^{7}$ و $g (x) = x^{7} + y^{8}$ .

$\frac{(x^{7} + y^{8}) \frac{d}{d x} [x^{6} + 8 y^{7}] - (x^{6} + 8 y^{7}) \frac{d}{d x} [x^{7} + y^{8}]}{{(x^{7} + y^{8})}^{2}}$

خطوة 2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{6} + 8 y^{7}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{6}] + \frac{d}{d x} [8 y^{7}]$ .

$\frac{(x^{7} + y^{8}) (\frac{d}{d x} [x^{6}] + \frac{d}{d x} [8 y^{7}]) - (x^{6} + 8 y^{7}) \frac{d}{d x} [x^{7} + y^{8}]}{{(x^{7} + y^{8})}^{2}}$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 6$ .

$\frac{(x^{7} + y^{8}) (6 x^{5} + \frac{d}{d x} [8 y^{7}]) - (x^{6} + 8 y^{7}) \frac{d}{d x} [x^{7} + y^{8}]}{{(x^{7} + y^{8})}^{2}}$

خطوة 2.3

بما أن $8 y^{7}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $8 y^{7}$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{(x^{7} + y^{8}) (6 x^{5} + 0) - (x^{6} + 8 y^{7}) \frac{d}{d x} [x^{7} + y^{8}]}{{(x^{7} + y^{8})}^{2}}$

خطوة 2.4

أضف $6 x^{5}$ و $0$ .

$\frac{(x^{7} + y^{8}) (6 x^{5}) - (x^{6} + 8 y^{7}) \frac{d}{d x} [x^{7} + y^{8}]}{{(x^{7} + y^{8})}^{2}}$

خطوة 2.5

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{7} + y^{8}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{7}] + \frac{d}{d x} [y^{8}]$ .

$\frac{(x^{7} + y^{8}) (6 x^{5}) - (x^{6} + 8 y^{7}) (\frac{d}{d x} [x^{7}] + \frac{d}{d x} [y^{8}])}{{(x^{7} + y^{8})}^{2}}$

خطوة 2.6

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 7$ .

$\frac{(x^{7} + y^{8}) (6 x^{5}) - (x^{6} + 8 y^{7}) (7 x^{6} + \frac{d}{d x} [y^{8}])}{{(x^{7} + y^{8})}^{2}}$

خطوة 2.7

بما أن $y^{8}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $y^{8}$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{(x^{7} + y^{8}) (6 x^{5}) - (x^{6} + 8 y^{7}) (7 x^{6} + 0)}{{(x^{7} + y^{8})}^{2}}$

خطوة 2.8

أضف $7 x^{6}$ و $0$ .

$\frac{(x^{7} + y^{8}) (6 x^{5}) - (x^{6} + 8 y^{7}) (7 x^{6})}{{(x^{7} + y^{8})}^{2}}$

خطوة 3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{x^{7} (6 x^{5}) + y^{8} (6 x^{5}) - (x^{6} + 8 y^{7}) (7 x^{6})}{{(x^{7} + y^{8})}^{2}}$

خطوة 3.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{x^{7} (6 x^{5}) + y^{8} (6 x^{5}) + (- x^{6} - (8 y^{7})) (7 x^{6})}{{(x^{7} + y^{8})}^{2}}$

خطوة 3.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{x^{7} (6 x^{5}) + y^{8} (6 x^{5}) - x^{6} (7 x^{6}) - (8 y^{7}) (7 x^{6})}{{(x^{7} + y^{8})}^{2}}$

خطوة 3.4

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\frac{6 x^{7} x^{5} + y^{8} (6 x^{5}) - x^{6} (7 x^{6}) - (8 y^{7}) (7 x^{6})}{{(x^{7} + y^{8})}^{2}}$

خطوة 3.4.1.2

اضرب $x^{7}$ في $x^{5}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1.2.1

انقُل $x^{5}$ .

$\frac{6 (x^{5} x^{7}) + y^{8} (6 x^{5}) - x^{6} (7 x^{6}) - (8 y^{7}) (7 x^{6})}{{(x^{7} + y^{8})}^{2}}$

خطوة 3.4.1.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{6 x^{5 + 7} + y^{8} (6 x^{5}) - x^{6} (7 x^{6}) - (8 y^{7}) (7 x^{6})}{{(x^{7} + y^{8})}^{2}}$

خطوة 3.4.1.2.3

أضف $5$ و $7$ .

$\frac{6 x^{12} + y^{8} (6 x^{5}) - x^{6} (7 x^{6}) - (8 y^{7}) (7 x^{6})}{{(x^{7} + y^{8})}^{2}}$

خطوة 3.4.1.3

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\frac{6 x^{12} + 6 y^{8} x^{5} - x^{6} (7 x^{6}) - (8 y^{7}) (7 x^{6})}{{(x^{7} + y^{8})}^{2}}$

خطوة 3.4.1.4

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\frac{6 x^{12} + 6 y^{8} x^{5} - 1 \cdot 7 x^{6} x^{6} - (8 y^{7}) (7 x^{6})}{{(x^{7} + y^{8})}^{2}}$

خطوة 3.4.1.5

اضرب $x^{6}$ في $x^{6}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1.5.1

انقُل $x^{6}$ .

$\frac{6 x^{12} + 6 y^{8} x^{5} - 1 \cdot 7 (x^{6} x^{6}) - (8 y^{7}) (7 x^{6})}{{(x^{7} + y^{8})}^{2}}$

خطوة 3.4.1.5.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{6 x^{12} + 6 y^{8} x^{5} - 1 \cdot 7 x^{6 + 6} - (8 y^{7}) (7 x^{6})}{{(x^{7} + y^{8})}^{2}}$

خطوة 3.4.1.5.3

أضف $6$ و $6$ .

$\frac{6 x^{12} + 6 y^{8} x^{5} - 1 \cdot 7 x^{12} - (8 y^{7}) (7 x^{6})}{{(x^{7} + y^{8})}^{2}}$

خطوة 3.4.1.6

اضرب $- 1$ في $7$ .

$\frac{6 x^{12} + 6 y^{8} x^{5} - 7 x^{12} - (8 y^{7}) (7 x^{6})}{{(x^{7} + y^{8})}^{2}}$

خطوة 3.4.1.7

اضرب $8$ في $- 1$ .

$\frac{6 x^{12} + 6 y^{8} x^{5} - 7 x^{12} - 8 y^{7} (7 x^{6})}{{(x^{7} + y^{8})}^{2}}$

خطوة 3.4.1.8

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\frac{6 x^{12} + 6 y^{8} x^{5} - 7 x^{12} - 8 \cdot 7 y^{7} x^{6}}{{(x^{7} + y^{8})}^{2}}$

خطوة 3.4.1.9

اضرب $- 8$ في $7$ .

$\frac{6 x^{12} + 6 y^{8} x^{5} - 7 x^{12} - 56 y^{7} x^{6}}{{(x^{7} + y^{8})}^{2}}$

خطوة 3.4.2

اطرح $7 x^{12}$ من $6 x^{12}$ .

$\frac{- x^{12} + 6 y^{8} x^{5} - 56 y^{7} x^{6}}{{(x^{7} + y^{8})}^{2}}$

خطوة 3.5

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{- x^{12} + 6 y^{8} x^{5} - 56 y^{7} x^{6}}{{(y^{8} + x^{7})}^{2}}$

خطوة 3.6

أخرِج العامل $x^{5}$ من $- x^{12} + 6 y^{8} x^{5} - 56 y^{7} x^{6}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.1

أخرِج العامل $x^{5}$ من $- x^{12}$ .

$\frac{x^{5} (- x^{7}) + 6 y^{8} x^{5} - 56 y^{7} x^{6}}{{(y^{8} + x^{7})}^{2}}$

خطوة 3.6.2

أخرِج العامل $x^{5}$ من $6 y^{8} x^{5}$ .

$\frac{x^{5} (- x^{7}) + x^{5} (6 y^{8}) - 56 y^{7} x^{6}}{{(y^{8} + x^{7})}^{2}}$

خطوة 3.6.3

أخرِج العامل $x^{5}$ من $- 56 y^{7} x^{6}$ .

$\frac{x^{5} (- x^{7}) + x^{5} (6 y^{8}) + x^{5} (- 56 y^{7} x)}{{(y^{8} + x^{7})}^{2}}$

خطوة 3.6.4

أخرِج العامل $x^{5}$ من $x^{5} (- x^{7}) + x^{5} (6 y^{8})$ .

$\frac{x^{5} (- x^{7} + 6 y^{8}) + x^{5} (- 56 y^{7} x)}{{(y^{8} + x^{7})}^{2}}$

خطوة 3.6.5

أخرِج العامل $x^{5}$ من $x^{5} (- x^{7} + 6 y^{8}) + x^{5} (- 56 y^{7} x)$ .

$\frac{x^{5} (- x^{7} + 6 y^{8} - 56 y^{7} x)}{{(y^{8} + x^{7})}^{2}}$

خطوة 3.7

أخرِج العامل $- 1$ من $- x^{7}$ .

$\frac{x^{5} (- (x^{7}) + 6 y^{8} - 56 y^{7} x)}{{(y^{8} + x^{7})}^{2}}$

خطوة 3.8

أخرِج العامل $- 1$ من $6 y^{8}$ .

$\frac{x^{5} (- (x^{7}) - (- 6 y^{8}) - 56 y^{7} x)}{{(y^{8} + x^{7})}^{2}}$

خطوة 3.9

أخرِج العامل $- 1$ من $- (x^{7}) - (- 6 y^{8})$ .

$\frac{x^{5} (- (x^{7} - 6 y^{8}) - 56 y^{7} x)}{{(y^{8} + x^{7})}^{2}}$

خطوة 3.10

أخرِج العامل $- 1$ من $- 56 y^{7} x$ .

$\frac{x^{5} (- (x^{7} - 6 y^{8}) - (56 y^{7} x))}{{(y^{8} + x^{7})}^{2}}$

خطوة 3.11

أخرِج العامل $- 1$ من $- (x^{7} - 6 y^{8}) - (56 y^{7} x)$ .

$\frac{x^{5} (- (x^{7} - 6 y^{8} + 56 y^{7} x))}{{(y^{8} + x^{7})}^{2}}$

خطوة 3.12

أعِد كتابة $- (x^{7} - 6 y^{8} + 56 y^{7} x)$ بالصيغة $- 1 (x^{7} - 6 y^{8} + 56 y^{7} x)$ .

$\frac{x^{5} (- 1 (x^{7} - 6 y^{8} + 56 y^{7} x))}{{(y^{8} + x^{7})}^{2}}$

خطوة 3.13

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{x^{5} (x^{7} - 6 y^{8} + 56 y^{7} x)}{{(y^{8} + x^{7})}^{2}}$