حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{21 \sqrt[3]{x}}{x^{2} - 8}$

خطوة 1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ هو $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ حيث $f (x) = 21 \sqrt[3]{x}$ و $g (x) = x^{2} - 8$ .

$\frac{(x^{2} - 8) \frac{d}{d x} [21 \sqrt[3]{x}] - 1 \cdot 21 \sqrt[3]{x} \frac{d}{d x} [x^{2} - 8]}{{(x^{2} - 8)}^{2}}$

خطوة 2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt[3]{x}$ في صورة $x^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{(x^{2} - 8) \frac{d}{d x} [21 x^{\frac{1}{3}}] - 1 \cdot 21 \sqrt[3]{x} \frac{d}{d x} [x^{2} - 8]}{{(x^{2} - 8)}^{2}}$

خطوة 2.2

بما أن $21$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $21 x^{\frac{1}{3}}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $21 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$ .

$\frac{(x^{2} - 8) (21 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]) - 1 \cdot 21 \sqrt[3]{x} \frac{d}{d x} [x^{2} - 8]}{{(x^{2} - 8)}^{2}}$

خطوة 2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = \frac{1}{3}$ .

$\frac{(x^{2} - 8) (21 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1})) - 1 \cdot 21 \sqrt[3]{x} \frac{d}{d x} [x^{2} - 8]}{{(x^{2} - 8)}^{2}}$

خطوة 3

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$\frac{(x^{2} - 8) (21 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})) - 1 \cdot 21 \sqrt[3]{x} \frac{d}{d x} [x^{2} - 8]}{{(x^{2} - 8)}^{2}}$

خطوة 4

اجمع $- 1$ و $\frac{3}{3}$ .

$\frac{(x^{2} - 8) (21 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})) - 1 \cdot 21 \sqrt[3]{x} \frac{d}{d x} [x^{2} - 8]}{{(x^{2} - 8)}^{2}}$

خطوة 5

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{(x^{2} - 8) (21 (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}})) - 1 \cdot 21 \sqrt[3]{x} \frac{d}{d x} [x^{2} - 8]}{{(x^{2} - 8)}^{2}}$

خطوة 6

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

اضرب $- 1$ في $3$ .

$\frac{(x^{2} - 8) (21 (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}})) - 1 \cdot 21 \sqrt[3]{x} \frac{d}{d x} [x^{2} - 8]}{{(x^{2} - 8)}^{2}}$

خطوة 6.2

اطرح $3$ من $1$ .

$\frac{(x^{2} - 8) (21 (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}})) - 1 \cdot 21 \sqrt[3]{x} \frac{d}{d x} [x^{2} - 8]}{{(x^{2} - 8)}^{2}}$

خطوة 7

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{(x^{2} - 8) (21 (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}})) - 1 \cdot 21 \sqrt[3]{x} \frac{d}{d x} [x^{2} - 8]}{{(x^{2} - 8)}^{2}}$

خطوة 8

اجمع $\frac{1}{3}$ و $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$\frac{(x^{2} - 8) (21 \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}) - 1 \cdot 21 \sqrt[3]{x} \frac{d}{d x} [x^{2} - 8]}{{(x^{2} - 8)}^{2}}$

خطوة 9

اجمع $21$ و $\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$ .

$\frac{(x^{2} - 8) \frac{21 x^{- \frac{2}{3}}}{3} - 1 \cdot 21 \sqrt[3]{x} \frac{d}{d x} [x^{2} - 8]}{{(x^{2} - 8)}^{2}}$

خطوة 10

انقُل $x^{- \frac{2}{3}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{(x^{2} - 8) \frac{21}{3 x^{\frac{2}{3}}} - 1 \cdot 21 \sqrt[3]{x} \frac{d}{d x} [x^{2} - 8]}{{(x^{2} - 8)}^{2}}$

خطوة 11

أخرِج العامل $3$ من $21$ .

$\frac{(x^{2} - 8) \frac{3 \cdot 7}{3 x^{\frac{2}{3}}} - 1 \cdot 21 \sqrt[3]{x} \frac{d}{d x} [x^{2} - 8]}{{(x^{2} - 8)}^{2}}$

خطوة 12

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

أخرِج العامل $3$ من $3 x^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{(x^{2} - 8) \frac{3 \cdot 7}{3 (x^{\frac{2}{3}})} - 1 \cdot 21 \sqrt[3]{x} \frac{d}{d x} [x^{2} - 8]}{{(x^{2} - 8)}^{2}}$

خطوة 12.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{(x^{2} - 8) \frac{3 \cdot 7}{3 x^{\frac{2}{3}}} - 1 \cdot 21 \sqrt[3]{x} \frac{d}{d x} [x^{2} - 8]}{{(x^{2} - 8)}^{2}}$

خطوة 12.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{(x^{2} - 8) \frac{7}{x^{\frac{2}{3}}} - 1 \cdot 21 \sqrt[3]{x} \frac{d}{d x} [x^{2} - 8]}{{(x^{2} - 8)}^{2}}$

خطوة 13

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} - 8$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8]$ .

$\frac{(x^{2} - 8) \frac{7}{x^{\frac{2}{3}}} - 1 \cdot 21 \sqrt[3]{x} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8])}{{(x^{2} - 8)}^{2}}$

خطوة 14

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{(x^{2} - 8) \frac{7}{x^{\frac{2}{3}}} - 1 \cdot 21 \sqrt[3]{x} (2 x + \frac{d}{d x} [- 8])}{{(x^{2} - 8)}^{2}}$

خطوة 15

بما أن $- 8$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 8$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{(x^{2} - 8) \frac{7}{x^{\frac{2}{3}}} - 1 \cdot 21 \sqrt[3]{x} (2 x + 0)}{{(x^{2} - 8)}^{2}}$

خطوة 16

أضف $2 x$ و $0$ .

$\frac{(x^{2} - 8) \frac{7}{x^{\frac{2}{3}}} - 1 \cdot 21 \sqrt[3]{x} (2 x)}{{(x^{2} - 8)}^{2}}$

خطوة 17

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 17.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{x^{2} \frac{7}{x^{\frac{2}{3}}} - 8 \frac{7}{x^{\frac{2}{3}}} - 1 \cdot 21 \sqrt[3]{x} (2 x)}{{(x^{2} - 8)}^{2}}$

خطوة 17.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 17.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x^{\frac{2}{3}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 17.2.1.1

أخرِج العامل $x^{\frac{2}{3}}$ من $x^{2}$ .

$\frac{x^{\frac{2}{3}} x^{\frac{4}{3}} \frac{7}{x^{\frac{2}{3}}} - 8 \frac{7}{x^{\frac{2}{3}}} - 1 \cdot 21 \sqrt[3]{x} (2 x)}{{(x^{2} - 8)}^{2}}$

خطوة 17.2.1.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{x^{\frac{2}{3}} x^{\frac{4}{3}} \frac{7}{x^{\frac{2}{3}}} - 8 \frac{7}{x^{\frac{2}{3}}} - 1 \cdot 21 \sqrt[3]{x} (2 x)}{{(x^{2} - 8)}^{2}}$

خطوة 17.2.1.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{x^{\frac{4}{3}} \cdot 7 - 8 \frac{7}{x^{\frac{2}{3}}} - 1 \cdot 21 \sqrt[3]{x} (2 x)}{{(x^{2} - 8)}^{2}}$

خطوة 17.2.2

انقُل $7$ إلى يسار $x^{\frac{4}{3}}$ .

$\frac{7 \cdot x^{\frac{4}{3}} - 8 \frac{7}{x^{\frac{2}{3}}} - 1 \cdot 21 \sqrt[3]{x} (2 x)}{{(x^{2} - 8)}^{2}}$

خطوة 17.2.3

اضرب $- 8 \frac{7}{x^{\frac{2}{3}}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 17.2.3.1

اجمع $- 8$ و $\frac{7}{x^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{7 x^{\frac{4}{3}} + \frac{- 8 \cdot 7}{x^{\frac{2}{3}}} - 1 \cdot 21 \sqrt[3]{x} (2 x)}{{(x^{2} - 8)}^{2}}$

خطوة 17.2.3.2

اضرب $- 8$ في $7$ .

$\frac{7 x^{\frac{4}{3}} + \frac{- 56}{x^{\frac{2}{3}}} - 1 \cdot 21 \sqrt[3]{x} (2 x)}{{(x^{2} - 8)}^{2}}$

خطوة 17.2.4

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{7 x^{\frac{4}{3}} - \frac{56}{x^{\frac{2}{3}}} - 1 \cdot 21 \sqrt[3]{x} (2 x)}{{(x^{2} - 8)}^{2}}$

خطوة 17.2.5

اضرب $- 1$ في $21$ .

$\frac{7 x^{\frac{4}{3}} - \frac{56}{x^{\frac{2}{3}}} - 21 \sqrt[3]{x} (2 x)}{{(x^{2} - 8)}^{2}}$

خطوة 17.2.6

اضرب $2$ في $- 21$ .

$\frac{7 x^{\frac{4}{3}} - \frac{56}{x^{\frac{2}{3}}} - 42 \sqrt[3]{x} x}{{(x^{2} - 8)}^{2}}$

خطوة 17.3

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 17.3.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt[3]{x}$ في صورة $x^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{7 x^{\frac{4}{3}} - \frac{56}{x^{\frac{2}{3}}} - 42 x^{\frac{1}{3}} x}{{(x^{2} - 8)}^{2}}$

خطوة 17.3.2

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\frac{7 x^{\frac{4}{3}} - \frac{56}{x^{\frac{2}{3}}} - 42 (x^{1} x^{\frac{1}{3}})}{{(x^{2} - 8)}^{2}}$

خطوة 17.3.3

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{7 x^{\frac{4}{3}} - \frac{56}{x^{\frac{2}{3}}} - 42 x^{1 + \frac{1}{3}}}{{(x^{2} - 8)}^{2}}$

خطوة 17.3.4

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$\frac{7 x^{\frac{4}{3}} - \frac{56}{x^{\frac{2}{3}}} - 42 x^{\frac{3}{3} + \frac{1}{3}}}{{(x^{2} - 8)}^{2}}$

خطوة 17.3.5

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{7 x^{\frac{4}{3}} - \frac{56}{x^{\frac{2}{3}}} - 42 x^{\frac{3 + 1}{3}}}{{(x^{2} - 8)}^{2}}$

خطوة 17.3.6

أضف $3$ و $1$ .

$\frac{7 x^{\frac{4}{3}} - \frac{56}{x^{\frac{2}{3}}} - 42 x^{\frac{4}{3}}}{{(x^{2} - 8)}^{2}}$

خطوة 17.3.7

اطرح $42 x^{\frac{4}{3}}$ من $7 x^{\frac{4}{3}}$ .

$\frac{- 35 x^{\frac{4}{3}} - \frac{56}{x^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 8)}^{2}}$

خطوة 17.4

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 17.4.1

أخرِج العامل $- 7$ من $- 35 x^{\frac{4}{3}} - \frac{56}{x^{\frac{2}{3}}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 17.4.1.1

أخرِج العامل $- 7$ من $- 35 x^{\frac{4}{3}}$ .

$\frac{- 7 (5 x^{\frac{4}{3}}) - \frac{56}{x^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 8)}^{2}}$

خطوة 17.4.1.2

أخرِج العامل $- 7$ من $- \frac{56}{x^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{- 7 (5 x^{\frac{4}{3}}) - 7 (- \frac{- 8}{x^{\frac{2}{3}}})}{{(x^{2} - 8)}^{2}}$

خطوة 17.4.1.3

أخرِج العامل $- 7$ من $- 7 (5 x^{\frac{4}{3}}) - 7 (- \frac{- 8}{x^{\frac{2}{3}}})$ .

$\frac{- 7 (5 x^{\frac{4}{3}} - \frac{- 8}{x^{\frac{2}{3}}})}{{(x^{2} - 8)}^{2}}$

خطوة 17.4.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{- 7 (5 x^{\frac{4}{3}} - - \frac{8}{x^{\frac{2}{3}}})}{{(x^{2} - 8)}^{2}}$

خطوة 17.4.3

اضرب $- - \frac{8}{x^{\frac{2}{3}}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 17.4.3.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$\frac{- 7 (5 x^{\frac{4}{3}} + 1 \frac{8}{x^{\frac{2}{3}}})}{{(x^{2} - 8)}^{2}}$

خطوة 17.4.3.2

اضرب $\frac{8}{x^{\frac{2}{3}}}$ في $1$ .

$\frac{- 7 (5 x^{\frac{4}{3}} + \frac{8}{x^{\frac{2}{3}}})}{{(x^{2} - 8)}^{2}}$

خطوة 17.4.4

لكتابة $5 x^{\frac{4}{3}}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{x^{\frac{2}{3}}}{x^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{- 7 (\frac{5 x^{\frac{4}{3}} x^{\frac{2}{3}}}{x^{\frac{2}{3}}} + \frac{8}{x^{\frac{2}{3}}})}{{(x^{2} - 8)}^{2}}$

خطوة 17.4.5

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{- 7 \frac{5 x^{\frac{4}{3}} x^{\frac{2}{3}} + 8}{x^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 8)}^{2}}$

خطوة 17.4.6

اضرب $x^{\frac{4}{3}}$ في $x^{\frac{2}{3}}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 17.4.6.1

انقُل $x^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{- 7 \frac{5 (x^{\frac{2}{3}} x^{\frac{4}{3}}) + 8}{x^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 8)}^{2}}$

خطوة 17.4.6.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{- 7 \frac{5 x^{\frac{2}{3} + \frac{4}{3}} + 8}{x^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 8)}^{2}}$

خطوة 17.4.6.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{- 7 \frac{5 x^{\frac{2 + 4}{3}} + 8}{x^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 8)}^{2}}$

خطوة 17.4.6.4

أضف $2$ و $4$ .

$\frac{- 7 \frac{5 x^{\frac{6}{3}} + 8}{x^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 8)}^{2}}$

خطوة 17.4.6.5

اقسِم $6$ على $3$ .

$\frac{- 7 \frac{5 x^{2} + 8}{x^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 8)}^{2}}$

خطوة 17.5

اجمع $- 7$ و $\frac{5 x^{2} + 8}{x^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{\frac{- 7 (5 x^{2} + 8)}{x^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 8)}^{2}}$

خطوة 17.6

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{- \frac{7 (5 x^{2} + 8)}{x^{\frac{2}{3}}}}{{(x^{2} - 8)}^{2}}$

خطوة 17.7

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$- \frac{7 (5 x^{2} + 8)}{x^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{1}{{(x^{2} - 8)}^{2}}$

خطوة 17.8

اضرب $\frac{1}{{(x^{2} - 8)}^{2}}$ في $\frac{7 (5 x^{2} + 8)}{x^{\frac{2}{3}}}$ .

$- \frac{7 (5 x^{2} + 8)}{{(x^{2} - 8)}^{2} x^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 17.9

أعِد ترتيب العوامل في $- \frac{7 (5 x^{2} + 8)}{{(x^{2} - 8)}^{2} x^{\frac{2}{3}}}$ .

$- \frac{7 (5 x^{2} + 8)}{x^{\frac{2}{3}} {(x^{2} - 8)}^{2}}$