حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = (5 x^{2} - 1) (4 x + 3)$

خطوة 1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = 5 x^{2} - 1$ و $g (x) = 4 x + 3$ .

$(5 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [4 x + 3] + (4 x + 3) \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 1]$

خطوة 2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $4 x + 3$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$(5 x^{2} - 1) (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [3]) + (4 x + 3) \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 1]$

خطوة 3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $4 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(5 x^{2} - 1) (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]) + (4 x + 3) \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 1]$

خطوة 3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$(5 x^{2} - 1) (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3]) + (4 x + 3) \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 1]$

خطوة 3.3

اضرب $4$ في $1$ .

$(5 x^{2} - 1) (4 + \frac{d}{d x} [3]) + (4 x + 3) \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 1]$

خطوة 4

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $3$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$(5 x^{2} - 1) (4 + 0) + (4 x + 3) \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 1]$

خطوة 4.2

أضف $4$ و $0$ .

$(5 x^{2} - 1) \cdot 4 + (4 x + 3) \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 1]$

خطوة 4.3

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $5 x^{2} - 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$(5 x^{2} - 1) \cdot 4 + (4 x + 3) (\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1])$

خطوة 5

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [5 x^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

بما أن $5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $5 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$(5 x^{2} - 1) \cdot 4 + (4 x + 3) (5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1])$

خطوة 5.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$(5 x^{2} - 1) \cdot 4 + (4 x + 3) (5 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 1])$

خطوة 5.3

اضرب $2$ في $5$ .

$(5 x^{2} - 1) \cdot 4 + (4 x + 3) (10 x + \frac{d}{d x} [- 1])$

خطوة 6

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$(5 x^{2} - 1) \cdot 4 + (4 x + 3) (10 x + 0)$

خطوة 6.2

أضف $10 x$ و $0$ .

$(5 x^{2} - 1) \cdot 4 + (4 x + 3) (10 x)$

خطوة 7

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

طبّق خاصية التوزيع.

$5 x^{2} \cdot 4 - 1 \cdot 4 + (4 x + 3) (10 x)$

خطوة 7.2

طبّق خاصية التوزيع.

$5 x^{2} \cdot 4 - 1 \cdot 4 + 4 x (10 x) + 3 (10 x)$

خطوة 7.3

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.1

اضرب $4$ في $5$ .

$20 x^{2} - 1 \cdot 4 + 4 x (10 x) + 3 (10 x)$

خطوة 7.3.2

اضرب $- 1$ في $4$ .

$20 x^{2} - 4 + 4 x (10 x) + 3 (10 x)$

خطوة 7.3.3

اضرب $10$ في $4$ .

$20 x^{2} - 4 + 40 x \cdot x + 3 (10 x)$

خطوة 7.3.4

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$20 x^{2} - 4 + 40 (x^{1} x) + 3 (10 x)$

خطوة 7.3.5

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$20 x^{2} - 4 + 40 (x^{1} x^{1}) + 3 (10 x)$

خطوة 7.3.6

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$20 x^{2} - 4 + 40 x^{1 + 1} + 3 (10 x)$

خطوة 7.3.7

أضف $1$ و $1$ .

$20 x^{2} - 4 + 40 x^{2} + 3 (10 x)$

خطوة 7.3.8

اضرب $10$ في $3$ .

$20 x^{2} - 4 + 40 x^{2} + 30 x$

خطوة 7.3.9

أضف $20 x^{2}$ و $40 x^{2}$ .

$60 x^{2} - 4 + 30 x$

خطوة 7.4

أعِد ترتيب الحدود.

$60 x^{2} + 30 x - 4$