حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{18 t}{t^{2} + 81}$

خطوة 1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ هو $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ حيث $f (t) = 18 t$ و $g (t) = t^{2} + 81$ .

$\frac{(t^{2} + 81) \frac{d}{d t} [18 t] - 1 \cdot 18 t \frac{d}{d t} [t^{2} + 81]}{{(t^{2} + 81)}^{2}}$

خطوة 2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

بما أن $18$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، إذن مشتق $18 t$ بالنسبة إلى $t$ يساوي $18 \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{(t^{2} + 81) (18 \frac{d}{d t} [t]) - 1 \cdot 18 t \frac{d}{d t} [t^{2} + 81]}{{(t^{2} + 81)}^{2}}$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ هو $n t^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{(t^{2} + 81) (18 \cdot 1) - 1 \cdot 18 t \frac{d}{d t} [t^{2} + 81]}{{(t^{2} + 81)}^{2}}$

خطوة 2.3

اضرب $18$ في $1$ .

$\frac{(t^{2} + 81) \cdot 18 - 1 \cdot 18 t \frac{d}{d t} [t^{2} + 81]}{{(t^{2} + 81)}^{2}}$

خطوة 2.4

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $t^{2} + 81$ بالنسبة إلى $t$ هو $\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [81]$ .

$\frac{(t^{2} + 81) \cdot 18 - 1 \cdot 18 t (\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [81])}{{(t^{2} + 81)}^{2}}$

خطوة 2.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ هو $n t^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{(t^{2} + 81) \cdot 18 - 1 \cdot 18 t (2 t + \frac{d}{d t} [81])}{{(t^{2} + 81)}^{2}}$

خطوة 2.6

بما أن $81$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، فإن مشتق $81$ بالنسبة إلى $t$ هو $0$ .

$\frac{(t^{2} + 81) \cdot 18 - 1 \cdot 18 t (2 t + 0)}{{(t^{2} + 81)}^{2}}$

خطوة 2.7

أضف $2 t$ و $0$ .

$\frac{(t^{2} + 81) \cdot 18 - 1 \cdot 18 t (2 t)}{{(t^{2} + 81)}^{2}}$

خطوة 3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{t^{2} \cdot 18 + 81 \cdot 18 - 1 \cdot 18 t (2 t)}{{(t^{2} + 81)}^{2}}$

خطوة 3.2

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1

انقُل $18$ إلى يسار $t^{2}$ .

$\frac{18 \cdot t^{2} + 81 \cdot 18 - 1 \cdot 18 t (2 t)}{{(t^{2} + 81)}^{2}}$

خطوة 3.2.1.2

اضرب $81$ في $18$ .

$\frac{18 t^{2} + 1458 - 1 \cdot 18 t (2 t)}{{(t^{2} + 81)}^{2}}$

خطوة 3.2.1.3

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\frac{18 t^{2} + 1458 - 1 \cdot 18 \cdot 2 t \cdot t}{{(t^{2} + 81)}^{2}}$

خطوة 3.2.1.4

اضرب $t$ في $t$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.4.1

انقُل $t$ .

$\frac{18 t^{2} + 1458 - 1 \cdot 18 \cdot 2 (t \cdot t)}{{(t^{2} + 81)}^{2}}$

خطوة 3.2.1.4.2

اضرب $t$ في $t$ .

$\frac{18 t^{2} + 1458 - 1 \cdot 18 \cdot 2 t^{2}}{{(t^{2} + 81)}^{2}}$

خطوة 3.2.1.5

اضرب $- 1 \cdot 18 \cdot 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.5.1

اضرب $- 1$ في $18$ .

$\frac{18 t^{2} + 1458 - 18 \cdot 2 t^{2}}{{(t^{2} + 81)}^{2}}$

خطوة 3.2.1.5.2

اضرب $- 18$ في $2$ .

$\frac{18 t^{2} + 1458 - 36 t^{2}}{{(t^{2} + 81)}^{2}}$

خطوة 3.2.2

اطرح $36 t^{2}$ من $18 t^{2}$ .

$\frac{- 18 t^{2} + 1458}{{(t^{2} + 81)}^{2}}$

خطوة 3.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

أخرِج العامل $18$ من $- 18 t^{2} + 1458$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1.1

أخرِج العامل $18$ من $- 18 t^{2}$ .

$\frac{18 (- t^{2}) + 1458}{{(t^{2} + 81)}^{2}}$

خطوة 3.3.1.2

أخرِج العامل $18$ من $1458$ .

$\frac{18 (- t^{2}) + 18 (81)}{{(t^{2} + 81)}^{2}}$

خطوة 3.3.1.3

أخرِج العامل $18$ من $18 (- t^{2}) + 18 (81)$ .

$\frac{18 (- t^{2} + 81)}{{(t^{2} + 81)}^{2}}$

خطوة 3.3.2

أعِد كتابة $81$ بالصيغة $9^{2}$ .

$\frac{18 (- t^{2} + 9^{2})}{{(t^{2} + 81)}^{2}}$

خطوة 3.3.3

أعِد ترتيب $- t^{2}$ و $9^{2}$ .

$\frac{18 (9^{2} - t^{2})}{{(t^{2} + 81)}^{2}}$

خطوة 3.3.4

بما أن كلا الحدّين هما مربعان كاملان، حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة الفرق بين مربعين، $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ حيث $a = 9$ و $b = t$ .

$\frac{18 (9 + t) (9 - t)}{{(t^{2} + 81)}^{2}}$