حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = \frac{x^{2}}{x - 8}$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ هو $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = x - 8$ .

$f' (x) = \frac{(x - 8) \frac{d}{d x} (x^{2}) - x^{2} \frac{d}{d x} (x - 8)}{{(x - 8)}^{2}}$

خطوة 1.1.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{(x - 8) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} (x - 8)}{{(x - 8)}^{2}}$

خطوة 1.1.2.2

انقُل $2$ إلى يسار $x - 8$ .

$f' (x) = \frac{2 \cdot ((x - 8) x) - x^{2} \frac{d}{d x} (x - 8)}{{(x - 8)}^{2}}$

خطوة 1.1.2.3

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x - 8$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 8]$ .

$f' (x) = \frac{2 (x - 8) x - x^{2} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 8))}{{(x - 8)}^{2}}$

خطوة 1.1.2.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{2 (x - 8) x - x^{2} (1 + \frac{d}{d x} (- 8))}{{(x - 8)}^{2}}$

خطوة 1.1.2.5

بما أن $- 8$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 8$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$f' (x) = \frac{2 (x - 8) x - x^{2} (1 + 0)}{{(x - 8)}^{2}}$

خطوة 1.1.2.6

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.6.1

أضف $1$ و $0$ .

$f' (x) = \frac{2 (x - 8) x - x^{2} \cdot 1}{{(x - 8)}^{2}}$

خطوة 1.1.2.6.2

اضرب $- 1$ في $1$ .

$f' (x) = \frac{2 (x - 8) x - x^{2}}{{(x - 8)}^{2}}$

خطوة 1.1.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1

طبّق خاصية التوزيع.

$f' (x) = \frac{(2 x + 2 \cdot - 8) x - x^{2}}{{(x - 8)}^{2}}$

خطوة 1.1.3.2

طبّق خاصية التوزيع.

$f' (x) = \frac{2 x \cdot x + 2 \cdot (- 8 x) - x^{2}}{{(x - 8)}^{2}}$

خطوة 1.1.3.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.3.1.1

اضرب $x$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.3.1.1.1

انقُل $x$ .

$f' (x) = \frac{2 (x \cdot x) + 2 \cdot (- 8 x) - x^{2}}{{(x - 8)}^{2}}$

خطوة 1.1.3.3.1.1.2

اضرب $x$ في $x$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{2} + 2 \cdot (- 8 x) - x^{2}}{{(x - 8)}^{2}}$

خطوة 1.1.3.3.1.2

اضرب $2$ في $- 8$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{2} - 16 x - x^{2}}{{(x - 8)}^{2}}$

خطوة 1.1.3.3.2

اطرح $x^{2}$ من $2 x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} - 16 x}{{(x - 8)}^{2}}$

خطوة 1.1.3.4

أخرِج العامل $x$ من $x^{2} - 16 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.4.1

أخرِج العامل $x$ من $x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{x \cdot x - 16 x}{{(x - 8)}^{2}}$

خطوة 1.1.3.4.2

أخرِج العامل $x$ من $- 16 x$ .

$f' (x) = \frac{x \cdot x + x \cdot - 16}{{(x - 8)}^{2}}$

خطوة 1.1.3.4.3

أخرِج العامل $x$ من $x \cdot x + x \cdot - 16$ .

$f' (x) = \frac{x (x - 16)}{{(x - 8)}^{2}}$

خطوة 1.2

المشتق الأول لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{x (x - 16)}{{(x - 8)}^{2}}$ .

$\frac{x (x - 16)}{{(x - 8)}^{2}}$

خطوة 2

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم أوجِد حل المعادلة $\frac{x (x - 16)}{{(x - 8)}^{2}} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن قيمة المشتق الأول بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$\frac{x (x - 16)}{{(x - 8)}^{2}} = 0$

خطوة 2.2

عيّن قيمة بسط الكسر بحيث تصبح مساوية لصفر.

$x (x - 16) = 0$

خطوة 2.3

أوجِد قيمة $x$ في المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$x = 0$

$x - 16 = 0$

خطوة 2.3.2

عيّن قيمة $x$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x = 0$

خطوة 2.3.3

عيّن قيمة العبارة $x - 16$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.1

عيّن قيمة $x - 16$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x - 16 = 0$

خطوة 2.3.3.2

أضف $16$ إلى كلا المتعادلين.

$x = 16$

خطوة 2.3.4

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $x (x - 16) = 0$ صحيحة.

$x = 0, 16$

خطوة 3

أوجِد القيم التي يكون عندها المشتق غير معرّف.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عيّن قيمة القاسم في $\frac{x (x - 16)}{{(x - 8)}^{2}}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ لإيجاد الموضع الذي تكون فيه العبارة غير معرّفة.

${(x - 8)}^{2} = 0$

خطوة 3.2

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

عيّن قيمة $x - 8$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x - 8 = 0$

خطوة 3.2.2

أضف $8$ إلى كلا المتعادلين.

$x = 8$

خطوة 4

احسِب قيمة $\frac{x^{2}}{x - 8}$ عند كل قيمة $x$ يكون عندها المشتق مساويًا لـ $0$ أو غير معرّف.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

احسِب القيمة في $x = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $0$ .

$\frac{{(0)}^{2}}{(0) - 8}$

خطوة 4.1.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$\frac{0}{0 - 8}$

خطوة 4.1.2.2

اطرح $8$ من $0$ .

$\frac{0}{- 8}$

خطوة 4.1.2.3

اقسِم $0$ على $- 8$ .

$0$

خطوة 4.2

احسِب القيمة في $x = 16$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $16$ .

$\frac{{(16)}^{2}}{(16) - 8}$

خطوة 4.2.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.1

ارفع $16$ إلى القوة $2$ .

$\frac{256}{16 - 8}$

خطوة 4.2.2.2

اطرح $8$ من $16$ .

$\frac{256}{8}$

خطوة 4.2.2.3

اقسِم $256$ على $8$ .

$32$

خطوة 4.3

احسِب القيمة في $x = 8$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $8$ .

$\frac{{(8)}^{2}}{(8) - 8}$

خطوة 4.3.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1

اطرح $8$ من $8$ .

$\frac{{(8)}^{2}}{0}$

خطوة 4.3.2.2

تتضمن العبارة قسمة على $0$ . العبارة غير معرّفة.

غير معرّف

خطوة 4.4

اسرِد جميع النقاط.

$(0, 0), (16, 32)$

خطوة 5