حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$m (t) = - 7 t {(3 t^{4} - 1)}^{8}$

خطوة 1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ هو $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ حيث $f (t) = - 7 t$ و $g (t) = {(3 t^{4} - 1)}^{8}$ .

$- 7 t \frac{d}{d t} [{(3 t^{4} - 1)}^{8}] + {(3 t^{4} - 1)}^{8} \frac{d}{d t} [- 7 t]$

خطوة 2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ هو $f' (g (t)) g' (t)$ حيث $f (t) = t^{8}$ و $g (t) = 3 t^{4} - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $3 t^{4} - 1$ .

$- 7 t (\frac{d}{d u} [u^{8}] \frac{d}{d t} [3 t^{4} - 1]) + {(3 t^{4} - 1)}^{8} \frac{d}{d t} [- 7 t]$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 8$ .

$- 7 t (8 u^{7} \frac{d}{d t} [3 t^{4} - 1]) + {(3 t^{4} - 1)}^{8} \frac{d}{d t} [- 7 t]$

خطوة 2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $3 t^{4} - 1$ .

$- 7 t (8 {(3 t^{4} - 1)}^{7} \frac{d}{d t} [3 t^{4} - 1]) + {(3 t^{4} - 1)}^{8} \frac{d}{d t} [- 7 t]$

خطوة 3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $3 t^{4} - 1$ بالنسبة إلى $t$ هو $\frac{d}{d t} [3 t^{4}] + \frac{d}{d t} [- 1]$ .

$- 7 t (8 {(3 t^{4} - 1)}^{7} (\frac{d}{d t} [3 t^{4}] + \frac{d}{d t} [- 1])) + {(3 t^{4} - 1)}^{8} \frac{d}{d t} [- 7 t]$

خطوة 3.2

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، إذن مشتق $3 t^{4}$ بالنسبة إلى $t$ يساوي $3 \frac{d}{d t} [t^{4}]$ .

$- 7 t (8 {(3 t^{4} - 1)}^{7} (3 \frac{d}{d t} [t^{4}] + \frac{d}{d t} [- 1])) + {(3 t^{4} - 1)}^{8} \frac{d}{d t} [- 7 t]$

خطوة 3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ هو $n t^{n - 1}$ حيث $n = 4$ .

$- 7 t (8 {(3 t^{4} - 1)}^{7} (3 (4 t^{3}) + \frac{d}{d t} [- 1])) + {(3 t^{4} - 1)}^{8} \frac{d}{d t} [- 7 t]$

خطوة 3.4

اضرب $4$ في $3$ .

$- 7 t (8 {(3 t^{4} - 1)}^{7} (12 t^{3} + \frac{d}{d t} [- 1])) + {(3 t^{4} - 1)}^{8} \frac{d}{d t} [- 7 t]$

خطوة 3.5

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، فإن مشتق $- 1$ بالنسبة إلى $t$ هو $0$ .

$- 7 t (8 {(3 t^{4} - 1)}^{7} (12 t^{3} + 0)) + {(3 t^{4} - 1)}^{8} \frac{d}{d t} [- 7 t]$

خطوة 3.6

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.1

أضف $12 t^{3}$ و $0$ .

$- 7 t (8 {(3 t^{4} - 1)}^{7} (12 t^{3})) + {(3 t^{4} - 1)}^{8} \frac{d}{d t} [- 7 t]$

خطوة 3.6.2

اضرب $12$ في $8$ .

$- 7 t (96 {(3 t^{4} - 1)}^{7} t^{3}) + {(3 t^{4} - 1)}^{8} \frac{d}{d t} [- 7 t]$

خطوة 3.6.3

أعِد ترتيب عوامل $96 {(3 t^{4} - 1)}^{7} t^{3}$ .

$- 7 t (96 t^{3} {(3 t^{4} - 1)}^{7}) + {(3 t^{4} - 1)}^{8} \frac{d}{d t} [- 7 t]$

خطوة 3.7

بما أن $- 7$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، إذن مشتق $- 7 t$ بالنسبة إلى $t$ يساوي $- 7 \frac{d}{d t} [t]$ .

$- 7 t (96 t^{3} {(3 t^{4} - 1)}^{7}) + {(3 t^{4} - 1)}^{8} (- 7 \frac{d}{d t} [t])$

خطوة 3.8

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ هو $n t^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$- 7 t (96 t^{3} {(3 t^{4} - 1)}^{7}) + {(3 t^{4} - 1)}^{8} (- 7 \cdot 1)$

خطوة 3.9

اضرب $- 7$ في $1$ .

$- 7 t (96 t^{3} {(3 t^{4} - 1)}^{7}) + {(3 t^{4} - 1)}^{8} \cdot - 7$

خطوة 4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

اضرب $96$ في $- 7$ .

$- 672 t (t^{3} {(3 t^{4} - 1)}^{7}) + {(3 t^{4} - 1)}^{8} \cdot - 7$

خطوة 4.2

ارفع $t$ إلى القوة $1$ .

$- 672 (t^{3} t^{1}) {(3 t^{4} - 1)}^{7} + {(3 t^{4} - 1)}^{8} \cdot - 7$

خطوة 4.3

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$- 672 t^{3 + 1} {(3 t^{4} - 1)}^{7} + {(3 t^{4} - 1)}^{8} \cdot - 7$

خطوة 4.4

أضف $3$ و $1$ .

$- 672 t^{4} {(3 t^{4} - 1)}^{7} + {(3 t^{4} - 1)}^{8} \cdot - 7$

خطوة 4.5

انقُل $- 7$ إلى يسار ${(3 t^{4} - 1)}^{8}$ .

$- 672 t^{4} {(3 t^{4} - 1)}^{7} - 7 \cdot {(3 t^{4} - 1)}^{8}$

خطوة 4.6

أخرِج العامل $7 {(3 t^{4} - 1)}^{7}$ من $- 672 t^{4} {(3 t^{4} - 1)}^{7} - 7 {(3 t^{4} - 1)}^{8}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.6.1

أخرِج العامل $7 {(3 t^{4} - 1)}^{7}$ من $- 672 t^{4} {(3 t^{4} - 1)}^{7}$ .

$7 {(3 t^{4} - 1)}^{7} (- 96 t^{4}) - 7 {(3 t^{4} - 1)}^{8}$

خطوة 4.6.2

أخرِج العامل $7 {(3 t^{4} - 1)}^{7}$ من $- 7 {(3 t^{4} - 1)}^{8}$ .

$7 {(3 t^{4} - 1)}^{7} (- 96 t^{4}) + 7 {(3 t^{4} - 1)}^{7} (- (3 t^{4} - 1))$

خطوة 4.6.3

أخرِج العامل $7 {(3 t^{4} - 1)}^{7}$ من $7 {(3 t^{4} - 1)}^{7} (- 96 t^{4}) + 7 {(3 t^{4} - 1)}^{7} (- (3 t^{4} - 1))$ .

$7 {(3 t^{4} - 1)}^{7} (- 96 t^{4} - (3 t^{4} - 1))$