حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$h (x) = 6 x^{2} {(8 x + 7)}^{4}$

خطوة 1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = 6 x^{2}$ و $g (x) = {(8 x + 7)}^{4}$ .

$6 x^{2} \frac{d}{d x} [{(8 x + 7)}^{4}] + {(8 x + 7)}^{4} \frac{d}{d x} [6 x^{2}]$

خطوة 2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{4}$ و $g (x) = 8 x + 7$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $8 x + 7$ .

$6 x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [8 x + 7]) + {(8 x + 7)}^{4} \frac{d}{d x} [6 x^{2}]$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 4$ .

$6 x^{2} (4 u^{3} \frac{d}{d x} [8 x + 7]) + {(8 x + 7)}^{4} \frac{d}{d x} [6 x^{2}]$

خطوة 2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $8 x + 7$ .

$6 x^{2} (4 {(8 x + 7)}^{3} \frac{d}{d x} [8 x + 7]) + {(8 x + 7)}^{4} \frac{d}{d x} [6 x^{2}]$

خطوة 3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $8 x + 7$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$6 x^{2} (4 {(8 x + 7)}^{3} (\frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [7])) + {(8 x + 7)}^{4} \frac{d}{d x} [6 x^{2}]$

خطوة 3.2

بما أن $8$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $8 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 x^{2} (4 {(8 x + 7)}^{3} (8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [7])) + {(8 x + 7)}^{4} \frac{d}{d x} [6 x^{2}]$

خطوة 3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$6 x^{2} (4 {(8 x + 7)}^{3} (8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [7])) + {(8 x + 7)}^{4} \frac{d}{d x} [6 x^{2}]$

خطوة 3.4

اضرب $8$ في $1$ .

$6 x^{2} (4 {(8 x + 7)}^{3} (8 + \frac{d}{d x} [7])) + {(8 x + 7)}^{4} \frac{d}{d x} [6 x^{2}]$

خطوة 3.5

بما أن $7$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $7$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$6 x^{2} (4 {(8 x + 7)}^{3} (8 + 0)) + {(8 x + 7)}^{4} \frac{d}{d x} [6 x^{2}]$

خطوة 3.6

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.1

أضف $8$ و $0$ .

$6 x^{2} (4 {(8 x + 7)}^{3} \cdot 8) + {(8 x + 7)}^{4} \frac{d}{d x} [6 x^{2}]$

خطوة 3.6.2

اضرب $8$ في $4$ .

$6 x^{2} (32 {(8 x + 7)}^{3}) + {(8 x + 7)}^{4} \frac{d}{d x} [6 x^{2}]$

خطوة 3.7

بما أن $6$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $6 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$6 x^{2} (32 {(8 x + 7)}^{3}) + {(8 x + 7)}^{4} (6 \frac{d}{d x} [x^{2}])$

خطوة 3.8

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$6 x^{2} (32 {(8 x + 7)}^{3}) + {(8 x + 7)}^{4} (6 (2 x))$

خطوة 3.9

اضرب $2$ في $6$ .

$6 x^{2} (32 {(8 x + 7)}^{3}) + {(8 x + 7)}^{4} (12 x)$

خطوة 4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

اضرب $32$ في $6$ .

$192 x^{2} {(8 x + 7)}^{3} + {(8 x + 7)}^{4} (12 x)$

خطوة 4.2

انقُل $12$ إلى يسار ${(8 x + 7)}^{4}$ .

$192 x^{2} {(8 x + 7)}^{3} + 12 \cdot {(8 x + 7)}^{4} x$

خطوة 4.3

أخرِج العامل $12 x {(8 x + 7)}^{3}$ من $192 x^{2} {(8 x + 7)}^{3} + 12 {(8 x + 7)}^{4} x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

أخرِج العامل $12 x {(8 x + 7)}^{3}$ من $192 x^{2} {(8 x + 7)}^{3}$ .

$12 x {(8 x + 7)}^{3} (16 x) + 12 {(8 x + 7)}^{4} x$

خطوة 4.3.2

أخرِج العامل $12 x {(8 x + 7)}^{3}$ من $12 {(8 x + 7)}^{4} x$ .

$12 x {(8 x + 7)}^{3} (16 x) + 12 x {(8 x + 7)}^{3} (8 x + 7)$

خطوة 4.3.3

أخرِج العامل $12 x {(8 x + 7)}^{3}$ من $12 x {(8 x + 7)}^{3} (16 x) + 12 x {(8 x + 7)}^{3} (8 x + 7)$ .

$12 x {(8 x + 7)}^{3} (16 x + 8 x + 7)$

خطوة 4.4

أضف $16 x$ و $8 x$ .

$12 x {(8 x + 7)}^{3} (24 x + 7)$