حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

${(5 x + 1)}^{5} {(4 x + 1)}^{- 2}$

خطوة 1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = {(5 x + 1)}^{5}$ و $g (x) = {(4 x + 1)}^{- 2}$ .

${(5 x + 1)}^{5} \frac{d}{d x} [{(4 x + 1)}^{- 2}] + {(4 x + 1)}^{- 2} \frac{d}{d x} [{(5 x + 1)}^{5}]$

خطوة 2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{- 2}$ و $g (x) = 4 x + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $4 x + 1$ .

${(5 x + 1)}^{5} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 2}] \frac{d}{d x} [4 x + 1]) + {(4 x + 1)}^{- 2} \frac{d}{d x} [{(5 x + 1)}^{5}]$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ هو $n {u_{1}}^{n - 1}$ حيث $n = - 2$ .

${(5 x + 1)}^{5} (- 2 {u_{1}}^{- 3} \frac{d}{d x} [4 x + 1]) + {(4 x + 1)}^{- 2} \frac{d}{d x} [{(5 x + 1)}^{5}]$

خطوة 2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $4 x + 1$ .

${(5 x + 1)}^{5} (- 2 {(4 x + 1)}^{- 3} \frac{d}{d x} [4 x + 1]) + {(4 x + 1)}^{- 2} \frac{d}{d x} [{(5 x + 1)}^{5}]$

خطوة 3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $4 x + 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

${(5 x + 1)}^{5} (- 2 {(4 x + 1)}^{- 3} (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [1])) + {(4 x + 1)}^{- 2} \frac{d}{d x} [{(5 x + 1)}^{5}]$

خطوة 3.2

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $4 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

${(5 x + 1)}^{5} (- 2 {(4 x + 1)}^{- 3} (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])) + {(4 x + 1)}^{- 2} \frac{d}{d x} [{(5 x + 1)}^{5}]$

خطوة 3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

${(5 x + 1)}^{5} (- 2 {(4 x + 1)}^{- 3} (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])) + {(4 x + 1)}^{- 2} \frac{d}{d x} [{(5 x + 1)}^{5}]$

خطوة 3.4

اضرب $4$ في $1$ .

${(5 x + 1)}^{5} (- 2 {(4 x + 1)}^{- 3} (4 + \frac{d}{d x} [1])) + {(4 x + 1)}^{- 2} \frac{d}{d x} [{(5 x + 1)}^{5}]$

خطوة 3.5

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

${(5 x + 1)}^{5} (- 2 {(4 x + 1)}^{- 3} (4 + 0)) + {(4 x + 1)}^{- 2} \frac{d}{d x} [{(5 x + 1)}^{5}]$

خطوة 3.6

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.1

أضف $4$ و $0$ .

${(5 x + 1)}^{5} (- 2 {(4 x + 1)}^{- 3} \cdot 4) + {(4 x + 1)}^{- 2} \frac{d}{d x} [{(5 x + 1)}^{5}]$

خطوة 3.6.2

اضرب $4$ في $- 2$ .

${(5 x + 1)}^{5} (- 8 {(4 x + 1)}^{- 3}) + {(4 x + 1)}^{- 2} \frac{d}{d x} [{(5 x + 1)}^{5}]$

خطوة 4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

${(5 x + 1)}^{5} (- 8 \frac{1}{{(4 x + 1)}^{3}}) + {(4 x + 1)}^{- 2} \frac{d}{d x} [{(5 x + 1)}^{5}]$

خطوة 4.2

اجمع $- 8$ و $\frac{1}{{(4 x + 1)}^{3}}$ .

${(5 x + 1)}^{5} \frac{- 8}{{(4 x + 1)}^{3}} + {(4 x + 1)}^{- 2} \frac{d}{d x} [{(5 x + 1)}^{5}]$

خطوة 4.3

انقُل السالب أمام الكسر.

${(5 x + 1)}^{5} (- \frac{8}{{(4 x + 1)}^{3}}) + {(4 x + 1)}^{- 2} \frac{d}{d x} [{(5 x + 1)}^{5}]$

خطوة 5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{5}$ و $g (x) = 5 x + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{2}$ لتصبح $5 x + 1$ .

${(5 x + 1)}^{5} (- \frac{8}{{(4 x + 1)}^{3}}) + {(4 x + 1)}^{- 2} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{5}] \frac{d}{d x} [5 x + 1])$

خطوة 5.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ هو $n {u_{2}}^{n - 1}$ حيث $n = 5$ .

${(5 x + 1)}^{5} (- \frac{8}{{(4 x + 1)}^{3}}) + {(4 x + 1)}^{- 2} (5 {u_{2}}^{4} \frac{d}{d x} [5 x + 1])$

خطوة 5.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $5 x + 1$ .

${(5 x + 1)}^{5} (- \frac{8}{{(4 x + 1)}^{3}}) + {(4 x + 1)}^{- 2} (5 {(5 x + 1)}^{4} \frac{d}{d x} [5 x + 1])$

خطوة 6

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $5 x + 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

${(5 x + 1)}^{5} (- \frac{8}{{(4 x + 1)}^{3}}) + {(4 x + 1)}^{- 2} (5 {(5 x + 1)}^{4} (\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [1]))$

خطوة 6.2

بما أن $5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $5 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

${(5 x + 1)}^{5} (- \frac{8}{{(4 x + 1)}^{3}}) + {(4 x + 1)}^{- 2} (5 {(5 x + 1)}^{4} (5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]))$

خطوة 6.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

${(5 x + 1)}^{5} (- \frac{8}{{(4 x + 1)}^{3}}) + {(4 x + 1)}^{- 2} (5 {(5 x + 1)}^{4} (5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]))$

خطوة 6.4

اضرب $5$ في $1$ .

${(5 x + 1)}^{5} (- \frac{8}{{(4 x + 1)}^{3}}) + {(4 x + 1)}^{- 2} (5 {(5 x + 1)}^{4} (5 + \frac{d}{d x} [1]))$

خطوة 6.5

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

${(5 x + 1)}^{5} (- \frac{8}{{(4 x + 1)}^{3}}) + {(4 x + 1)}^{- 2} (5 {(5 x + 1)}^{4} (5 + 0))$

خطوة 6.6

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.6.1

أضف $5$ و $0$ .

${(5 x + 1)}^{5} (- \frac{8}{{(4 x + 1)}^{3}}) + {(4 x + 1)}^{- 2} (5 {(5 x + 1)}^{4} \cdot 5)$

خطوة 6.6.2

اضرب $5$ في $5$ .

${(5 x + 1)}^{5} (- \frac{8}{{(4 x + 1)}^{3}}) + {(4 x + 1)}^{- 2} (25 {(5 x + 1)}^{4})$

خطوة 7

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

${(5 x + 1)}^{5} (- \frac{8}{{(4 x + 1)}^{3}}) + \frac{1}{{(4 x + 1)}^{2}} (25 {(5 x + 1)}^{4})$

خطوة 7.2

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

اجمع ${(5 x + 1)}^{5}$ و $\frac{8}{{(4 x + 1)}^{3}}$ .

$- \frac{{(5 x + 1)}^{5} \cdot 8}{{(4 x + 1)}^{3}} + \frac{1}{{(4 x + 1)}^{2}} (25 {(5 x + 1)}^{4})$

خطوة 7.2.2

انقُل $8$ إلى يسار ${(5 x + 1)}^{5}$ .

$- \frac{8 \cdot {(5 x + 1)}^{5}}{{(4 x + 1)}^{3}} + \frac{1}{{(4 x + 1)}^{2}} (25 {(5 x + 1)}^{4})$

خطوة 7.2.3

اجمع $25$ و $\frac{1}{{(4 x + 1)}^{2}}$ .

$- \frac{8 {(5 x + 1)}^{5}}{{(4 x + 1)}^{3}} + \frac{25}{{(4 x + 1)}^{2}} {(5 x + 1)}^{4}$

خطوة 7.2.4

اجمع $\frac{25}{{(4 x + 1)}^{2}}$ و ${(5 x + 1)}^{4}$ .

$- \frac{8 {(5 x + 1)}^{5}}{{(4 x + 1)}^{3}} + \frac{25 {(5 x + 1)}^{4}}{{(4 x + 1)}^{2}}$

خطوة 7.2.5

لكتابة $\frac{25 {(5 x + 1)}^{4}}{{(4 x + 1)}^{2}}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{4 x + 1}{4 x + 1}$ .

$- \frac{8 {(5 x + 1)}^{5}}{{(4 x + 1)}^{3}} + \frac{25 {(5 x + 1)}^{4}}{{(4 x + 1)}^{2}} \cdot \frac{4 x + 1}{4 x + 1}$

خطوة 7.2.6

اكتب كل عبارة قاسمها المشترك ${(4 x + 1)}^{3}$ ، بضربها في العامل المناسب للعدد $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.6.1

اضرب $\frac{25 {(5 x + 1)}^{4}}{{(4 x + 1)}^{2}}$ في $\frac{4 x + 1}{4 x + 1}$ .

$- \frac{8 {(5 x + 1)}^{5}}{{(4 x + 1)}^{3}} + \frac{25 {(5 x + 1)}^{4} (4 x + 1)}{{(4 x + 1)}^{2} (4 x + 1)}$

خطوة 7.2.6.2

اضرب ${(4 x + 1)}^{2}$ في $4 x + 1$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.6.2.1

اضرب ${(4 x + 1)}^{2}$ في $4 x + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.6.2.1.1

ارفع $4 x + 1$ إلى القوة $1$ .

$- \frac{8 {(5 x + 1)}^{5}}{{(4 x + 1)}^{3}} + \frac{25 {(5 x + 1)}^{4} (4 x + 1)}{{(4 x + 1)}^{2} {(4 x + 1)}^{1}}$

خطوة 7.2.6.2.1.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$- \frac{8 {(5 x + 1)}^{5}}{{(4 x + 1)}^{3}} + \frac{25 {(5 x + 1)}^{4} (4 x + 1)}{{(4 x + 1)}^{2 + 1}}$

خطوة 7.2.6.2.2

أضف $2$ و $1$ .

$- \frac{8 {(5 x + 1)}^{5}}{{(4 x + 1)}^{3}} + \frac{25 {(5 x + 1)}^{4} (4 x + 1)}{{(4 x + 1)}^{3}}$

خطوة 7.2.7

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{- 8 {(5 x + 1)}^{5} + 25 {(5 x + 1)}^{4} (4 x + 1)}{{(4 x + 1)}^{3}}$

خطوة 7.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.1

أخرِج العامل ${(5 x + 1)}^{4}$ من $- 8 {(5 x + 1)}^{5} + 25 {(5 x + 1)}^{4} (4 x + 1)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.1.1

أخرِج العامل ${(5 x + 1)}^{4}$ من $- 8 {(5 x + 1)}^{5}$ .

$\frac{{(5 x + 1)}^{4} (- 8 (5 x + 1)) + 25 {(5 x + 1)}^{4} (4 x + 1)}{{(4 x + 1)}^{3}}$

خطوة 7.3.1.2

أخرِج العامل ${(5 x + 1)}^{4}$ من $25 {(5 x + 1)}^{4} (4 x + 1)$ .

$\frac{{(5 x + 1)}^{4} (- 8 (5 x + 1)) + {(5 x + 1)}^{4} (25 (4 x + 1))}{{(4 x + 1)}^{3}}$

خطوة 7.3.1.3

أخرِج العامل ${(5 x + 1)}^{4}$ من ${(5 x + 1)}^{4} (- 8 (5 x + 1)) + {(5 x + 1)}^{4} (25 (4 x + 1))$ .

$\frac{{(5 x + 1)}^{4} (- 8 (5 x + 1) + 25 (4 x + 1))}{{(4 x + 1)}^{3}}$

خطوة 7.3.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{{(5 x + 1)}^{4} (- 8 (5 x) - 8 \cdot 1 + 25 (4 x + 1))}{{(4 x + 1)}^{3}}$

خطوة 7.3.3

اضرب $5$ في $- 8$ .

$\frac{{(5 x + 1)}^{4} (- 40 x - 8 \cdot 1 + 25 (4 x + 1))}{{(4 x + 1)}^{3}}$

خطوة 7.3.4

اضرب $- 8$ في $1$ .

$\frac{{(5 x + 1)}^{4} (- 40 x - 8 + 25 (4 x + 1))}{{(4 x + 1)}^{3}}$

خطوة 7.3.5

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{{(5 x + 1)}^{4} (- 40 x - 8 + 25 (4 x) + 25 \cdot 1)}{{(4 x + 1)}^{3}}$

خطوة 7.3.6

اضرب $4$ في $25$ .

$\frac{{(5 x + 1)}^{4} (- 40 x - 8 + 100 x + 25 \cdot 1)}{{(4 x + 1)}^{3}}$

خطوة 7.3.7

اضرب $25$ في $1$ .

$\frac{{(5 x + 1)}^{4} (- 40 x - 8 + 100 x + 25)}{{(4 x + 1)}^{3}}$

خطوة 7.3.8

أضف $- 40 x$ و $100 x$ .

$\frac{{(5 x + 1)}^{4} (60 x - 8 + 25)}{{(4 x + 1)}^{3}}$

خطوة 7.3.9

أضف $- 8$ و $25$ .

$\frac{{(5 x + 1)}^{4} (60 x + 17)}{{(4 x + 1)}^{3}}$