حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = (3 x - 5) (2 x^{3} - x^{2} + 1)$

خطوة 1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = 3 x - 5$ و $g (x) = 2 x^{3} - x^{2} + 1$ .

$(3 x - 5) \frac{d}{d x} [2 x^{3} - x^{2} + 1] + (2 x^{3} - x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [3 x - 5]$

خطوة 2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $2 x^{3} - x^{2} + 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$(3 x - 5) (\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]) + (2 x^{3} - x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [3 x - 5]$

خطوة 3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x^{3}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$(3 x - 5) (2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]) + (2 x^{3} - x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [3 x - 5]$

خطوة 3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$(3 x - 5) (2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]) + (2 x^{3} - x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [3 x - 5]$

خطوة 3.3

اضرب $3$ في $2$ .

$(3 x - 5) (6 x^{2} + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]) + (2 x^{3} - x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [3 x - 5]$

خطوة 4

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$(3 x - 5) (6 x^{2} - \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]) + (2 x^{3} - x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [3 x - 5]$

خطوة 4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$(3 x - 5) (6 x^{2} - (2 x) + \frac{d}{d x} [1]) + (2 x^{3} - x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [3 x - 5]$

خطوة 4.3

اضرب $2$ في $- 1$ .

$(3 x - 5) (6 x^{2} - 2 x + \frac{d}{d x} [1]) + (2 x^{3} - x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [3 x - 5]$

خطوة 5

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$(3 x - 5) (6 x^{2} - 2 x + 0) + (2 x^{3} - x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [3 x - 5]$

خطوة 5.2

أضف $6 x^{2} - 2 x$ و $0$ .

$(3 x - 5) (6 x^{2} - 2 x) + (2 x^{3} - x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [3 x - 5]$

خطوة 5.3

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $3 x - 5$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$(3 x - 5) (6 x^{2} - 2 x) + (2 x^{3} - x^{2} + 1) (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 5])$

خطوة 6

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $3 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(3 x - 5) (6 x^{2} - 2 x) + (2 x^{3} - x^{2} + 1) (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5])$

خطوة 6.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$(3 x - 5) (6 x^{2} - 2 x) + (2 x^{3} - x^{2} + 1) (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 5])$

خطوة 6.3

اضرب $3$ في $1$ .

$(3 x - 5) (6 x^{2} - 2 x) + (2 x^{3} - x^{2} + 1) (3 + \frac{d}{d x} [- 5])$

خطوة 7

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

بما أن $- 5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 5$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$(3 x - 5) (6 x^{2} - 2 x) + (2 x^{3} - x^{2} + 1) (3 + 0)$

خطوة 7.2

أضف $3$ و $0$ .

$(3 x - 5) (6 x^{2} - 2 x) + (2 x^{3} - x^{2} + 1) \cdot 3$

خطوة 8

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

طبّق خاصية التوزيع.

$(3 x - 5) (6 x^{2} - 2 x) + 2 x^{3} \cdot 3 - x^{2} \cdot 3 + 1 \cdot 3$

خطوة 8.2

طبّق خاصية التوزيع.

$(3 x - 5) (6 x^{2}) + (3 x - 5) (- 2 x) + 2 x^{3} \cdot 3 - x^{2} \cdot 3 + 1 \cdot 3$

خطوة 8.3

طبّق خاصية التوزيع.

$3 x (6 x^{2}) - 5 (6 x^{2}) + (3 x - 5) (- 2 x) + 2 x^{3} \cdot 3 - x^{2} \cdot 3 + 1 \cdot 3$

خطوة 8.4

طبّق خاصية التوزيع.

$3 x (6 x^{2}) - 5 (6 x^{2}) + 3 x (- 2 x) - 5 (- 2 x) + 2 x^{3} \cdot 3 - x^{2} \cdot 3 + 1 \cdot 3$

خطوة 8.5

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.5.1

اضرب $6$ في $3$ .

$18 x \cdot x^{2} - 5 (6 x^{2}) + 3 x (- 2 x) - 5 (- 2 x) + 2 x^{3} \cdot 3 - x^{2} \cdot 3 + 1 \cdot 3$

خطوة 8.5.2

اضرب $x$ في $x^{2}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.5.2.1

انقُل $x^{2}$ .

$18 (x^{2} x) - 5 (6 x^{2}) + 3 x (- 2 x) - 5 (- 2 x) + 2 x^{3} \cdot 3 - x^{2} \cdot 3 + 1 \cdot 3$

خطوة 8.5.2.2

اضرب $x^{2}$ في $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.5.2.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$18 (x^{2} x^{1}) - 5 (6 x^{2}) + 3 x (- 2 x) - 5 (- 2 x) + 2 x^{3} \cdot 3 - x^{2} \cdot 3 + 1 \cdot 3$

خطوة 8.5.2.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$18 x^{2 + 1} - 5 (6 x^{2}) + 3 x (- 2 x) - 5 (- 2 x) + 2 x^{3} \cdot 3 - x^{2} \cdot 3 + 1 \cdot 3$

خطوة 8.5.2.3

أضف $2$ و $1$ .

$18 x^{3} - 5 (6 x^{2}) + 3 x (- 2 x) - 5 (- 2 x) + 2 x^{3} \cdot 3 - x^{2} \cdot 3 + 1 \cdot 3$

خطوة 8.5.3

اضرب $6$ في $- 5$ .

$18 x^{3} - 30 x^{2} + 3 x (- 2 x) - 5 (- 2 x) + 2 x^{3} \cdot 3 - x^{2} \cdot 3 + 1 \cdot 3$

خطوة 8.5.4

اضرب $- 2$ في $3$ .

$18 x^{3} - 30 x^{2} - 6 x \cdot x - 5 (- 2 x) + 2 x^{3} \cdot 3 - x^{2} \cdot 3 + 1 \cdot 3$

خطوة 8.5.5

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$18 x^{3} - 30 x^{2} - 6 (x^{1} x) - 5 (- 2 x) + 2 x^{3} \cdot 3 - x^{2} \cdot 3 + 1 \cdot 3$

خطوة 8.5.6

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$18 x^{3} - 30 x^{2} - 6 (x^{1} x^{1}) - 5 (- 2 x) + 2 x^{3} \cdot 3 - x^{2} \cdot 3 + 1 \cdot 3$

خطوة 8.5.7

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$18 x^{3} - 30 x^{2} - 6 x^{1 + 1} - 5 (- 2 x) + 2 x^{3} \cdot 3 - x^{2} \cdot 3 + 1 \cdot 3$

خطوة 8.5.8

أضف $1$ و $1$ .

$18 x^{3} - 30 x^{2} - 6 x^{2} - 5 (- 2 x) + 2 x^{3} \cdot 3 - x^{2} \cdot 3 + 1 \cdot 3$

خطوة 8.5.9

اضرب $- 2$ في $- 5$ .

$18 x^{3} - 30 x^{2} - 6 x^{2} + 10 x + 2 x^{3} \cdot 3 - x^{2} \cdot 3 + 1 \cdot 3$

خطوة 8.5.10

اطرح $6 x^{2}$ من $- 30 x^{2}$ .

$18 x^{3} - 36 x^{2} + 10 x + 2 x^{3} \cdot 3 - x^{2} \cdot 3 + 1 \cdot 3$

خطوة 8.5.11

اضرب $3$ في $2$ .

$18 x^{3} - 36 x^{2} + 10 x + 6 x^{3} - x^{2} \cdot 3 + 1 \cdot 3$

خطوة 8.5.12

اضرب $3$ في $- 1$ .

$18 x^{3} - 36 x^{2} + 10 x + 6 x^{3} - 3 x^{2} + 1 \cdot 3$

خطوة 8.5.13

اضرب $3$ في $1$ .

$18 x^{3} - 36 x^{2} + 10 x + 6 x^{3} - 3 x^{2} + 3$

خطوة 8.5.14

أضف $18 x^{3}$ و $6 x^{3}$ .

$24 x^{3} - 36 x^{2} + 10 x - 3 x^{2} + 3$

خطوة 8.5.15

اطرح $3 x^{2}$ من $- 36 x^{2}$ .

$24 x^{3} - 39 x^{2} + 10 x + 3$