حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$4 y^{3} + \sqrt{x^{2} + y^{2}}$

خطوة 1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $4 y^{3} + \sqrt{x^{2} + y^{2}}$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{d}{d y} [4 y^{3}] + \frac{d}{d y} [\sqrt{x^{2} + y^{2}}]$ .

$\frac{d}{d y} [4 y^{3}] + \frac{d}{d y} [\sqrt{x^{2} + y^{2}}]$

خطوة 2

احسِب قيمة $\frac{d}{d y} [4 y^{3}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، إذن مشتق $4 y^{3}$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $4 \frac{d}{d y} [y^{3}]$ .

$4 \frac{d}{d y} [y^{3}] + \frac{d}{d y} [\sqrt{x^{2} + y^{2}}]$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$4 (3 y^{2}) + \frac{d}{d y} [\sqrt{x^{2} + y^{2}}]$

خطوة 2.3

اضرب $3$ في $4$ .

$12 y^{2} + \frac{d}{d y} [\sqrt{x^{2} + y^{2}}]$

خطوة 3

احسِب قيمة $\frac{d}{d y} [\sqrt{x^{2} + y^{2}}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{x^{2} + y^{2}}$ في صورة ${(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$12 y^{2} + \frac{d}{d y} [{(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ هو $f' (g (y)) g' (y)$ حيث $f (y) = y^{\frac{1}{2}}$ و $g (y) = x^{2} + y^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x^{2} + y^{2}$ .

$12 y^{2} + \frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d y} [x^{2} + y^{2}]$

خطوة 3.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = \frac{1}{2}$ .

$12 y^{2} + \frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d y} [x^{2} + y^{2}]$

خطوة 3.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x^{2} + y^{2}$ .

$12 y^{2} + \frac{1}{2} {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d y} [x^{2} + y^{2}]$

خطوة 3.3

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} + y^{2}$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$12 y^{2} + \frac{1}{2} {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{2}])$

خطوة 3.4

بما أن $x^{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، فإن مشتق $x^{2}$ بالنسبة إلى $y$ هو $0$ .

$12 y^{2} + \frac{1}{2} {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + \frac{d}{d y} [y^{2}])$

خطوة 3.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$12 y^{2} + \frac{1}{2} {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + 2 y)$

خطوة 3.6

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$12 y^{2} + \frac{1}{2} {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (0 + 2 y)$

خطوة 3.7

اجمع $- 1$ و $\frac{2}{2}$ .

$12 y^{2} + \frac{1}{2} {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (0 + 2 y)$

خطوة 3.8

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$12 y^{2} + \frac{1}{2} {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (0 + 2 y)$

خطوة 3.9

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.9.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$12 y^{2} + \frac{1}{2} {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} (0 + 2 y)$

خطوة 3.9.2

اطرح $2$ من $1$ .

$12 y^{2} + \frac{1}{2} {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{- 1}{2}} (0 + 2 y)$

خطوة 3.10

انقُل السالب أمام الكسر.

$12 y^{2} + \frac{1}{2} {(x^{2} + y^{2})}^{- \frac{1}{2}} (0 + 2 y)$

خطوة 3.11

أضف $0$ و $2 y$ .

$12 y^{2} + \frac{1}{2} {(x^{2} + y^{2})}^{- \frac{1}{2}} (2 y)$

خطوة 3.12

اجمع $\frac{1}{2}$ و ${(x^{2} + y^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$12 y^{2} + \frac{{(x^{2} + y^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} (2 y)$

خطوة 3.13

اجمع $2$ و $\frac{{(x^{2} + y^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$12 y^{2} + \frac{2 {(x^{2} + y^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} y$

خطوة 3.14

اجمع $\frac{2 {(x^{2} + y^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ و $y$ .

$12 y^{2} + \frac{2 {(x^{2} + y^{2})}^{- \frac{1}{2}} y}{2}$

خطوة 3.15

انقُل ${(x^{2} + y^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$12 y^{2} + \frac{2 y}{2 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 3.16

ألغِ العامل المشترك.

$12 y^{2} + \frac{2 y}{2 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 3.17

أعِد كتابة العبارة.

$12 y^{2} + \frac{y}{{(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$