حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

${(\frac{y + 2}{3 - y})}^{3}$

خطوة 1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ هو $f' (g (y)) g' (y)$ حيث $f (y) = y^{3}$ و $g (y) = \frac{y + 2}{3 - y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $\frac{y + 2}{3 - y}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d y} [\frac{y + 2}{3 - y}]$

خطوة 1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$3 u^{2} \frac{d}{d y} [\frac{y + 2}{3 - y}]$

خطوة 1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $\frac{y + 2}{3 - y}$ .

$3 {(\frac{y + 2}{3 - y})}^{2} \frac{d}{d y} [\frac{y + 2}{3 - y}]$

خطوة 2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [\frac{f (y)}{g (y)}]$ هو $\frac{g (y) \frac{d}{d y} [f (y)] - f (y) \frac{d}{d y} [g (y)]}{{g (y)}^{2}}$ حيث $f (y) = y + 2$ و $g (y) = 3 - y$ .

$3 {(\frac{y + 2}{3 - y})}^{2} \frac{(3 - y) \frac{d}{d y} [y + 2] - (y + 2) \frac{d}{d y} [3 - y]}{{(3 - y)}^{2}}$

خطوة 3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $y + 2$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [2]$ .

$3 {(\frac{y + 2}{3 - y})}^{2} \frac{(3 - y) (\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [2]) - (y + 2) \frac{d}{d y} [3 - y]}{{(3 - y)}^{2}}$

خطوة 3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$3 {(\frac{y + 2}{3 - y})}^{2} \frac{(3 - y) (1 + \frac{d}{d y} [2]) - (y + 2) \frac{d}{d y} [3 - y]}{{(3 - y)}^{2}}$

خطوة 3.3

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، فإن مشتق $2$ بالنسبة إلى $y$ هو $0$ .

$3 {(\frac{y + 2}{3 - y})}^{2} \frac{(3 - y) (1 + 0) - (y + 2) \frac{d}{d y} [3 - y]}{{(3 - y)}^{2}}$

خطوة 3.4

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

أضف $1$ و $0$ .

$3 {(\frac{y + 2}{3 - y})}^{2} \frac{(3 - y) \cdot 1 - (y + 2) \frac{d}{d y} [3 - y]}{{(3 - y)}^{2}}$

خطوة 3.4.2

اضرب $3 - y$ في $1$ .

$3 {(\frac{y + 2}{3 - y})}^{2} \frac{3 - y - (y + 2) \frac{d}{d y} [3 - y]}{{(3 - y)}^{2}}$

خطوة 3.5

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $3 - y$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{d}{d y} [3] + \frac{d}{d y} [- y]$ .

$3 {(\frac{y + 2}{3 - y})}^{2} \frac{3 - y - (y + 2) (\frac{d}{d y} [3] + \frac{d}{d y} [- y])}{{(3 - y)}^{2}}$

خطوة 3.6

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، فإن مشتق $3$ بالنسبة إلى $y$ هو $0$ .

$3 {(\frac{y + 2}{3 - y})}^{2} \frac{3 - y - (y + 2) (0 + \frac{d}{d y} [- y])}{{(3 - y)}^{2}}$

خطوة 3.7

أضف $0$ و $\frac{d}{d y} [- y]$ .

$3 {(\frac{y + 2}{3 - y})}^{2} \frac{3 - y - (y + 2) \frac{d}{d y} [- y]}{{(3 - y)}^{2}}$

خطوة 3.8

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، إذن مشتق $- y$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $- \frac{d}{d y} [y]$ .

$3 {(\frac{y + 2}{3 - y})}^{2} \frac{3 - y - (y + 2) (- \frac{d}{d y} [y])}{{(3 - y)}^{2}}$

خطوة 3.9

اضرب.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.9.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$3 {(\frac{y + 2}{3 - y})}^{2} \frac{3 - y + 1 (y + 2) \frac{d}{d y} [y]}{{(3 - y)}^{2}}$

خطوة 3.9.2

اضرب $y + 2$ في $1$ .

$3 {(\frac{y + 2}{3 - y})}^{2} \frac{3 - y + (y + 2) \frac{d}{d y} [y]}{{(3 - y)}^{2}}$

خطوة 3.10

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$3 {(\frac{y + 2}{3 - y})}^{2} \frac{3 - y + (y + 2) \cdot 1}{{(3 - y)}^{2}}$

خطوة 3.11

بسّط بجمع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.11.1

اضرب $y + 2$ في $1$ .

$3 {(\frac{y + 2}{3 - y})}^{2} \frac{3 - y + y + 2}{{(3 - y)}^{2}}$

خطوة 3.11.2

أضف $- y$ و $y$ .

$3 {(\frac{y + 2}{3 - y})}^{2} \frac{3 + 0 + 2}{{(3 - y)}^{2}}$

خطوة 3.11.3

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.11.3.1

أضف $3$ و $0$ .

$3 {(\frac{y + 2}{3 - y})}^{2} \frac{3 + 2}{{(3 - y)}^{2}}$

خطوة 3.11.3.2

أضف $3$ و $2$ .

$3 {(\frac{y + 2}{3 - y})}^{2} \frac{5}{{(3 - y)}^{2}}$

خطوة 3.11.3.3

أعِد ترتيب الحدود.

$3 {(\frac{y + 2}{3 - y})}^{2} \frac{5}{{(- y + 3)}^{2}}$

خطوة 4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{y + 2}{3 - y}$ .

$3 \frac{{(y + 2)}^{2}}{{(3 - y)}^{2}} \frac{5}{{(- y + 3)}^{2}}$

خطوة 4.2

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

اجمع $3$ و $\frac{{(y + 2)}^{2}}{{(3 - y)}^{2}}$ .

$\frac{3 {(y + 2)}^{2}}{{(3 - y)}^{2}} \cdot \frac{5}{{(- y + 3)}^{2}}$

خطوة 4.2.2

اضرب $\frac{3 {(y + 2)}^{2}}{{(3 - y)}^{2}}$ في $\frac{5}{{(- y + 3)}^{2}}$ .

$\frac{3 {(y + 2)}^{2} \cdot 5}{{(3 - y)}^{2} {(- y + 3)}^{2}}$

خطوة 4.2.3

اضرب $5$ في $3$ .

$\frac{15 {(y + 2)}^{2}}{{(3 - y)}^{2} {(- y + 3)}^{2}}$

خطوة 4.2.4

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{15 {(y + 2)}^{2}}{{(- y + 3)}^{2} {(- y + 3)}^{2}}$

خطوة 4.2.5

اضرب ${(- y + 3)}^{2}$ في ${(- y + 3)}^{2}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.5.1

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{15 {(y + 2)}^{2}}{{(- y + 3)}^{2 + 2}}$

خطوة 4.2.5.2

أضف $2$ و $2$ .

$\frac{15 {(y + 2)}^{2}}{{(- y + 3)}^{4}}$