حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = \cos (\ln (2 x + 1))$

خطوة 1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \cos (x)$ و $g (x) = \ln (2 x + 1)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $\ln (2 x + 1)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d x} [\ln (2 x + 1)]$

خطوة 1.2

مشتق $\cos (u_{1})$ بالنسبة إلى $u_{1}$ يساوي $- \sin (u_{1})$ .

$- \sin (u_{1}) \frac{d}{d x} [\ln (2 x + 1)]$

خطوة 1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $\ln (2 x + 1)$ .

$- \sin (\ln (2 x + 1)) \frac{d}{d x} [\ln (2 x + 1)]$

خطوة 2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \ln (x)$ و $g (x) = 2 x + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{2}$ لتصبح $2 x + 1$ .

$- \sin (\ln (2 x + 1)) (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 x + 1])$

خطوة 2.2

مشتق $\ln (u_{2})$ بالنسبة إلى $u_{2}$ يساوي $\frac{1}{u_{2}}$ .

$- \sin (\ln (2 x + 1)) (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [2 x + 1])$

خطوة 2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $2 x + 1$ .

$- \sin (\ln (2 x + 1)) (\frac{1}{2 x + 1} \frac{d}{d x} [2 x + 1])$

خطوة 3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $2 x + 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$- \sin (\ln (2 x + 1)) (\frac{1}{2 x + 1} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]))$

خطوة 3.2

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \sin (\ln (2 x + 1)) (\frac{1}{2 x + 1} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]))$

خطوة 3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$- \sin (\ln (2 x + 1)) (\frac{1}{2 x + 1} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]))$

خطوة 3.4

اضرب $2$ في $1$ .

$- \sin (\ln (2 x + 1)) (\frac{1}{2 x + 1} (2 + \frac{d}{d x} [1]))$

خطوة 3.5

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$- \sin (\ln (2 x + 1)) (\frac{1}{2 x + 1} (2 + 0))$

خطوة 3.6

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.1

أضف $2$ و $0$ .

$- \sin (\ln (2 x + 1)) (\frac{1}{2 x + 1} \cdot 2)$

خطوة 3.6.2

اجمع $\frac{1}{2 x + 1}$ و $2$ .

$- \sin (\ln (2 x + 1)) \frac{2}{2 x + 1}$

خطوة 3.6.3

اجمع $\frac{2}{2 x + 1}$ و $\sin (\ln (2 x + 1))$ .

$- \frac{2 \sin (\ln (2 x + 1))}{2 x + 1}$