حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = x^{3} - 9 x^{2} + 24 x - 18$

خطوة 1

أوجِد نقاط التقاطع مع المحور السيني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

لإيجاد نقطة (نقاط) التقاطع مع المحور السيني، عوّض بـ $0$ عن $y$ وأوجِد قيمة $x$ .

$0 = x^{3} - 9 x^{2} + 24 x - 18$

خطوة 1.2

أوجِد حل المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $x^{3} - 9 x^{2} + 24 x - 18 = 0$ .

$x^{3} - 9 x^{2} + 24 x - 18 = 0$

خطوة 1.2.2

حلّل $x^{3} - 9 x^{2} + 24 x - 18$ إلى عوامل باستخدام اختبار الجذور النسبية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.1

إذا كانت دالة متعددة الحدود لها معاملات عدد صحيح، فإن كل صفر نسبي سيكون بالصيغة $\frac{p}{q}$ والتي تكون فيها $p$ هي عامل الثابت و $q$ هي عامل المعامل الرئيسي.

$p = \pm 1, \pm 18, \pm 2, \pm 9, \pm 3, \pm 6$

$q = \pm 1$

خطوة 1.2.2.2

أوجِد كل تركيبة من تركيبات $\pm \frac{p}{q}$ . هذه هي الجذور المحتملة للدالة متعددة الحدود.

$\pm 1, \pm 18, \pm 2, \pm 9, \pm 3, \pm 6$

خطوة 1.2.2.3

عوّض بـ $3$ وبسّط العبارة. في هذه الحالة، العبارة تساوي $0$ ، إذن $3$ هو جذر متعدد الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.3.1

عوّض بـ $3$ في متعدد الحدود.

$3^{3} - 9 \cdot 3^{2} + 24 \cdot 3 - 18$

خطوة 1.2.2.3.2

ارفع $3$ إلى القوة $3$ .

$27 - 9 \cdot 3^{2} + 24 \cdot 3 - 18$

خطوة 1.2.2.3.3

ارفع $3$ إلى القوة $2$ .

$27 - 9 \cdot 9 + 24 \cdot 3 - 18$

خطوة 1.2.2.3.4

اضرب $- 9$ في $9$ .

$27 - 81 + 24 \cdot 3 - 18$

خطوة 1.2.2.3.5

اطرح $81$ من $27$ .

$- 54 + 24 \cdot 3 - 18$

خطوة 1.2.2.3.6

اضرب $24$ في $3$ .

$- 54 + 72 - 18$

خطوة 1.2.2.3.7

أضف $- 54$ و $72$ .

$18 - 18$

خطوة 1.2.2.3.8

اطرح $18$ من $18$ .

$0$

خطوة 1.2.2.4

بما أن $3$ جذر معروف، اقسِم متعدد الحدود على $x - 3$ لإيجاد ناتج قسمة متعدد الحدود. ويمكن بعد ذلك استخدام متعدد الحدود لإيجاد الجذور المتبقية.

$\frac{x^{3} - 9 x^{2} + 24 x - 18}{x - 3}$

خطوة 1.2.2.5

اقسِم $x^{3} - 9 x^{2} + 24 x - 18$ على $x - 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.5.1

عيّن متعددات الحدود التي ستتم قسمتها. وفي حالة عدم وجود حد لكل أُس، أدخل حدًا واحدًا بقيمة $0$ .

$x$

$3$

$x^{3}$

$9 x^{2}$

$24 x$

$18$

خطوة 1.2.2.5.2

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $x^{3}$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$18$

خطوة 1.2.2.5.3

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

				$x^{2}$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$18$
			+	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$

خطوة 1.2.2.5.4

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $x^{3} - 3 x^{2}$

				$x^{2}$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$18$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$

خطوة 1.2.2.5.5

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

				$x^{2}$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$18$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$

خطوة 1.2.2.5.6

أخرِج الحدود التالية من المقسوم الأصلي لأسفل نحو المقسوم الحالي.

				$x^{2}$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$18$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$24 x$

خطوة 1.2.2.5.7

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $- 6 x^{2}$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $x$ .

				$x^{2}$	-	$6 x$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$18$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$24 x$

خطوة 1.2.2.5.8

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

				$x^{2}$	-	$6 x$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$18$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$24 x$
					-	$6 x^{2}$	+	$18 x$

خطوة 1.2.2.5.9

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $- 6 x^{2} + 18 x$

				$x^{2}$	-	$6 x$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$18$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$24 x$
					+	$6 x^{2}$	-	$18 x$

خطوة 1.2.2.5.10

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

				$x^{2}$	-	$6 x$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$18$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$24 x$
					+	$6 x^{2}$	-	$18 x$
							+	$6 x$

خطوة 1.2.2.5.11

أخرِج الحدود التالية من المقسوم الأصلي لأسفل نحو المقسوم الحالي.

				$x^{2}$	-	$6 x$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$18$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$24 x$
					+	$6 x^{2}$	-	$18 x$
							+	$6 x$	-	$18$

خطوة 1.2.2.5.12

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $6 x$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $x$ .

				$x^{2}$	-	$6 x$	+	$6$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$18$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$24 x$
					+	$6 x^{2}$	-	$18 x$
							+	$6 x$	-	$18$

خطوة 1.2.2.5.13

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

				$x^{2}$	-	$6 x$	+	$6$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$18$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$24 x$
					+	$6 x^{2}$	-	$18 x$
							+	$6 x$	-	$18$
							+	$6 x$	-	$18$

خطوة 1.2.2.5.14

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $6 x - 18$

				$x^{2}$	-	$6 x$	+	$6$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$18$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$24 x$
					+	$6 x^{2}$	-	$18 x$
							+	$6 x$	-	$18$
							-	$6 x$	+	$18$

خطوة 1.2.2.5.15

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

				$x^{2}$	-	$6 x$	+	$6$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$18$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$24 x$
					+	$6 x^{2}$	-	$18 x$
							+	$6 x$	-	$18$
							-	$6 x$	+	$18$
										$0$

خطوة 1.2.2.5.16

بما أن الباقي يساوي $0$ ، إذن الإجابة النهائية هي ناتج القسمة.

$x^{2} - 6 x + 6$

خطوة 1.2.2.6

اكتب $x^{3} - 9 x^{2} + 24 x - 18$ في صورة مجموعة من العوامل.

$(x - 3) (x^{2} - 6 x + 6) = 0$

خطوة 1.2.3

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$x - 3 = 0$

$x^{2} - 6 x + 6 = 0$

خطوة 1.2.4

عيّن قيمة العبارة $x - 3$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.4.1

عيّن قيمة $x - 3$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x - 3 = 0$

خطوة 1.2.4.2

أضف $3$ إلى كلا المتعادلين.

$x = 3$

خطوة 1.2.5

عيّن قيمة العبارة $x^{2} - 6 x + 6$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.5.1

عيّن قيمة $x^{2} - 6 x + 6$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x^{2} - 6 x + 6 = 0$

خطوة 1.2.5.2

أوجِد قيمة $x$ في $x^{2} - 6 x + 6 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.5.2.1

استخدِم الصيغة التربيعية لإيجاد الحلول.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

خطوة 1.2.5.2.2

عوّض بقيم $a = 1$ و $b = - 6$ و $c = 6$ في الصيغة التربيعية وأوجِد قيمة $x$ .

$\frac{6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 6)}}{2 \cdot 1}$

خطوة 1.2.5.2.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.5.2.3.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.5.2.3.1.1

ارفع $- 6$ إلى القوة $2$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

خطوة 1.2.5.2.3.1.2

اضرب $- 4 \cdot 1 \cdot 6$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.5.2.3.1.2.1

اضرب $- 4$ في $1$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

خطوة 1.2.5.2.3.1.2.2

اضرب $- 4$ في $6$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 24}}{2 \cdot 1}$

خطوة 1.2.5.2.3.1.3

اطرح $24$ من $36$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

خطوة 1.2.5.2.3.1.4

أعِد كتابة $12$ بالصيغة $2^{2} \cdot 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.5.2.3.1.4.1

أخرِج العامل $4$ من $12$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

خطوة 1.2.5.2.3.1.4.2

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

خطوة 1.2.5.2.3.1.5

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$x = \frac{6 \pm 2 \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

خطوة 1.2.5.2.3.2

اضرب $2$ في $1$ .

$x = \frac{6 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$

خطوة 1.2.5.2.3.3

بسّط $\frac{6 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$ .

$x = 3 \pm \sqrt{3}$

خطوة 1.2.5.2.4

بسّط العبارة لإيجاد قيمة الجزء $+$ من $\pm$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.5.2.4.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.5.2.4.1.1

ارفع $- 6$ إلى القوة $2$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

خطوة 1.2.5.2.4.1.2

اضرب $- 4 \cdot 1 \cdot 6$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.5.2.4.1.2.1

اضرب $- 4$ في $1$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

خطوة 1.2.5.2.4.1.2.2

اضرب $- 4$ في $6$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 24}}{2 \cdot 1}$

خطوة 1.2.5.2.4.1.3

اطرح $24$ من $36$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

خطوة 1.2.5.2.4.1.4

أعِد كتابة $12$ بالصيغة $2^{2} \cdot 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.5.2.4.1.4.1

أخرِج العامل $4$ من $12$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

خطوة 1.2.5.2.4.1.4.2

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

خطوة 1.2.5.2.4.1.5

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$x = \frac{6 \pm 2 \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

خطوة 1.2.5.2.4.2

اضرب $2$ في $1$ .

$x = \frac{6 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$

خطوة 1.2.5.2.4.3

بسّط $\frac{6 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$ .

$x = 3 \pm \sqrt{3}$

خطوة 1.2.5.2.4.4

غيّر $\pm$ إلى $+$ .

$x = 3 + \sqrt{3}$

خطوة 1.2.5.2.5

بسّط العبارة لإيجاد قيمة الجزء $-$ من $\pm$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.5.2.5.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.5.2.5.1.1

ارفع $- 6$ إلى القوة $2$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

خطوة 1.2.5.2.5.1.2

اضرب $- 4 \cdot 1 \cdot 6$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.5.2.5.1.2.1

اضرب $- 4$ في $1$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

خطوة 1.2.5.2.5.1.2.2

اضرب $- 4$ في $6$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 24}}{2 \cdot 1}$

خطوة 1.2.5.2.5.1.3

اطرح $24$ من $36$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

خطوة 1.2.5.2.5.1.4

أعِد كتابة $12$ بالصيغة $2^{2} \cdot 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.5.2.5.1.4.1

أخرِج العامل $4$ من $12$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

خطوة 1.2.5.2.5.1.4.2

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

خطوة 1.2.5.2.5.1.5

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$x = \frac{6 \pm 2 \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

خطوة 1.2.5.2.5.2

اضرب $2$ في $1$ .

$x = \frac{6 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$

خطوة 1.2.5.2.5.3

بسّط $\frac{6 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$ .

$x = 3 \pm \sqrt{3}$

خطوة 1.2.5.2.5.4

غيّر $\pm$ إلى $-$ .

$x = 3 - \sqrt{3}$

خطوة 1.2.5.2.6

الإجابة النهائية هي تركيبة من كلا الحلّين.

$x = 3 + \sqrt{3}, 3 - \sqrt{3}$

خطوة 1.2.6

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $(x - 3) (x^{2} - 6 x + 6) = 0$ صحيحة.

$x = 3, 3 + \sqrt{3}, 3 - \sqrt{3}$

خطوة 1.3

نقطة (نقاط) التقاطع مع المحور السيني بصيغة النقطة.

نقطة (نقاط) التقاطع مع المحور السيني: $(3, 0), (3 + \sqrt{3}, 0), (3 - \sqrt{3}, 0)$

خطوة 2

أوجِد نقاط التقاطع مع المحور الصادي.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

لإيجاد نقطة (نقاط) التقاطع مع المحور الصادي، عوّض بـ $0$ عن $x$ وأوجِد قيمة $y$ .

$y = {(0)}^{3} - 9 {(0)}^{2} + 24 (0) - 18$

خطوة 2.2

أوجِد حل المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

احذِف الأقواس.

$y = 0^{3} - 9 {(0)}^{2} + 24 (0) - 18$

خطوة 2.2.2

احذِف الأقواس.

$y = 0^{3} - 9 \cdot 0^{2} + 24 (0) - 18$

خطوة 2.2.3

احذِف الأقواس.

$y = {(0)}^{3} - 9 {(0)}^{2} + 24 (0) - 18$

خطوة 2.2.4

بسّط ${(0)}^{3} - 9 {(0)}^{2} + 24 (0) - 18$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.4.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.4.1.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$y = 0 - 9 {(0)}^{2} + 24 (0) - 18$

خطوة 2.2.4.1.2

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$y = 0 - 9 \cdot 0 + 24 (0) - 18$

خطوة 2.2.4.1.3

اضرب $- 9$ في $0$ .

$y = 0 + 0 + 24 (0) - 18$

خطوة 2.2.4.1.4

اضرب $24$ في $0$ .

$y = 0 + 0 + 0 - 18$

خطوة 2.2.4.2

بسّط عن طريق الجمع والطرح.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.4.2.1

أضف $0$ و $0$ .

$y = 0 + 0 - 18$

خطوة 2.2.4.2.2

أضف $0$ و $0$ .

$y = 0 - 18$

خطوة 2.2.4.2.3

اطرح $18$ من $0$ .

$y = - 18$

خطوة 2.3

نقطة (نقاط) التقاطع مع المحور الصادي بصيغة النقطة.

نقطة (نقاط) التقاطع مع المحور الصادي: $(0, - 18)$

خطوة 3

اسرِد التقاطعات.

نقطة (نقاط) التقاطع مع المحور السيني: $(3, 0), (3 + \sqrt{3}, 0), (3 - \sqrt{3}, 0)$

نقطة (نقاط) التقاطع مع المحور الصادي: $(0, - 18)$

خطوة 4