حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = u^{2} + 1$ , $u = 3 x - 2$

خطوة 1

تنص قاعدة السلسلة على أن مشتق $y$ بالنسبة إلى $x$ يساوي حاصل ضرب مشتق $y$ بالنسبة إلى $u$ في مشتق $u$ بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{d y}{d u} \cdot \frac{d u}{d x}$

خطوة 2

أوجِد $\frac{d y}{d u}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $u^{2} + 1$ بالنسبة إلى $u$ هو $\frac{d}{d u} [u^{2}] + \frac{d}{d u} [1]$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] + \frac{d}{d u} [1]$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$2 u + \frac{d}{d u} [1]$

خطوة 2.3

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $u$ هو $0$ .

$2 u + 0$

خطوة 2.4

أضف $2 u$ و $0$ .

$2 u$

خطوة 3

أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $3 x - 2$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

خطوة 3.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $3 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

خطوة 3.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

خطوة 3.2.3

اضرب $3$ في $1$ .

$3 + \frac{d}{d x} [- 2]$

خطوة 3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

بما أن $- 2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 2$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$3 + 0$

خطوة 3.3.2

أضف $3$ و $0$ .

$3$

خطوة 4

اضرب $\frac{d y}{d u}$ في $\frac{d u}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = (3) \cdot (2 u)$

خطوة 5

اضرب $2$ في $3$ .

$\frac{d y}{d x} = 6 u$

خطوة 6

عوّض بقيمة $u$ في المشتق $6 u$ .

$\frac{d y}{d x} = 6 (3 x - 2)$

خطوة 7

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{d y}{d x} = 6 (3 x) + 6 \cdot - 2$

خطوة 7.2

اضرب.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

اضرب $3$ في $6$ .

$\frac{d y}{d x} = 18 x + 6 \cdot - 2$

خطوة 7.2.2

اضرب $6$ في $- 2$ .

$\frac{d y}{d x} = 18 x - 12$