حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = u^{\frac{3}{2}}$ , $u = 6 x + 5$

خطوة 1

تنص قاعدة السلسلة على أن مشتق $y$ بالنسبة إلى $x$ يساوي حاصل ضرب مشتق $y$ بالنسبة إلى $u$ في مشتق $u$ بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{d y}{d u} \cdot \frac{d u}{d x}$

خطوة 2

أوجِد $\frac{d y}{d u}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = \frac{3}{2}$ .

$\frac{3}{2} u^{\frac{3}{2} - 1}$

خطوة 2.2

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3}{2} u^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}$

خطوة 2.3

اجمع $- 1$ و $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3}{2} u^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}$

خطوة 2.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{3}{2} u^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}}$

خطوة 2.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$\frac{3}{2} u^{\frac{3 - 2}{2}}$

خطوة 2.5.2

اطرح $2$ من $3$ .

$\frac{3}{2} u^{\frac{1}{2}}$

خطوة 2.6

اجمع $\frac{3}{2}$ و $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 u^{\frac{1}{2}}}{2}$

خطوة 3

أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $6 x + 5$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [5]$

خطوة 3.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [6 x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

بما أن $6$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $6 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$

خطوة 3.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5]$

خطوة 3.2.3

اضرب $6$ في $1$ .

$6 + \frac{d}{d x} [5]$

خطوة 3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

بما أن $5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $5$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$6 + 0$

خطوة 3.3.2

أضف $6$ و $0$ .

$6$

خطوة 4

اضرب $\frac{d y}{d u}$ في $\frac{d u}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = (6) \cdot (\frac{3 u^{\frac{1}{2}}}{2})$

خطوة 5

بسّط الطرف الأيمن $(6) \cdot (\frac{3 u^{\frac{1}{2}}}{2})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

أخرِج العامل $2$ من $6$ .

$\frac{d y}{d x} = 2 (3) \cdot \frac{3 u^{\frac{1}{2}}}{2}$

خطوة 5.1.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{d y}{d x} = 2 \cdot 3 \cdot \frac{3 u^{\frac{1}{2}}}{2}$

خطوة 5.1.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{d y}{d x} = 3 \cdot (3 u^{\frac{1}{2}})$

خطوة 5.2

اضرب $3$ في $3$ .

$\frac{d y}{d x} = 9 u^{\frac{1}{2}}$

خطوة 6

عوّض بقيمة $u$ في المشتق $9 u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d y}{d x} = 9 {(6 x + 5)}^{\frac{1}{2}}$