حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = \frac{u + 1}{u}$ , $u = 2 x^{3}$

خطوة 1

تنص قاعدة السلسلة على أن مشتق $y$ بالنسبة إلى $x$ يساوي حاصل ضرب مشتق $y$ بالنسبة إلى $u$ في مشتق $u$ بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{d y}{d u} \cdot \frac{d u}{d x}$

خطوة 2

أوجِد $\frac{d y}{d u}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [\frac{f (u)}{g (u)}]$ هو $\frac{g (u) \frac{d}{d u} [f (u)] - f (u) \frac{d}{d u} [g (u)]}{{g (u)}^{2}}$ حيث $f (u) = u + 1$ و $g (u) = u$ .

$\frac{u \frac{d}{d u} [u + 1] - (u + 1) \frac{d}{d u} [u]}{u^{2}}$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $u + 1$ بالنسبة إلى $u$ هو $\frac{d}{d u} [u] + \frac{d}{d u} [1]$ .

$\frac{u (\frac{d}{d u} [u] + \frac{d}{d u} [1]) - (u + 1) \frac{d}{d u} [u]}{u^{2}}$

خطوة 2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{u (1 + \frac{d}{d u} [1]) - (u + 1) \frac{d}{d u} [u]}{u^{2}}$

خطوة 2.2.3

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $u$ هو $0$ .

$\frac{u (1 + 0) - (u + 1) \frac{d}{d u} [u]}{u^{2}}$

خطوة 2.2.4

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.4.1

أضف $1$ و $0$ .

$\frac{u \cdot 1 - (u + 1) \frac{d}{d u} [u]}{u^{2}}$

خطوة 2.2.4.2

اضرب $u$ في $1$ .

$\frac{u - (u + 1) \frac{d}{d u} [u]}{u^{2}}$

خطوة 2.2.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{u - (u + 1) \cdot 1}{u^{2}}$

خطوة 2.2.6

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{u - (u + 1)}{u^{2}}$

خطوة 2.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{u - u - 1 \cdot 1}{u^{2}}$

خطوة 2.3.2

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1

اطرح $u$ من $u$ .

$\frac{0 - 1 \cdot 1}{u^{2}}$

خطوة 2.3.2.2

اطرح $1 \cdot 1$ من $0$ .

$\frac{- 1 \cdot 1}{u^{2}}$

خطوة 2.3.2.3

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{- 1}{u^{2}}$

خطوة 2.3.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{1}{u^{2}}$

خطوة 3

أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x^{3}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

خطوة 3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$2 (3 x^{2})$

خطوة 3.3

اضرب $3$ في $2$ .

$6 x^{2}$

خطوة 4

اضرب $\frac{d y}{d u}$ في $\frac{d u}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = (6 x^{2}) \cdot (- \frac{1}{u^{2}})$

خطوة 5

بسّط الطرف الأيمن $(6 x^{2}) \cdot (- \frac{1}{u^{2}})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

اضرب $(6 x^{2}) (- \frac{1}{u^{2}})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

اضرب $- 1$ في $6$ .

$\frac{d y}{d x} = - 6 x^{2} \frac{1}{u^{2}}$

خطوة 5.1.2

اجمع $- 6$ و $\frac{1}{u^{2}}$ .

$\frac{d y}{d x} = x^{2} (\frac{- 6}{u^{2}})$

خطوة 5.1.3

اجمع $x^{2}$ و $\frac{- 6}{u^{2}}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} \cdot - 6}{u^{2}}$

خطوة 5.2

انقُل $- 6$ إلى يسار $x^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{- 6 \cdot x^{2}}{u^{2}}$

خطوة 5.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{6 x^{2}}{u^{2}}$

خطوة 6

عوّض بقيمة $u$ في المشتق $- \frac{6 x^{2}}{u^{2}}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{6 x^{2}}{{(2 x^{3})}^{2}}$

خطوة 7

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.1

طبّق قاعدة الضرب على $2 x^{3}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{6 x^{2}}{2^{2} {(x^{3})}^{2}}$

خطوة 7.1.2

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{6 x^{2}}{4 {(x^{3})}^{2}}$

خطوة 7.1.3

اضرب الأُسس في ${(x^{3})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.3.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{6 x^{2}}{4 x^{3 \cdot 2}}$

خطوة 7.1.3.2

اضرب $3$ في $2$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{6 x^{2}}{4 x^{6}}$

خطوة 7.2

اختزِل العبارة بحذف العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

احذِف العامل المشترك لـ $6$ و $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1.1

أخرِج العامل $2$ من $6 x^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 (3 x^{2})}{4 x^{6}}$

خطوة 7.2.1.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1.2.1

أخرِج العامل $2$ من $4 x^{6}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 (3 x^{2})}{2 (2 x^{6})}$

خطوة 7.2.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 (3 x^{2})}{2 (2 x^{6})}$

خطوة 7.2.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{3 x^{2}}{2 x^{6}}$

خطوة 7.2.2

احذِف العامل المشترك لـ $x^{2}$ و $x^{6}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.2.1

أخرِج العامل $x^{2}$ من $3 x^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x^{2} \cdot 3}{2 x^{6}}$

خطوة 7.2.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.2.2.1

أخرِج العامل $x^{2}$ من $2 x^{6}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x^{2} \cdot 3}{x^{2} (2 x^{4})}$

خطوة 7.2.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x^{2} \cdot 3}{x^{2} (2 x^{4})}$

خطوة 7.2.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{3}{2 x^{4}}$