حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = u^{2} + u - 2$ , $u = \frac{1}{x}$

خطوة 1

تنص قاعدة السلسلة على أن مشتق $y$ بالنسبة إلى $x$ يساوي حاصل ضرب مشتق $y$ بالنسبة إلى $u$ في مشتق $u$ بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{d y}{d u} \cdot \frac{d u}{d x}$

خطوة 2

أوجِد $\frac{d y}{d u}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $u^{2} + u - 2$ بالنسبة إلى $u$ هو $\frac{d}{d u} [u^{2}] + \frac{d}{d u} [u] + \frac{d}{d u} [- 2]$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] + \frac{d}{d u} [u] + \frac{d}{d u} [- 2]$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$2 u + \frac{d}{d u} [u] + \frac{d}{d u} [- 2]$

خطوة 2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$2 u + 1 + \frac{d}{d u} [- 2]$

خطوة 2.4

بما أن $- 2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، فإن مشتق $- 2$ بالنسبة إلى $u$ هو $0$ .

$2 u + 1 + 0$

خطوة 2.5

أضف $2 u + 1$ و $0$ .

$2 u + 1$

خطوة 3

أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أعِد كتابة $\frac{1}{x}$ بالصيغة $x^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

خطوة 3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = - 1$ .

$- x^{- 2}$

خطوة 3.3

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{x^{2}}$

خطوة 4

اضرب $\frac{d y}{d u}$ في $\frac{d u}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = (- \frac{1}{x^{2}}) \cdot (2 u + 1)$

خطوة 5

بسّط الطرف الأيمن $(- \frac{1}{x^{2}}) \cdot (2 u + 1)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{1}{x^{2}} \cdot (2 u) - \frac{1}{x^{2}} \cdot 1$

خطوة 5.2

اضرب $- \frac{1}{x^{2}} (2 u)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

اضرب $2$ في $- 1$ .

$\frac{d y}{d x} = - 2 \frac{1}{x^{2}} \cdot u - \frac{1}{x^{2}} \cdot 1$

خطوة 5.2.2

اجمع $- 2$ و $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{- 2}{x^{2}} \cdot u - \frac{1}{x^{2}} \cdot 1$

خطوة 5.2.3

اجمع $\frac{- 2}{x^{2}}$ و $u$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{- 2 u}{x^{2}} - \frac{1}{x^{2}} \cdot 1$

خطوة 5.3

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{- 2 u}{x^{2}} - \frac{1}{x^{2}}$

خطوة 5.4

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 u}{x^{2}} - \frac{1}{x^{2}}$

خطوة 6

عوّض بقيمة $u$ في المشتق $- \frac{2 u}{x^{2}} - \frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 (\frac{1}{x})}{x^{2}} - \frac{1}{x^{2}}$

خطوة 7

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

اجمع $2$ و $\frac{1}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{\frac{2}{x}}{x^{2}} - \frac{1}{x^{2}}$

خطوة 7.2

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$\frac{d y}{d x} = - (\frac{2}{x} \cdot \frac{1}{x^{2}}) - \frac{1}{x^{2}}$

خطوة 7.3

اجمع.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 \cdot 1}{x \cdot x^{2}} - \frac{1}{x^{2}}$

خطوة 7.4

اضرب $x$ في $x^{2}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.4.1

اضرب $x$ في $x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.4.1.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 \cdot 1}{x \cdot x^{2}} - \frac{1}{x^{2}}$

خطوة 7.4.1.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 \cdot 1}{x^{1 + 2}} - \frac{1}{x^{2}}$

خطوة 7.4.2

أضف $1$ و $2$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 \cdot 1}{x^{3}} - \frac{1}{x^{2}}$

خطوة 7.5

اضرب $2$ في $1$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2}{x^{3}} - \frac{1}{x^{2}}$