حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$w = u^{3}$ , $u = \frac{t - 1}{t + 1}$

خطوة 1

تنص قاعدة السلسلة على أن مشتق $w$ بالنسبة إلى $t$ يساوي حاصل ضرب مشتق $w$ بالنسبة إلى $u$ في مشتق $u$ بالنسبة إلى $t$ .

$\frac{d w}{d t} = \frac{d w}{d u} \cdot \frac{d u}{d t}$

خطوة 2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$3 u^{2}$

خطوة 3

أوجِد $\frac{d u}{d t}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ هو $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ حيث $f (t) = t - 1$ و $g (t) = t + 1$ .

$\frac{(t + 1) \frac{d}{d t} [t - 1] - (t - 1) \frac{d}{d t} [t + 1]}{{(t + 1)}^{2}}$

خطوة 3.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $t - 1$ بالنسبة إلى $t$ هو $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 1]$ .

$\frac{(t + 1) (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 1]) - (t - 1) \frac{d}{d t} [t + 1]}{{(t + 1)}^{2}}$

خطوة 3.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ هو $n t^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{(t + 1) (1 + \frac{d}{d t} [- 1]) - (t - 1) \frac{d}{d t} [t + 1]}{{(t + 1)}^{2}}$

خطوة 3.2.3

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، فإن مشتق $- 1$ بالنسبة إلى $t$ هو $0$ .

$\frac{(t + 1) (1 + 0) - (t - 1) \frac{d}{d t} [t + 1]}{{(t + 1)}^{2}}$

خطوة 3.2.4

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.4.1

أضف $1$ و $0$ .

$\frac{(t + 1) \cdot 1 - (t - 1) \frac{d}{d t} [t + 1]}{{(t + 1)}^{2}}$

خطوة 3.2.4.2

اضرب $t + 1$ في $1$ .

$\frac{t + 1 - (t - 1) \frac{d}{d t} [t + 1]}{{(t + 1)}^{2}}$

خطوة 3.2.5

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $t + 1$ بالنسبة إلى $t$ هو $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [1]$ .

$\frac{t + 1 - (t - 1) (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [1])}{{(t + 1)}^{2}}$

خطوة 3.2.6

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ هو $n t^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{t + 1 - (t - 1) (1 + \frac{d}{d t} [1])}{{(t + 1)}^{2}}$

خطوة 3.2.7

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $t$ هو $0$ .

$\frac{t + 1 - (t - 1) (1 + 0)}{{(t + 1)}^{2}}$

خطوة 3.2.8

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.8.1

أضف $1$ و $0$ .

$\frac{t + 1 - (t - 1) \cdot 1}{{(t + 1)}^{2}}$

خطوة 3.2.8.2

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{t + 1 - (t - 1)}{{(t + 1)}^{2}}$

خطوة 3.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{t + 1 - t - - 1}{{(t + 1)}^{2}}$

خطوة 3.3.2

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1

جمّع الحدود المتعاكسة في $t + 1 - t - - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1.1

اطرح $t$ من $t$ .

$\frac{0 + 1 - - 1}{{(t + 1)}^{2}}$

خطوة 3.3.2.1.2

أضف $0$ و $1$ .

$\frac{1 - - 1}{{(t + 1)}^{2}}$

خطوة 3.3.2.2

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$\frac{1 + 1}{{(t + 1)}^{2}}$

خطوة 3.3.2.3

أضف $1$ و $1$ .

$\frac{2}{{(t + 1)}^{2}}$

خطوة 4

اضرب $\frac{d w}{d u}$ في $\frac{d u}{d t}$ .

$\frac{d w}{d t} = (\frac{2}{{(t + 1)}^{2}}) \cdot (3 u^{2})$

خطوة 5

بسّط الطرف الأيمن $(\frac{2}{{(t + 1)}^{2}}) \cdot (3 u^{2})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\frac{d w}{d t} = 3 (\frac{2}{{(t + 1)}^{2}}) \cdot u^{2}$

خطوة 5.2

اضرب $3 \frac{2}{{(t + 1)}^{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

اجمع $3$ و $\frac{2}{{(t + 1)}^{2}}$ .

$\frac{d w}{d t} = \frac{3 \cdot 2}{{(t + 1)}^{2}} \cdot u^{2}$

خطوة 5.2.2

اضرب $3$ في $2$ .

$\frac{d w}{d t} = \frac{6}{{(t + 1)}^{2}} \cdot u^{2}$

خطوة 5.3

اجمع $\frac{6}{{(t + 1)}^{2}}$ و $u^{2}$ .

$\frac{d w}{d t} = \frac{6 u^{2}}{{(t + 1)}^{2}}$

خطوة 6

عوّض بقيمة $u$ في المشتق $\frac{6 u^{2}}{{(t + 1)}^{2}}$ .

$\frac{d w}{d t} = \frac{6 {(\frac{t - 1}{t + 1})}^{2}}{{(t + 1)}^{2}}$

خطوة 7

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{t - 1}{t + 1}$ .

$\frac{d w}{d t} = \frac{6 (\frac{{(t - 1)}^{2}}{{(t + 1)}^{2}})}{{(t + 1)}^{2}}$

خطوة 7.2

اجمع $6$ و $\frac{{(t - 1)}^{2}}{{(t + 1)}^{2}}$ .

$\frac{d w}{d t} = \frac{\frac{6 {(t - 1)}^{2}}{{(t + 1)}^{2}}}{{(t + 1)}^{2}}$

خطوة 7.3

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$\frac{d w}{d t} = \frac{6 {(t - 1)}^{2}}{{(t + 1)}^{2}} \cdot \frac{1}{{(t + 1)}^{2}}$

خطوة 7.4

اجمع.

$\frac{d w}{d t} = \frac{6 {(t - 1)}^{2} \cdot 1}{{(t + 1)}^{2} {(t + 1)}^{2}}$

خطوة 7.5

اضرب ${(t + 1)}^{2}$ في ${(t + 1)}^{2}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.5.1

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{d w}{d t} = \frac{6 {(t - 1)}^{2} \cdot 1}{{(t + 1)}^{2 + 2}}$

خطوة 7.5.2

أضف $2$ و $2$ .

$\frac{d w}{d t} = \frac{6 {(t - 1)}^{2} \cdot 1}{{(t + 1)}^{4}}$

خطوة 7.6

اضرب $6 {(t - 1)}^{2}$ في $1$ .

$\frac{d w}{d t} = \frac{6 {(t - 1)}^{2}}{{(t + 1)}^{4}}$