حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{2 x}{z^{2} - y^{2}}$

خطوة 1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d z} [\frac{f (z)}{g (z)}]$ هو $\frac{g (z) \frac{d}{d z} [f (z)] - f (z) \frac{d}{d z} [g (z)]}{{g (z)}^{2}}$ حيث $f (z) = 2 x$ و $g (z) = z^{2} - y^{2}$ .

$\frac{(z^{2} - y^{2}) \frac{d}{d z} [2 x] - 1 \cdot 2 x \frac{d}{d z} [z^{2} - y^{2}]}{{(z^{2} - y^{2})}^{2}}$

خطوة 2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

بما أن $2 x$ عدد ثابت بالنسبة إلى $z$ ، فإن مشتق $2 x$ بالنسبة إلى $z$ هو $0$ .

$\frac{(z^{2} - y^{2}) \cdot 0 - 1 \cdot 2 x \frac{d}{d z} [z^{2} - y^{2}]}{{(z^{2} - y^{2})}^{2}}$

خطوة 2.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $z^{2} - y^{2}$ بالنسبة إلى $z$ هو $\frac{d}{d z} [z^{2}] + \frac{d}{d z} [- y^{2}]$ .

$\frac{(z^{2} - y^{2}) \cdot 0 - 1 \cdot 2 x (\frac{d}{d z} [z^{2}] + \frac{d}{d z} [- y^{2}])}{{(z^{2} - y^{2})}^{2}}$

خطوة 2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ هو $n z^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{(z^{2} - y^{2}) \cdot 0 - 1 \cdot 2 x (2 z + \frac{d}{d z} [- y^{2}])}{{(z^{2} - y^{2})}^{2}}$

خطوة 2.4

بما أن $- y^{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $z$ ، فإن مشتق $- y^{2}$ بالنسبة إلى $z$ هو $0$ .

$\frac{(z^{2} - y^{2}) \cdot 0 - 1 \cdot 2 x (2 z + 0)}{{(z^{2} - y^{2})}^{2}}$

خطوة 2.5

أضف $2 z$ و $0$ .

$\frac{(z^{2} - y^{2}) \cdot 0 - 1 \cdot 2 x (2 z)}{{(z^{2} - y^{2})}^{2}}$

خطوة 3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{z^{2} \cdot 0 - y^{2} \cdot 0 - 1 \cdot 2 x (2 z)}{{(z^{2} - y^{2})}^{2}}$

خطوة 3.2

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1

اضرب $z^{2}$ في $0$ .

$\frac{0 - y^{2} \cdot 0 - 1 \cdot 2 x (2 z)}{{(z^{2} - y^{2})}^{2}}$

خطوة 3.2.1.2

اضرب $- y^{2} \cdot 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.2.1

اضرب $0$ في $- 1$ .

$\frac{0 + 0 y^{2} - 1 \cdot 2 x (2 z)}{{(z^{2} - y^{2})}^{2}}$

خطوة 3.2.1.2.2

اضرب $0$ في $y^{2}$ .

$\frac{0 + 0 - 1 \cdot 2 x (2 z)}{{(z^{2} - y^{2})}^{2}}$

خطوة 3.2.1.3

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\frac{0 + 0 - 1 \cdot 2 \cdot 2 x z}{{(z^{2} - y^{2})}^{2}}$

خطوة 3.2.1.4

اضرب $- 1 \cdot 2 \cdot 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.4.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$\frac{0 + 0 - 2 \cdot 2 x z}{{(z^{2} - y^{2})}^{2}}$

خطوة 3.2.1.4.2

اضرب $- 2$ في $2$ .

$\frac{0 + 0 - 4 x z}{{(z^{2} - y^{2})}^{2}}$

خطوة 3.2.2

جمّع الحدود المتعاكسة في $0 + 0 - 4 x z$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1

أضف $0$ و $0$ .

$\frac{0 - 4 x z}{{(z^{2} - y^{2})}^{2}}$

خطوة 3.2.2.2

اطرح $4 x z$ من $0$ .

$\frac{- 4 x z}{{(z^{2} - y^{2})}^{2}}$

خطوة 3.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{4 x z}{{(z^{2} - y^{2})}^{2}}$

خطوة 3.4

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

بما أن كلا الحدّين هما مربعان كاملان، حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة الفرق بين مربعين، $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ حيث $a = z$ و $b = y$ .

$- \frac{4 x z}{{((z + y) (z - y))}^{2}}$

خطوة 3.4.2

طبّق قاعدة الضرب على $(z + y) (z - y)$ .

$- \frac{4 x z}{{(z + y)}^{2} {(z - y)}^{2}}$