حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$q = \sqrt{20 r - r^{7}}$

خطوة 1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{20 r - r^{7}}$ في صورة ${(20 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}$ .

$q = {(20 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}$

خطوة 2

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d r} (q) = \frac{d}{d r} ({(20 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}})$

خطوة 3

مشتق $q$ بالنسبة إلى $r$ يساوي $q'$ .

$q'$

خطوة 4

أوجِد مشتقة المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d r} [f (g (r))]$ هو $f' (g (r)) g' (r)$ حيث $f (r) = r^{\frac{1}{2}}$ و $g (r) = 20 r - r^{7}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $20 r - r^{7}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d r} [20 r - r^{7}]$

خطوة 4.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d r} [20 r - r^{7}]$

خطوة 4.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $20 r - r^{7}$ .

$\frac{1}{2} {(20 r - r^{7})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d r} [20 r - r^{7}]$

خطوة 4.2

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(20 r - r^{7})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d r} [20 r - r^{7}]$

خطوة 4.3

اجمع $- 1$ و $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(20 r - r^{7})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d r} [20 r - r^{7}]$

خطوة 4.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{1}{2} {(20 r - r^{7})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d r} [20 r - r^{7}]$

خطوة 4.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$\frac{1}{2} {(20 r - r^{7})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d r} [20 r - r^{7}]$

خطوة 4.5.2

اطرح $2$ من $1$ .

$\frac{1}{2} {(20 r - r^{7})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d r} [20 r - r^{7}]$

خطوة 4.6

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.6.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{1}{2} {(20 r - r^{7})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d r} [20 r - r^{7}]$

خطوة 4.6.2

اجمع $\frac{1}{2}$ و ${(20 r - r^{7})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(20 r - r^{7})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d r} [20 r - r^{7}]$

خطوة 4.6.3

انقُل ${(20 r - r^{7})}^{- \frac{1}{2}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(20 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d r} [20 r - r^{7}]$

خطوة 4.7

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $20 r - r^{7}$ بالنسبة إلى $r$ هو $\frac{d}{d r} [20 r] + \frac{d}{d r} [- r^{7}]$ .

$\frac{1}{2 {(20 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d r} [20 r] + \frac{d}{d r} [- r^{7}])$

خطوة 4.8

بما أن $20$ عدد ثابت بالنسبة إلى $r$ ، إذن مشتق $20 r$ بالنسبة إلى $r$ يساوي $20 \frac{d}{d r} [r]$ .

$\frac{1}{2 {(20 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}} (20 \frac{d}{d r} [r] + \frac{d}{d r} [- r^{7}])$

خطوة 4.9

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ هو $n r^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{1}{2 {(20 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}} (20 \cdot 1 + \frac{d}{d r} [- r^{7}])$

خطوة 4.10

اضرب $20$ في $1$ .

$\frac{1}{2 {(20 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}} (20 + \frac{d}{d r} [- r^{7}])$

خطوة 4.11

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $r$ ، إذن مشتق $- r^{7}$ بالنسبة إلى $r$ يساوي $- \frac{d}{d r} [r^{7}]$ .

$\frac{1}{2 {(20 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}} (20 - \frac{d}{d r} [r^{7}])$

خطوة 4.12

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ هو $n r^{n - 1}$ حيث $n = 7$ .

$\frac{1}{2 {(20 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}} (20 - (7 r^{6}))$

خطوة 4.13

اضرب $7$ في $- 1$ .

$\frac{1}{2 {(20 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}} (20 - 7 r^{6})$

خطوة 4.14

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.14.1

أعِد ترتيب عوامل $\frac{1}{2 {(20 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}} (20 - 7 r^{6})$ .

$(20 - 7 r^{6}) \frac{1}{2 {(20 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 4.14.2

اضرب $20 - 7 r^{6}$ في $\frac{1}{2 {(20 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{20 - 7 r^{6}}{2 {(20 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 5

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$q' = \frac{20 - 7 r^{6}}{2 {(20 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 6

استبدِل $q'$ بـ $\frac{d q}{d r}$ .

$\frac{d q}{d r} = \frac{20 - 7 r^{6}}{2 {(20 r - r^{7})}^{\frac{1}{2}}}$