حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$P = \frac{B^{3} r}{R^{2} + R r + r^{2}}$

خطوة 1

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d r} (P) = \frac{d}{d r} (\frac{B^{3} r}{R^{2} + R r + r^{2}})$

خطوة 2

مشتق $P$ بالنسبة إلى $r$ يساوي $P'$ .

$P'$

خطوة 3

أوجِد مشتقة المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

بما أن $B^{3}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $r$ ، إذن مشتق $\frac{B^{3} r}{R^{2} + R r + r^{2}}$ بالنسبة إلى $r$ يساوي $B^{3} \frac{d}{d r} [\frac{r}{R^{2} + R r + r^{2}}]$ .

$B^{3} \frac{d}{d r} [\frac{r}{R^{2} + R r + r^{2}}]$

خطوة 3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d r} [\frac{f (r)}{g (r)}]$ هو $\frac{g (r) \frac{d}{d r} [f (r)] - f (r) \frac{d}{d r} [g (r)]}{{g (r)}^{2}}$ حيث $f (r) = r$ و $g (r) = R^{2} + R r + r^{2}$ .

$B^{3} \frac{(R^{2} + R r + r^{2}) \frac{d}{d r} [r] - r \frac{d}{d r} [R^{2} + R r + r^{2}]}{{(R^{2} + R r + r^{2})}^{2}}$

خطوة 3.3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ هو $n r^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$B^{3} \frac{(R^{2} + R r + r^{2}) \cdot 1 - r \frac{d}{d r} [R^{2} + R r + r^{2}]}{{(R^{2} + R r + r^{2})}^{2}}$

خطوة 3.3.2

اضرب $R^{2} + R r + r^{2}$ في $1$ .

$B^{3} \frac{R^{2} + R r + r^{2} - r \frac{d}{d r} [R^{2} + R r + r^{2}]}{{(R^{2} + R r + r^{2})}^{2}}$

خطوة 3.3.3

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $R^{2} + R r + r^{2}$ بالنسبة إلى $r$ هو $\frac{d}{d r} [R^{2}] + \frac{d}{d r} [R r] + \frac{d}{d r} [r^{2}]$ .

$B^{3} \frac{R^{2} + R r + r^{2} - r (\frac{d}{d r} [R^{2}] + \frac{d}{d r} [R r] + \frac{d}{d r} [r^{2}])}{{(R^{2} + R r + r^{2})}^{2}}$

خطوة 3.3.4

بما أن $R^{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $r$ ، فإن مشتق $R^{2}$ بالنسبة إلى $r$ هو $0$ .

$B^{3} \frac{R^{2} + R r + r^{2} - r (0 + \frac{d}{d r} [R r] + \frac{d}{d r} [r^{2}])}{{(R^{2} + R r + r^{2})}^{2}}$

خطوة 3.3.5

أضف $0$ و $\frac{d}{d r} [R r]$ .

$B^{3} \frac{R^{2} + R r + r^{2} - r (\frac{d}{d r} [R r] + \frac{d}{d r} [r^{2}])}{{(R^{2} + R r + r^{2})}^{2}}$

خطوة 3.3.6

بما أن $R$ عدد ثابت بالنسبة إلى $r$ ، إذن مشتق $R r$ بالنسبة إلى $r$ يساوي $R \frac{d}{d r} [r]$ .

$B^{3} \frac{R^{2} + R r + r^{2} - r (R \frac{d}{d r} [r] + \frac{d}{d r} [r^{2}])}{{(R^{2} + R r + r^{2})}^{2}}$

خطوة 3.3.7

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ هو $n r^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$B^{3} \frac{R^{2} + R r + r^{2} - r (R \cdot 1 + \frac{d}{d r} [r^{2}])}{{(R^{2} + R r + r^{2})}^{2}}$

خطوة 3.3.8

اضرب $R$ في $1$ .

$B^{3} \frac{R^{2} + R r + r^{2} - r (R + \frac{d}{d r} [r^{2}])}{{(R^{2} + R r + r^{2})}^{2}}$

خطوة 3.3.9

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ هو $n r^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$B^{3} \frac{R^{2} + R r + r^{2} - r (R + 2 r)}{{(R^{2} + R r + r^{2})}^{2}}$

خطوة 3.3.10

اجمع $B^{3}$ و $\frac{R^{2} + R r + r^{2} - r (R + 2 r)}{{(R^{2} + R r + r^{2})}^{2}}$ .

$\frac{B^{3} (R^{2} + R r + r^{2} - r (R + 2 r))}{{(R^{2} + R r + r^{2})}^{2}}$

خطوة 3.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{B^{3} (R^{2} + R r + r^{2} - r R - r (2 r))}{{(R^{2} + R r + r^{2})}^{2}}$

خطوة 3.4.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{B^{3} R^{2} + B^{3} (R r) + B^{3} r^{2} + B^{3} (- r R) + B^{3} (- r (2 r))}{{(R^{2} + R r + r^{2})}^{2}}$

خطوة 3.4.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.3.1

جمّع الحدود المتعاكسة في $B^{3} R^{2} + B^{3} (R r) + B^{3} r^{2} + B^{3} (- r R) + B^{3} (- r (2 r))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.3.1.1

أعِد ترتيب العوامل في الحدين $B^{3} (R r)$ و $B^{3} (- r R)$ .

$\frac{B^{3} R^{2} + B^{3} R r + B^{3} r^{2} - B^{3} R r + B^{3} (- r (2 r))}{{(R^{2} + R r + r^{2})}^{2}}$

خطوة 3.4.3.1.2

اطرح $B^{3} R r$ من $B^{3} R r$ .

$\frac{B^{3} R^{2} + B^{3} r^{2} + 0 + B^{3} (- r (2 r))}{{(R^{2} + R r + r^{2})}^{2}}$

خطوة 3.4.3.1.3

أضف $B^{3} R^{2} + B^{3} r^{2}$ و $0$ .

$\frac{B^{3} R^{2} + B^{3} r^{2} + B^{3} (- r (2 r))}{{(R^{2} + R r + r^{2})}^{2}}$

خطوة 3.4.3.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.3.2.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\frac{B^{3} R^{2} + B^{3} r^{2} - 1 \cdot 2 B^{3} r \cdot r}{{(R^{2} + R r + r^{2})}^{2}}$

خطوة 3.4.3.2.2

اضرب $r$ في $r$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.3.2.2.1

انقُل $r$ .

$\frac{B^{3} R^{2} + B^{3} r^{2} - 1 \cdot 2 B^{3} (r \cdot r)}{{(R^{2} + R r + r^{2})}^{2}}$

خطوة 3.4.3.2.2.2

اضرب $r$ في $r$ .

$\frac{B^{3} R^{2} + B^{3} r^{2} - 1 \cdot 2 B^{3} r^{2}}{{(R^{2} + R r + r^{2})}^{2}}$

خطوة 3.4.3.2.3

اضرب $- 1$ في $2$ .

$\frac{B^{3} R^{2} + B^{3} r^{2} - 2 B^{3} r^{2}}{{(R^{2} + R r + r^{2})}^{2}}$

خطوة 3.4.3.3

اطرح $2 B^{3} r^{2}$ من $B^{3} r^{2}$ .

$\frac{B^{3} R^{2} - B^{3} r^{2}}{{(R^{2} + R r + r^{2})}^{2}}$

خطوة 3.4.4

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{B^{3} R^{2} - B^{3} r^{2}}{{(R^{2} + r^{2} + R r)}^{2}}$

خطوة 3.4.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.5.1

أخرِج العامل $B^{3}$ من $B^{3} R^{2} - B^{3} r^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.5.1.1

أخرِج العامل $B^{3}$ من $B^{3} R^{2}$ .

$\frac{B^{3} (R^{2}) - B^{3} r^{2}}{{(R^{2} + r^{2} + R r)}^{2}}$

خطوة 3.4.5.1.2

أخرِج العامل $B^{3}$ من $- B^{3} r^{2}$ .

$\frac{B^{3} (R^{2}) + B^{3} (- r^{2})}{{(R^{2} + r^{2} + R r)}^{2}}$

خطوة 3.4.5.1.3

أخرِج العامل $B^{3}$ من $B^{3} (R^{2}) + B^{3} (- r^{2})$ .

$\frac{B^{3} (R^{2} - r^{2})}{{(R^{2} + r^{2} + R r)}^{2}}$

خطوة 3.4.5.2

بما أن كلا الحدّين هما مربعان كاملان، حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة الفرق بين مربعين، $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ حيث $a = R$ و $b = r$ .

$\frac{B^{3} (R + r) (R - r)}{{(R^{2} + r^{2} + R r)}^{2}}$

خطوة 4

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$P' = \frac{B^{3} (R + r) (R - r)}{{(R^{2} + r^{2} + R r)}^{2}}$

خطوة 5

استبدِل $P'$ بـ $\frac{d P}{d r}$ .

$\frac{d P}{d r} = \frac{B^{3} (R + r) (R - r)}{{(R^{2} + r^{2} + R r)}^{2}}$