حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$s = 10 \sqrt{t^{4} + 25} - 50$

خطوة 1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{t^{4} + 25}$ في صورة ${(t^{4} + 25)}^{\frac{1}{2}}$ .

$s = 10 {(t^{4} + 25)}^{\frac{1}{2}} - 50$

خطوة 2

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d t} (s) = \frac{d}{d t} (10 {(t^{4} + 25)}^{\frac{1}{2}} - 50)$

خطوة 3

مشتق $s$ بالنسبة إلى $t$ يساوي $s'$ .

$s'$

خطوة 4

أوجِد مشتقة المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $10 {(t^{4} + 25)}^{\frac{1}{2}} - 50$ بالنسبة إلى $t$ هو $\frac{d}{d t} [10 {(t^{4} + 25)}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d t} [- 50]$ .

$\frac{d}{d t} [10 {(t^{4} + 25)}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d t} [- 50]$

خطوة 4.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d t} [10 {(t^{4} + 25)}^{\frac{1}{2}}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

بما أن $10$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، إذن مشتق $10 {(t^{4} + 25)}^{\frac{1}{2}}$ بالنسبة إلى $t$ يساوي $10 \frac{d}{d t} [{(t^{4} + 25)}^{\frac{1}{2}}]$ .

$10 \frac{d}{d t} [{(t^{4} + 25)}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d t} [- 50]$

خطوة 4.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ هو $f' (g (t)) g' (t)$ حيث $f (t) = t^{\frac{1}{2}}$ و $g (t) = t^{4} + 25$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $t^{4} + 25$ .

$10 (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d t} [t^{4} + 25]) + \frac{d}{d t} [- 50]$

خطوة 4.2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = \frac{1}{2}$ .

$10 (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d t} [t^{4} + 25]) + \frac{d}{d t} [- 50]$

خطوة 4.2.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $t^{4} + 25$ .

$10 (\frac{1}{2} {(t^{4} + 25)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d t} [t^{4} + 25]) + \frac{d}{d t} [- 50]$

خطوة 4.2.3

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $t^{4} + 25$ بالنسبة إلى $t$ هو $\frac{d}{d t} [t^{4}] + \frac{d}{d t} [25]$ .

$10 (\frac{1}{2} {(t^{4} + 25)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d t} [t^{4}] + \frac{d}{d t} [25])) + \frac{d}{d t} [- 50]$

خطوة 4.2.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ هو $n t^{n - 1}$ حيث $n = 4$ .

$10 (\frac{1}{2} {(t^{4} + 25)}^{\frac{1}{2} - 1} (4 t^{3} + \frac{d}{d t} [25])) + \frac{d}{d t} [- 50]$

خطوة 4.2.5

بما أن $25$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، فإن مشتق $25$ بالنسبة إلى $t$ هو $0$ .

$10 (\frac{1}{2} {(t^{4} + 25)}^{\frac{1}{2} - 1} (4 t^{3} + 0)) + \frac{d}{d t} [- 50]$

خطوة 4.2.6

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$10 (\frac{1}{2} {(t^{4} + 25)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (4 t^{3} + 0)) + \frac{d}{d t} [- 50]$

خطوة 4.2.7

اجمع $- 1$ و $\frac{2}{2}$ .

$10 (\frac{1}{2} {(t^{4} + 25)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (4 t^{3} + 0)) + \frac{d}{d t} [- 50]$

خطوة 4.2.8

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$10 (\frac{1}{2} {(t^{4} + 25)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (4 t^{3} + 0)) + \frac{d}{d t} [- 50]$

خطوة 4.2.9

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.9.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$10 (\frac{1}{2} {(t^{4} + 25)}^{\frac{1 - 2}{2}} (4 t^{3} + 0)) + \frac{d}{d t} [- 50]$

خطوة 4.2.9.2

اطرح $2$ من $1$ .

$10 (\frac{1}{2} {(t^{4} + 25)}^{\frac{- 1}{2}} (4 t^{3} + 0)) + \frac{d}{d t} [- 50]$

خطوة 4.2.10

انقُل السالب أمام الكسر.

$10 (\frac{1}{2} {(t^{4} + 25)}^{- \frac{1}{2}} (4 t^{3} + 0)) + \frac{d}{d t} [- 50]$

خطوة 4.2.11

أضف $4 t^{3}$ و $0$ .

$10 (\frac{1}{2} {(t^{4} + 25)}^{- \frac{1}{2}} (4 t^{3})) + \frac{d}{d t} [- 50]$

خطوة 4.2.12

اجمع $\frac{1}{2}$ و ${(t^{4} + 25)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$10 (\frac{{(t^{4} + 25)}^{- \frac{1}{2}}}{2} (4 t^{3})) + \frac{d}{d t} [- 50]$

خطوة 4.2.13

اجمع $4$ و $\frac{{(t^{4} + 25)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$10 (\frac{4 {(t^{4} + 25)}^{- \frac{1}{2}}}{2} t^{3}) + \frac{d}{d t} [- 50]$

خطوة 4.2.14

اجمع $\frac{4 {(t^{4} + 25)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ و $t^{3}$ .

$10 \frac{4 {(t^{4} + 25)}^{- \frac{1}{2}} t^{3}}{2} + \frac{d}{d t} [- 50]$

خطوة 4.2.15

انقُل ${(t^{4} + 25)}^{- \frac{1}{2}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$10 \frac{4 t^{3}}{2 {(t^{4} + 25)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d t} [- 50]$

خطوة 4.2.16

أخرِج العامل $2$ من $4 t^{3}$ .

$10 \frac{2 (2 t^{3})}{2 {(t^{4} + 25)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d t} [- 50]$

خطوة 4.2.17

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.17.1

أخرِج العامل $2$ من $2 {(t^{4} + 25)}^{\frac{1}{2}}$ .

$10 \frac{2 (2 t^{3})}{2 ({(t^{4} + 25)}^{\frac{1}{2}})} + \frac{d}{d t} [- 50]$

خطوة 4.2.17.2

ألغِ العامل المشترك.

$10 \frac{2 (2 t^{3})}{2 {(t^{4} + 25)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d t} [- 50]$

خطوة 4.2.17.3

أعِد كتابة العبارة.

$10 \frac{2 t^{3}}{{(t^{4} + 25)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d t} [- 50]$

خطوة 4.2.18

اجمع $10$ و $\frac{2 t^{3}}{{(t^{4} + 25)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{10 (2 t^{3})}{{(t^{4} + 25)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d t} [- 50]$

خطوة 4.2.19

اضرب $2$ في $10$ .

$\frac{20 t^{3}}{{(t^{4} + 25)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d t} [- 50]$

خطوة 4.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

بما أن $- 50$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، فإن مشتق $- 50$ بالنسبة إلى $t$ هو $0$ .

$\frac{20 t^{3}}{{(t^{4} + 25)}^{\frac{1}{2}}} + 0$

خطوة 4.3.2

أضف $\frac{20 t^{3}}{{(t^{4} + 25)}^{\frac{1}{2}}}$ و $0$ .

$\frac{20 t^{3}}{{(t^{4} + 25)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 5

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$s' = \frac{20 t^{3}}{{(t^{4} + 25)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 6

استبدِل $s'$ بـ $\frac{d s}{d t}$ .

$\frac{d s}{d t} = \frac{20 t^{3}}{{(t^{4} + 25)}^{\frac{1}{2}}}$