حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$w = \log_{8} (2^{p} - 1)$

خطوة 1

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d p} (w) = \frac{d}{d p} (\log_{8} (2^{p} - 1))$

خطوة 2

مشتق $w$ بالنسبة إلى $p$ يساوي $w'$ .

$w'$

خطوة 3

أوجِد مشتقة المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d p} [f (g (p))]$ هو $f' (g (p)) g' (p)$ حيث $f (p) = \log_{8} (p)$ و $g (p) = 2^{p} - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $2^{p} - 1$ .

$\frac{d}{d u} [\log_{8} (u)] \frac{d}{d p} [2^{p} - 1]$

خطوة 3.1.2

مشتق $\log_{8} (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $\frac{1}{u \ln (8)}$ .

$\frac{1}{u \ln (8)} \frac{d}{d p} [2^{p} - 1]$

خطوة 3.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $2^{p} - 1$ .

$\frac{1}{(2^{p} - 1) \ln (8)} \frac{d}{d p} [2^{p} - 1]$

خطوة 3.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $2^{p} - 1$ بالنسبة إلى $p$ هو $\frac{d}{d p} [2^{p}] + \frac{d}{d p} [- 1]$ .

$\frac{1}{(2^{p} - 1) \ln (8)} (\frac{d}{d p} [2^{p}] + \frac{d}{d p} [- 1])$

خطوة 3.3

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d p} [a^{p}]$ هو $a^{p} \ln (a)$ حيث $a$ = $2$ .

$\frac{1}{(2^{p} - 1) \ln (8)} (2^{p} \ln (2) + \frac{d}{d p} [- 1])$

خطوة 3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $p$ ، فإن مشتق $- 1$ بالنسبة إلى $p$ هو $0$ .

$\frac{1}{(2^{p} - 1) \ln (8)} (2^{p} \ln (2) + 0)$

خطوة 3.4.2

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.2.1

أضف $2^{p} \ln (2)$ و $0$ .

$\frac{1}{(2^{p} - 1) \ln (8)} (2^{p} \ln (2))$

خطوة 3.4.2.2

اجمع $2^{p}$ و $\frac{1}{(2^{p} - 1) \ln (8)}$ .

$\frac{2^{p}}{(2^{p} - 1) \ln (8)} \ln (2)$

خطوة 3.4.2.3

اجمع $\frac{2^{p}}{(2^{p} - 1) \ln (8)}$ و $\ln (2)$ .

$\frac{2^{p} \ln (2)}{(2^{p} - 1) \ln (8)}$

خطوة 3.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{2^{p} \ln (2)}{2^{p} \ln (8) - 1 \ln (8)}$

خطوة 3.5.2

أعِد كتابة $- 1 \ln (8)$ بالصيغة $- \ln (8)$ .

$\frac{2^{p} \ln (2)}{2^{p} \ln (8) - \ln (8)}$

خطوة 4

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$w' = \frac{2^{p} \ln (2)}{2^{p} \ln (8) - \ln (8)}$

خطوة 5

استبدِل $w'$ بـ $\frac{d w}{d p}$ .

$\frac{d w}{d p} = \frac{2^{p} \ln (2)}{2^{p} \ln (8) - \ln (8)}$