حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$v = \frac{2 x}{{(x + 1)}^{2}}$

خطوة 1

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d x} v' = \frac{d}{d x} (\frac{2 x}{{(x + 1)}^{2}})$

خطوة 2

مشتق $v'$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $v''$ .

$v''$

خطوة 3

أوجِد مشتقة المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{2 x}{{(x + 1)}^{2}}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x + 1)}^{2}}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x + 1)}^{2}}]$

خطوة 3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ هو $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ حيث $f (x) = x$ و $g (x) = {(x + 1)}^{2}$ .

$2 \frac{{(x + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2}]}{{({(x + 1)}^{2})}^{2}}$

خطوة 3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

اضرب الأُسس في ${({(x + 1)}^{2})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 \frac{{(x + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2}]}{{(x + 1)}^{2 \cdot 2}}$

خطوة 3.3.1.2

اضرب $2$ في $2$ .

$2 \frac{{(x + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2}]}{{(x + 1)}^{4}}$

خطوة 3.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$2 \frac{{(x + 1)}^{2} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2}]}{{(x + 1)}^{4}}$

خطوة 3.3.3

اضرب ${(x + 1)}^{2}$ في $1$ .

$2 \frac{{(x + 1)}^{2} - x \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2}]}{{(x + 1)}^{4}}$

خطوة 3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = x + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x + 1$ .

$2 \frac{{(x + 1)}^{2} - x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x + 1])}{{(x + 1)}^{4}}$

خطوة 3.4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$2 \frac{{(x + 1)}^{2} - x (2 u \frac{d}{d x} [x + 1])}{{(x + 1)}^{4}}$

خطوة 3.4.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x + 1$ .

$2 \frac{{(x + 1)}^{2} - x (2 (x + 1) \frac{d}{d x} [x + 1])}{{(x + 1)}^{4}}$

خطوة 3.5

بسّط بالتحليل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

اضرب $2$ في $- 1$ .

$2 \frac{{(x + 1)}^{2} - 2 x ((x + 1) \frac{d}{d x} [x + 1])}{{(x + 1)}^{4}}$

خطوة 3.5.2

أخرِج العامل $x + 1$ من ${(x + 1)}^{2} - 2 x ((x + 1) \frac{d}{d x} [x + 1])$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.1

أخرِج العامل $x + 1$ من ${(x + 1)}^{2}$ .

$2 \frac{(x + 1) (x + 1) - 2 x ((x + 1) \frac{d}{d x} [x + 1])}{{(x + 1)}^{4}}$

خطوة 3.5.2.2

أخرِج العامل $x + 1$ من $- 2 x ((x + 1) \frac{d}{d x} [x + 1])$ .

$2 \frac{(x + 1) (x + 1) + (x + 1) (- 2 x (\frac{d}{d x} [x + 1]))}{{(x + 1)}^{4}}$

خطوة 3.5.2.3

أخرِج العامل $x + 1$ من $(x + 1) (x + 1) + (x + 1) (- 2 x (\frac{d}{d x} [x + 1]))$ .

$2 \frac{(x + 1) (x + 1 - 2 x (\frac{d}{d x} [x + 1]))}{{(x + 1)}^{4}}$

خطوة 3.6

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.1

أخرِج العامل $x + 1$ من ${(x + 1)}^{4}$ .

$2 \frac{(x + 1) (x + 1 - 2 x (\frac{d}{d x} [x + 1]))}{(x + 1) {(x + 1)}^{3}}$

خطوة 3.6.2

ألغِ العامل المشترك.

$2 \frac{(x + 1) (x + 1 - 2 x (\frac{d}{d x} [x + 1]))}{(x + 1) {(x + 1)}^{3}}$

خطوة 3.6.3

أعِد كتابة العبارة.

$2 \frac{x + 1 - 2 x (\frac{d}{d x} [x + 1])}{{(x + 1)}^{3}}$

خطوة 3.7

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x + 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$2 \frac{x + 1 - 2 x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x + 1)}^{3}}$

خطوة 3.8

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$2 \frac{x + 1 - 2 x (1 + \frac{d}{d x} [1])}{{(x + 1)}^{3}}$

خطوة 3.9

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$2 \frac{x + 1 - 2 x (1 + 0)}{{(x + 1)}^{3}}$

خطوة 3.10

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.10.1

أضف $1$ و $0$ .

$2 \frac{x + 1 - 2 x \cdot 1}{{(x + 1)}^{3}}$

خطوة 3.10.2

اضرب $- 2$ في $1$ .

$2 \frac{x + 1 - 2 x}{{(x + 1)}^{3}}$

خطوة 3.10.3

اطرح $2 x$ من $x$ .

$2 \frac{- x + 1}{{(x + 1)}^{3}}$

خطوة 3.10.4

اجمع $2$ و $\frac{- x + 1}{{(x + 1)}^{3}}$ .

$\frac{2 (- x + 1)}{{(x + 1)}^{3}}$

خطوة 3.11

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.11.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{2 (- x) + 2 \cdot 1}{{(x + 1)}^{3}}$

خطوة 3.11.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.11.2.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$\frac{- 2 x + 2 \cdot 1}{{(x + 1)}^{3}}$

خطوة 3.11.2.2

اضرب $2$ في $1$ .

$\frac{- 2 x + 2}{{(x + 1)}^{3}}$

خطوة 3.11.3

أخرِج العامل $2$ من $- 2 x + 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.11.3.1

أخرِج العامل $2$ من $- 2 x$ .

$\frac{2 (- x) + 2}{{(x + 1)}^{3}}$

خطوة 3.11.3.2

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$\frac{2 (- x) + 2 (1)}{{(x + 1)}^{3}}$

خطوة 3.11.3.3

أخرِج العامل $2$ من $2 (- x) + 2 (1)$ .

$\frac{2 (- x + 1)}{{(x + 1)}^{3}}$

خطوة 3.11.4

أخرِج العامل $- 1$ من $- x$ .

$\frac{2 (- (x) + 1)}{{(x + 1)}^{3}}$

خطوة 3.11.5

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $- 1 (- 1)$ .

$\frac{2 (- (x) - 1 (- 1))}{{(x + 1)}^{3}}$

خطوة 3.11.6

أخرِج العامل $- 1$ من $- (x) - 1 (- 1)$ .

$\frac{2 (- (x - 1))}{{(x + 1)}^{3}}$

خطوة 3.11.7

أعِد كتابة $- (x - 1)$ بالصيغة $- 1 (x - 1)$ .

$\frac{2 (- 1 (x - 1))}{{(x + 1)}^{3}}$

خطوة 3.11.8

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{2 (x - 1)}{{(x + 1)}^{3}}$

خطوة 4

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$v'' = - \frac{2 (x - 1)}{{(x + 1)}^{3}}$

خطوة 5

استبدِل $v'$ بـ $\frac{d v}{d x}$ .

$\frac{d v}{d x} = - \frac{2 (x - 1)}{{(x + 1)}^{3}}$