حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f = (- 6 r^{9} - 1 - \frac{9}{r^{2}}) (4 r^{4} - 7)$

خطوة 1

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d r} (f) = \frac{d}{d r} ((- 6 r^{9} - 1 - \frac{9}{r^{2}}) (4 r^{4} - 7))$

خطوة 2

مشتق $f$ بالنسبة إلى $r$ يساوي $f'$ .

$f'$

خطوة 3

أوجِد مشتقة المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d r} [f (r) g (r)]$ هو $f (r) \frac{d}{d r} [g (r)] + g (r) \frac{d}{d r} [f (r)]$ حيث $f (r) = - 6 r^{9} - 1 - \frac{9}{r^{2}}$ و $g (r) = 4 r^{4} - 7$ .

$(- 6 r^{9} - 1 - \frac{9}{r^{2}}) \frac{d}{d r} [4 r^{4} - 7] + (4 r^{4} - 7) \frac{d}{d r} [- 6 r^{9} - 1 - \frac{9}{r^{2}}]$

خطوة 3.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $4 r^{4} - 7$ بالنسبة إلى $r$ هو $\frac{d}{d r} [4 r^{4}] + \frac{d}{d r} [- 7]$ .

$(- 6 r^{9} - 1 - \frac{9}{r^{2}}) (\frac{d}{d r} [4 r^{4}] + \frac{d}{d r} [- 7]) + (4 r^{4} - 7) \frac{d}{d r} [- 6 r^{9} - 1 - \frac{9}{r^{2}}]$

خطوة 3.2.2

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $r$ ، إذن مشتق $4 r^{4}$ بالنسبة إلى $r$ يساوي $4 \frac{d}{d r} [r^{4}]$ .

$(- 6 r^{9} - 1 - \frac{9}{r^{2}}) (4 \frac{d}{d r} [r^{4}] + \frac{d}{d r} [- 7]) + (4 r^{4} - 7) \frac{d}{d r} [- 6 r^{9} - 1 - \frac{9}{r^{2}}]$

خطوة 3.2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ هو $n r^{n - 1}$ حيث $n = 4$ .

$(- 6 r^{9} - 1 - \frac{9}{r^{2}}) (4 (4 r^{3}) + \frac{d}{d r} [- 7]) + (4 r^{4} - 7) \frac{d}{d r} [- 6 r^{9} - 1 - \frac{9}{r^{2}}]$

خطوة 3.2.4

اضرب $4$ في $4$ .

$(- 6 r^{9} - 1 - \frac{9}{r^{2}}) (16 r^{3} + \frac{d}{d r} [- 7]) + (4 r^{4} - 7) \frac{d}{d r} [- 6 r^{9} - 1 - \frac{9}{r^{2}}]$

خطوة 3.2.5

بما أن $- 7$ عدد ثابت بالنسبة إلى $r$ ، فإن مشتق $- 7$ بالنسبة إلى $r$ هو $0$ .

$(- 6 r^{9} - 1 - \frac{9}{r^{2}}) (16 r^{3} + 0) + (4 r^{4} - 7) \frac{d}{d r} [- 6 r^{9} - 1 - \frac{9}{r^{2}}]$

خطوة 3.2.6

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.6.1

أضف $16 r^{3}$ و $0$ .

$(- 6 r^{9} - 1 - \frac{9}{r^{2}}) (16 r^{3}) + (4 r^{4} - 7) \frac{d}{d r} [- 6 r^{9} - 1 - \frac{9}{r^{2}}]$

خطوة 3.2.6.2

انقُل $16$ إلى يسار $- 6 r^{9} - 1 - \frac{9}{r^{2}}$ .

$16 \cdot (- 6 r^{9} - 1 - \frac{9}{r^{2}}) r^{3} + (4 r^{4} - 7) \frac{d}{d r} [- 6 r^{9} - 1 - \frac{9}{r^{2}}]$

خطوة 3.2.7

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $- 6 r^{9} - 1 - \frac{9}{r^{2}}$ بالنسبة إلى $r$ هو $\frac{d}{d r} [- 6 r^{9}] + \frac{d}{d r} [- 1] + \frac{d}{d r} [- \frac{9}{r^{2}}]$ .

$16 (- 6 r^{9} - 1 - \frac{9}{r^{2}}) r^{3} + (4 r^{4} - 7) (\frac{d}{d r} [- 6 r^{9}] + \frac{d}{d r} [- 1] + \frac{d}{d r} [- \frac{9}{r^{2}}])$

خطوة 3.2.8

بما أن $- 6$ عدد ثابت بالنسبة إلى $r$ ، إذن مشتق $- 6 r^{9}$ بالنسبة إلى $r$ يساوي $- 6 \frac{d}{d r} [r^{9}]$ .

$16 (- 6 r^{9} - 1 - \frac{9}{r^{2}}) r^{3} + (4 r^{4} - 7) (- 6 \frac{d}{d r} [r^{9}] + \frac{d}{d r} [- 1] + \frac{d}{d r} [- \frac{9}{r^{2}}])$

خطوة 3.2.9

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ هو $n r^{n - 1}$ حيث $n = 9$ .

$16 (- 6 r^{9} - 1 - \frac{9}{r^{2}}) r^{3} + (4 r^{4} - 7) (- 6 (9 r^{8}) + \frac{d}{d r} [- 1] + \frac{d}{d r} [- \frac{9}{r^{2}}])$

خطوة 3.2.10

اضرب $9$ في $- 6$ .

$16 (- 6 r^{9} - 1 - \frac{9}{r^{2}}) r^{3} + (4 r^{4} - 7) (- 54 r^{8} + \frac{d}{d r} [- 1] + \frac{d}{d r} [- \frac{9}{r^{2}}])$

خطوة 3.2.11

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $r$ ، فإن مشتق $- 1$ بالنسبة إلى $r$ هو $0$ .

$16 (- 6 r^{9} - 1 - \frac{9}{r^{2}}) r^{3} + (4 r^{4} - 7) (- 54 r^{8} + 0 + \frac{d}{d r} [- \frac{9}{r^{2}}])$

خطوة 3.2.12

أضف $- 54 r^{8}$ و $0$ .

$16 (- 6 r^{9} - 1 - \frac{9}{r^{2}}) r^{3} + (4 r^{4} - 7) (- 54 r^{8} + \frac{d}{d r} [- \frac{9}{r^{2}}])$

خطوة 3.2.13

بما أن $- 9$ عدد ثابت بالنسبة إلى $r$ ، إذن مشتق $- \frac{9}{r^{2}}$ بالنسبة إلى $r$ يساوي $- 9 \frac{d}{d r} [\frac{1}{r^{2}}]$ .

$16 (- 6 r^{9} - 1 - \frac{9}{r^{2}}) r^{3} + (4 r^{4} - 7) (- 54 r^{8} - 9 \frac{d}{d r} [\frac{1}{r^{2}}])$

خطوة 3.2.14

طبّق القواعد الأساسية للأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.14.1

أعِد كتابة $\frac{1}{r^{2}}$ بالصيغة ${(r^{2})}^{- 1}$ .

$16 (- 6 r^{9} - 1 - \frac{9}{r^{2}}) r^{3} + (4 r^{4} - 7) (- 54 r^{8} - 9 \frac{d}{d r} [{(r^{2})}^{- 1}])$

خطوة 3.2.14.2

اضرب الأُسس في ${(r^{2})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.14.2.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$16 (- 6 r^{9} - 1 - \frac{9}{r^{2}}) r^{3} + (4 r^{4} - 7) (- 54 r^{8} - 9 \frac{d}{d r} [r^{2 \cdot - 1}])$

خطوة 3.2.14.2.2

اضرب $2$ في $- 1$ .

$16 (- 6 r^{9} - 1 - \frac{9}{r^{2}}) r^{3} + (4 r^{4} - 7) (- 54 r^{8} - 9 \frac{d}{d r} [r^{- 2}])$

خطوة 3.2.15

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ هو $n r^{n - 1}$ حيث $n = - 2$ .

$16 (- 6 r^{9} - 1 - \frac{9}{r^{2}}) r^{3} + (4 r^{4} - 7) (- 54 r^{8} - 9 (- 2 r^{- 3}))$

خطوة 3.2.16

اضرب $- 2$ في $- 9$ .

$16 (- 6 r^{9} - 1 - \frac{9}{r^{2}}) r^{3} + (4 r^{4} - 7) (- 54 r^{8} + 18 r^{- 3})$

خطوة 3.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$16 (- 6 r^{9} - 1 - \frac{9}{r^{2}}) r^{3} + (4 r^{4} - 7) (- 54 r^{8} + 18 \frac{1}{r^{3}})$

خطوة 3.3.2

طبّق خاصية التوزيع.

$(16 (- 6 r^{9}) + 16 \cdot - 1 + 16 (- \frac{9}{r^{2}})) r^{3} + (4 r^{4} - 7) (- 54 r^{8} + 18 \frac{1}{r^{3}})$

خطوة 3.3.3

طبّق خاصية التوزيع.

$16 (- 6 r^{9}) r^{3} + 16 \cdot - 1 r^{3} + 16 (- \frac{9}{r^{2}}) r^{3} + (4 r^{4} - 7) (- 54 r^{8} + 18 \frac{1}{r^{3}})$

خطوة 3.3.4

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.4.1

اضرب $- 6$ في $16$ .

$- 96 r^{9} r^{3} + 16 \cdot - 1 r^{3} + 16 (- \frac{9}{r^{2}}) r^{3} + (4 r^{4} - 7) (- 54 r^{8} + 18 \frac{1}{r^{3}})$

خطوة 3.3.4.2

اضرب $r^{9}$ في $r^{3}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.4.2.1

انقُل $r^{3}$ .

$- 96 (r^{3} r^{9}) + 16 \cdot - 1 r^{3} + 16 (- \frac{9}{r^{2}}) r^{3} + (4 r^{4} - 7) (- 54 r^{8} + 18 \frac{1}{r^{3}})$

خطوة 3.3.4.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$- 96 r^{3 + 9} + 16 \cdot - 1 r^{3} + 16 (- \frac{9}{r^{2}}) r^{3} + (4 r^{4} - 7) (- 54 r^{8} + 18 \frac{1}{r^{3}})$

خطوة 3.3.4.2.3

أضف $3$ و $9$ .

$- 96 r^{12} + 16 \cdot - 1 r^{3} + 16 (- \frac{9}{r^{2}}) r^{3} + (4 r^{4} - 7) (- 54 r^{8} + 18 \frac{1}{r^{3}})$

خطوة 3.3.4.3

اضرب $16$ في $- 1$ .

$- 96 r^{12} - 16 r^{3} + 16 (- \frac{9}{r^{2}}) r^{3} + (4 r^{4} - 7) (- 54 r^{8} + 18 \frac{1}{r^{3}})$

خطوة 3.3.4.4

اضرب $- 1$ في $16$ .

$- 96 r^{12} - 16 r^{3} - 16 \frac{9}{r^{2}} r^{3} + (4 r^{4} - 7) (- 54 r^{8} + 18 \frac{1}{r^{3}})$

خطوة 3.3.4.5

اجمع $- 16$ و $\frac{9}{r^{2}}$ .

$- 96 r^{12} - 16 r^{3} + \frac{- 16 \cdot 9}{r^{2}} r^{3} + (4 r^{4} - 7) (- 54 r^{8} + 18 \frac{1}{r^{3}})$

خطوة 3.3.4.6

اضرب $- 16$ في $9$ .

$- 96 r^{12} - 16 r^{3} + \frac{- 144}{r^{2}} r^{3} + (4 r^{4} - 7) (- 54 r^{8} + 18 \frac{1}{r^{3}})$

خطوة 3.3.4.7

انقُل السالب أمام الكسر.

$- 96 r^{12} - 16 r^{3} - \frac{144}{r^{2}} r^{3} + (4 r^{4} - 7) (- 54 r^{8} + 18 \frac{1}{r^{3}})$

خطوة 3.3.4.8

اجمع $r^{3}$ و $\frac{144}{r^{2}}$ .

$- 96 r^{12} - 16 r^{3} - \frac{r^{3} \cdot 144}{r^{2}} + (4 r^{4} - 7) (- 54 r^{8} + 18 \frac{1}{r^{3}})$

خطوة 3.3.4.9

انقُل $144$ إلى يسار $r^{3}$ .

$- 96 r^{12} - 16 r^{3} - \frac{144 \cdot r^{3}}{r^{2}} + (4 r^{4} - 7) (- 54 r^{8} + 18 \frac{1}{r^{3}})$

خطوة 3.3.4.10

احذِف العامل المشترك لـ $r^{3}$ و $r^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.4.10.1

أخرِج العامل $r^{2}$ من $144 r^{3}$ .

$- 96 r^{12} - 16 r^{3} - \frac{r^{2} (144 r)}{r^{2}} + (4 r^{4} - 7) (- 54 r^{8} + 18 \frac{1}{r^{3}})$

خطوة 3.3.4.10.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.4.10.2.1

اضرب في $1$ .

$- 96 r^{12} - 16 r^{3} - \frac{r^{2} (144 r)}{r^{2} \cdot 1} + (4 r^{4} - 7) (- 54 r^{8} + 18 \frac{1}{r^{3}})$

خطوة 3.3.4.10.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$- 96 r^{12} - 16 r^{3} - \frac{r^{2} (144 r)}{r^{2} \cdot 1} + (4 r^{4} - 7) (- 54 r^{8} + 18 \frac{1}{r^{3}})$

خطوة 3.3.4.10.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$- 96 r^{12} - 16 r^{3} - \frac{144 r}{1} + (4 r^{4} - 7) (- 54 r^{8} + 18 \frac{1}{r^{3}})$

خطوة 3.3.4.10.2.4

اقسِم $144 r$ على $1$ .

$- 96 r^{12} - 16 r^{3} - (144 r) + (4 r^{4} - 7) (- 54 r^{8} + 18 \frac{1}{r^{3}})$

خطوة 3.3.4.11

اضرب $144$ في $- 1$ .

$- 96 r^{12} - 16 r^{3} - 144 r + (4 r^{4} - 7) (- 54 r^{8} + 18 \frac{1}{r^{3}})$

خطوة 3.3.4.12

اجمع $18$ و $\frac{1}{r^{3}}$ .

$- 96 r^{12} - 16 r^{3} - 144 r + (4 r^{4} - 7) (- 54 r^{8} + \frac{18}{r^{3}})$

خطوة 3.3.5

أعِد ترتيب الحدود.

$- 96 r^{12} - 16 r^{3} + (- 54 r^{8} + \frac{18}{r^{3}}) (4 r^{4} - 7) - 144 r$

خطوة 3.3.6

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.6.1

وسّع $(- 54 r^{8} + \frac{18}{r^{3}}) (4 r^{4} - 7)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.6.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$- 96 r^{12} - 16 r^{3} - 54 r^{8} (4 r^{4} - 7) + \frac{18}{r^{3}} (4 r^{4} - 7) - 144 r$

خطوة 3.3.6.1.2

طبّق خاصية التوزيع.

$- 96 r^{12} - 16 r^{3} - 54 r^{8} (4 r^{4}) - 54 r^{8} \cdot - 7 + \frac{18}{r^{3}} (4 r^{4} - 7) - 144 r$

خطوة 3.3.6.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$- 96 r^{12} - 16 r^{3} - 54 r^{8} (4 r^{4}) - 54 r^{8} \cdot - 7 + \frac{18}{r^{3}} (4 r^{4}) + \frac{18}{r^{3}} \cdot - 7 - 144 r$

خطوة 3.3.6.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.6.2.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$- 96 r^{12} - 16 r^{3} - 54 \cdot 4 r^{8} r^{4} - 54 r^{8} \cdot - 7 + \frac{18}{r^{3}} (4 r^{4}) + \frac{18}{r^{3}} \cdot - 7 - 144 r$

خطوة 3.3.6.2.2

اضرب $r^{8}$ في $r^{4}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.6.2.2.1

انقُل $r^{4}$ .

$- 96 r^{12} - 16 r^{3} - 54 \cdot 4 (r^{4} r^{8}) - 54 r^{8} \cdot - 7 + \frac{18}{r^{3}} (4 r^{4}) + \frac{18}{r^{3}} \cdot - 7 - 144 r$

خطوة 3.3.6.2.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$- 96 r^{12} - 16 r^{3} - 54 \cdot 4 r^{4 + 8} - 54 r^{8} \cdot - 7 + \frac{18}{r^{3}} (4 r^{4}) + \frac{18}{r^{3}} \cdot - 7 - 144 r$

خطوة 3.3.6.2.2.3

أضف $4$ و $8$ .

$- 96 r^{12} - 16 r^{3} - 54 \cdot 4 r^{12} - 54 r^{8} \cdot - 7 + \frac{18}{r^{3}} (4 r^{4}) + \frac{18}{r^{3}} \cdot - 7 - 144 r$

خطوة 3.3.6.2.3

اضرب $- 54$ في $4$ .

$- 96 r^{12} - 16 r^{3} - 216 r^{12} - 54 r^{8} \cdot - 7 + \frac{18}{r^{3}} (4 r^{4}) + \frac{18}{r^{3}} \cdot - 7 - 144 r$

خطوة 3.3.6.2.4

اضرب $- 7$ في $- 54$ .

$- 96 r^{12} - 16 r^{3} - 216 r^{12} + 378 r^{8} + \frac{18}{r^{3}} (4 r^{4}) + \frac{18}{r^{3}} \cdot - 7 - 144 r$

خطوة 3.3.6.2.5

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$- 96 r^{12} - 16 r^{3} - 216 r^{12} + 378 r^{8} + 4 \frac{18}{r^{3}} r^{4} + \frac{18}{r^{3}} \cdot - 7 - 144 r$

خطوة 3.3.6.2.6

اضرب $4 \frac{18}{r^{3}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.6.2.6.1

اجمع $4$ و $\frac{18}{r^{3}}$ .

$- 96 r^{12} - 16 r^{3} - 216 r^{12} + 378 r^{8} + \frac{4 \cdot 18}{r^{3}} r^{4} + \frac{18}{r^{3}} \cdot - 7 - 144 r$

خطوة 3.3.6.2.6.2

اضرب $4$ في $18$ .

$- 96 r^{12} - 16 r^{3} - 216 r^{12} + 378 r^{8} + \frac{72}{r^{3}} r^{4} + \frac{18}{r^{3}} \cdot - 7 - 144 r$

خطوة 3.3.6.2.7

ألغِ العامل المشترك لـ $r^{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.6.2.7.1

أخرِج العامل $r^{3}$ من $r^{4}$ .

$- 96 r^{12} - 16 r^{3} - 216 r^{12} + 378 r^{8} + \frac{72}{r^{3}} (r^{3} r) + \frac{18}{r^{3}} \cdot - 7 - 144 r$

خطوة 3.3.6.2.7.2

ألغِ العامل المشترك.

$- 96 r^{12} - 16 r^{3} - 216 r^{12} + 378 r^{8} + \frac{72}{r^{3}} (r^{3} r) + \frac{18}{r^{3}} \cdot - 7 - 144 r$

خطوة 3.3.6.2.7.3

أعِد كتابة العبارة.

$- 96 r^{12} - 16 r^{3} - 216 r^{12} + 378 r^{8} + 72 r + \frac{18}{r^{3}} \cdot - 7 - 144 r$

خطوة 3.3.6.2.8

اضرب $\frac{18}{r^{3}} \cdot - 7$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.6.2.8.1

اجمع $\frac{18}{r^{3}}$ و $- 7$ .

$- 96 r^{12} - 16 r^{3} - 216 r^{12} + 378 r^{8} + 72 r + \frac{18 \cdot - 7}{r^{3}} - 144 r$

خطوة 3.3.6.2.8.2

اضرب $18$ في $- 7$ .

$- 96 r^{12} - 16 r^{3} - 216 r^{12} + 378 r^{8} + 72 r + \frac{- 126}{r^{3}} - 144 r$

خطوة 3.3.6.2.9

انقُل السالب أمام الكسر.

$- 96 r^{12} - 16 r^{3} - 216 r^{12} + 378 r^{8} + 72 r - \frac{126}{r^{3}} - 144 r$

خطوة 3.3.7

اطرح $216 r^{12}$ من $- 96 r^{12}$ .

$- 312 r^{12} - 16 r^{3} + 378 r^{8} + 72 r - \frac{126}{r^{3}} - 144 r$

خطوة 3.3.8

اطرح $144 r$ من $72 r$ .

$- 312 r^{12} - 16 r^{3} + 378 r^{8} - 72 r - \frac{126}{r^{3}}$

خطوة 4

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$f' = - 312 r^{12} - 16 r^{3} + 378 r^{8} - 72 r - \frac{126}{r^{3}}$

خطوة 5

استبدِل $f'$ بـ $\frac{d f}{d r}$ .

$\frac{d f}{d r} = - 312 r^{12} - 16 r^{3} + 378 r^{8} - 72 r - \frac{126}{r^{3}}$