حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$s = \frac{1}{3} t^{3} - 5 t^{2} + 16 t + 8$

خطوة 1

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d s} (s) = \frac{d}{d s} (\frac{1}{3} t^{3} - 5 t^{2} + 16 t + 8)$

خطوة 2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d s} [s^{n}]$ هو $n s^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$1$

خطوة 3

أوجِد مشتقة المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $\frac{1}{3} t^{3} - 5 t^{2} + 16 t + 8$ بالنسبة إلى $s$ هو $\frac{d}{d s} [\frac{1}{3} t^{3}] + \frac{d}{d s} [- 5 t^{2}] + \frac{d}{d s} [16 t] + \frac{d}{d s} [8]$ .

$\frac{d}{d s} [\frac{1}{3} t^{3}] + \frac{d}{d s} [- 5 t^{2}] + \frac{d}{d s} [16 t] + \frac{d}{d s} [8]$

خطوة 3.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d s} [\frac{1}{3} t^{3}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

بما أن $\frac{1}{3}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $s$ ، إذن مشتق $\frac{1}{3} t^{3}$ بالنسبة إلى $s$ يساوي $\frac{1}{3} \frac{d}{d s} [t^{3}]$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d s} [t^{3}] + \frac{d}{d s} [- 5 t^{2}] + \frac{d}{d s} [16 t] + \frac{d}{d s} [8]$

خطوة 3.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d s} [f (g (s))]$ هو $f' (g (s)) g' (s)$ حيث $f (s) = s^{3}$ و $g (s) = t$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $t$ .

$\frac{1}{3} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}] \frac{d}{d s} [t]) + \frac{d}{d s} [- 5 t^{2}] + \frac{d}{d s} [16 t] + \frac{d}{d s} [8]$

خطوة 3.2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ هو $n {u_{1}}^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$\frac{1}{3} (3 {u_{1}}^{2} \frac{d}{d s} [t]) + \frac{d}{d s} [- 5 t^{2}] + \frac{d}{d s} [16 t] + \frac{d}{d s} [8]$

خطوة 3.2.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $t$ .

$\frac{1}{3} (3 t^{2} \frac{d}{d s} [t]) + \frac{d}{d s} [- 5 t^{2}] + \frac{d}{d s} [16 t] + \frac{d}{d s} [8]$

خطوة 3.2.3

أعِد كتابة $\frac{d}{d s} [t]$ بالصيغة $t'$ .

$\frac{1}{3} (3 t^{2} t') + \frac{d}{d s} [- 5 t^{2}] + \frac{d}{d s} [16 t] + \frac{d}{d s} [8]$

خطوة 3.2.4

اجمع $3$ و $\frac{1}{3}$ .

$\frac{3}{3} (t^{2} t') + \frac{d}{d s} [- 5 t^{2}] + \frac{d}{d s} [16 t] + \frac{d}{d s} [8]$

خطوة 3.2.5

اجمع $t^{2}$ و $\frac{3}{3}$ .

$\frac{t^{2} \cdot 3}{3} t' + \frac{d}{d s} [- 5 t^{2}] + \frac{d}{d s} [16 t] + \frac{d}{d s} [8]$

خطوة 3.2.6

اجمع $\frac{t^{2} \cdot 3}{3}$ و $t'$ .

$\frac{t^{2} \cdot 3 t'}{3} + \frac{d}{d s} [- 5 t^{2}] + \frac{d}{d s} [16 t] + \frac{d}{d s} [8]$

خطوة 3.2.7

انقُل $3$ إلى يسار $t^{2}$ .

$\frac{3 \cdot t^{2} t'}{3} + \frac{d}{d s} [- 5 t^{2}] + \frac{d}{d s} [16 t] + \frac{d}{d s} [8]$

خطوة 3.2.8

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.8.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{3 t^{2} t'}{3} + \frac{d}{d s} [- 5 t^{2}] + \frac{d}{d s} [16 t] + \frac{d}{d s} [8]$

خطوة 3.2.8.2

اقسِم $t^{2} t'$ على $1$ .

$t^{2} t' + \frac{d}{d s} [- 5 t^{2}] + \frac{d}{d s} [16 t] + \frac{d}{d s} [8]$

خطوة 3.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d s} [- 5 t^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

بما أن $- 5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $s$ ، إذن مشتق $- 5 t^{2}$ بالنسبة إلى $s$ يساوي $- 5 \frac{d}{d s} [t^{2}]$ .

$t^{2} t' - 5 \frac{d}{d s} [t^{2}] + \frac{d}{d s} [16 t] + \frac{d}{d s} [8]$

خطوة 3.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d s} [f (g (s))]$ هو $f' (g (s)) g' (s)$ حيث $f (s) = s^{2}$ و $g (s) = t$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{2}$ لتصبح $t$ .

$t^{2} t' - 5 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d s} [t]) + \frac{d}{d s} [16 t] + \frac{d}{d s} [8]$

خطوة 3.3.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ هو $n {u_{2}}^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$t^{2} t' - 5 (2 u_{2} \frac{d}{d s} [t]) + \frac{d}{d s} [16 t] + \frac{d}{d s} [8]$

خطوة 3.3.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $t$ .

$t^{2} t' - 5 (2 t \frac{d}{d s} [t]) + \frac{d}{d s} [16 t] + \frac{d}{d s} [8]$

خطوة 3.3.3

أعِد كتابة $\frac{d}{d s} [t]$ بالصيغة $t'$ .

$t^{2} t' - 5 (2 t t') + \frac{d}{d s} [16 t] + \frac{d}{d s} [8]$

خطوة 3.3.4

اضرب $2$ في $- 5$ .

$t^{2} t' - 10 t t' + \frac{d}{d s} [16 t] + \frac{d}{d s} [8]$

خطوة 3.4

احسِب قيمة $\frac{d}{d s} [16 t]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

بما أن $16$ عدد ثابت بالنسبة إلى $s$ ، إذن مشتق $16 t$ بالنسبة إلى $s$ يساوي $16 \frac{d}{d s} [t]$ .

$t^{2} t' - 10 t t' + 16 \frac{d}{d s} [t] + \frac{d}{d s} [8]$

خطوة 3.4.2

أعِد كتابة $\frac{d}{d s} [t]$ بالصيغة $t'$ .

$t^{2} t' - 10 t t' + 16 t' + \frac{d}{d s} [8]$

خطوة 3.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

بما أن $8$ عدد ثابت بالنسبة إلى $s$ ، فإن مشتق $8$ بالنسبة إلى $s$ هو $0$ .

$t^{2} t' - 10 t t' + 16 t' + 0$

خطوة 3.5.2

أضف $t^{2} t' - 10 t t' + 16 t'$ و $0$ .

$t^{2} t' - 10 t t' + 16 t'$

خطوة 4

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$1 = t^{2} t' - 10 t t' + 16 t'$

خطوة 5

أوجِد قيمة $t'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $t^{2} t' - 10 t t' + 16 t' = 1$ .

$t^{2} t' - 10 t t' + 16 t' = 1$

خطوة 5.2

أخرِج العامل $t'$ من $t^{2} t' - 10 t t' + 16 t'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

أخرِج العامل $t'$ من $t^{2} t'$ .

$t' t^{2} - 10 t t' + 16 t' = 1$

خطوة 5.2.2

أخرِج العامل $t'$ من $- 10 t t'$ .

$t' (t^{2}) + t' (- 10 t) + 16 t' = 1$

خطوة 5.2.3

أخرِج العامل $t'$ من $16 t'$ .

$t' (t^{2}) + t' (- 10 t) + t' \cdot 16 = 1$

خطوة 5.2.4

أخرِج العامل $t'$ من $t' (t^{2}) + t' (- 10 t)$ .

$t' (t^{2} - 10 t) + t' \cdot 16 = 1$

خطوة 5.2.5

أخرِج العامل $t'$ من $t' (t^{2} - 10 t) + t' \cdot 16$ .

$t' (t^{2} - 10 t + 16) = 1$

خطوة 5.3

حلّل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

حلّل $t^{2} - 10 t + 16$ إلى عوامل باستخدام طريقة AC.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1.1

ضع في اعتبارك الصيغة $x^{2} + b x + c$ . ابحث عن زوج من الأعداد الصحيحة حاصل ضربهما $c$ ومجموعهما $b$ . في هذه الحالة، حاصل ضربهما $16$ ومجموعهما $- 10$ .

$- 8, - 2$

خطوة 5.3.1.2

اكتب الصيغة المحلّلة إلى عوامل مستخدمًا هذه الأعداد الصحيحة.

$t' ((t - 8) (t - 2)) = 1$

خطوة 5.3.2

احذِف الأقواس غير الضرورية.

$t' (t - 8) (t - 2) = 1$

خطوة 5.4

اقسِم كل حد في $t' (t - 8) (t - 2) = 1$ على $(t - 8) (t - 2)$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.1

اقسِم كل حد في $t' (t - 8) (t - 2) = 1$ على $(t - 8) (t - 2)$ .

$\frac{t' (t - 8) (t - 2)}{(t - 8) (t - 2)} = \frac{1}{(t - 8) (t - 2)}$

خطوة 5.4.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $t - 8$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{t' (t - 8) (t - 2)}{(t - 8) (t - 2)} = \frac{1}{(t - 8) (t - 2)}$

خطوة 5.4.2.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{t' (t - 2)}{t - 2} = \frac{1}{(t - 8) (t - 2)}$

خطوة 5.4.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $t - 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{t' (t - 2)}{t - 2} = \frac{1}{(t - 8) (t - 2)}$

خطوة 5.4.2.2.2

اقسِم $t'$ على $1$ .

$t' = \frac{1}{(t - 8) (t - 2)}$

خطوة 6

استبدِل $t'$ بـ $\frac{d t}{d s}$ .

$\frac{d t}{d s} = \frac{1}{(t - 8) (t - 2)}$