حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$s = t^{3} - 12 t$

خطوة 1

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d s} (s) = \frac{d}{d s} (t^{3} - 12 t)$

خطوة 2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d s} [s^{n}]$ هو $n s^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$1$

خطوة 3

أوجِد مشتقة المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $t^{3} - 12 t$ بالنسبة إلى $s$ هو $\frac{d}{d s} [t^{3}] + \frac{d}{d s} [- 12 t]$ .

$\frac{d}{d s} [t^{3}] + \frac{d}{d s} [- 12 t]$

خطوة 3.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d s} [t^{3}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d s} [f (g (s))]$ هو $f' (g (s)) g' (s)$ حيث $f (s) = s^{3}$ و $g (s) = t$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $t$ .

$\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d s} [t] + \frac{d}{d s} [- 12 t]$

خطوة 3.2.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$3 u^{2} \frac{d}{d s} [t] + \frac{d}{d s} [- 12 t]$

خطوة 3.2.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $t$ .

$3 t^{2} \frac{d}{d s} [t] + \frac{d}{d s} [- 12 t]$

خطوة 3.2.2

أعِد كتابة $\frac{d}{d s} [t]$ بالصيغة $t'$ .

$3 t^{2} t' + \frac{d}{d s} [- 12 t]$

خطوة 3.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d s} [- 12 t]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

بما أن $- 12$ عدد ثابت بالنسبة إلى $s$ ، إذن مشتق $- 12 t$ بالنسبة إلى $s$ يساوي $- 12 \frac{d}{d s} [t]$ .

$3 t^{2} t' - 12 \frac{d}{d s} [t]$

خطوة 3.3.2

أعِد كتابة $\frac{d}{d s} [t]$ بالصيغة $t'$ .

$3 t^{2} t' - 12 t'$

خطوة 4

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$1 = 3 t^{2} t' - 12 t'$

خطوة 5

أوجِد قيمة $t'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $3 t^{2} t' - 12 t' = 1$ .

$3 t^{2} t' - 12 t' = 1$

خطوة 5.2

أخرِج العامل $3 t'$ من $3 t^{2} t' - 12 t'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

أخرِج العامل $3 t'$ من $3 t^{2} t'$ .

$3 t' t^{2} - 12 t' = 1$

خطوة 5.2.2

أخرِج العامل $3 t'$ من $- 12 t'$ .

$3 t' t^{2} + 3 t' \cdot - 4 = 1$

خطوة 5.2.3

أخرِج العامل $3 t'$ من $3 t' t^{2} + 3 t' \cdot - 4$ .

$3 t' (t^{2} - 4) = 1$

خطوة 5.3

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$3 t' (t^{2} - 2^{2}) = 1$

خطوة 5.4

حلّل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.1

بما أن كلا الحدّين هما مربعان كاملان، حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة الفرق بين مربعين، $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ حيث $a = t$ و $b = 2$ .

$3 t' ((t + 2) (t - 2)) = 1$

خطوة 5.4.2

احذِف الأقواس غير الضرورية.

$3 t' (t + 2) (t - 2) = 1$

خطوة 5.5

اقسِم كل حد في $3 t' (t + 2) (t - 2) = 1$ على $3 (t + 2) (t - 2)$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.1

اقسِم كل حد في $3 t' (t + 2) (t - 2) = 1$ على $3 (t + 2) (t - 2)$ .

$\frac{3 t' (t + 2) (t - 2)}{3 (t + 2) (t - 2)} = \frac{1}{3 (t + 2) (t - 2)}$

خطوة 5.5.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{3 t' (t + 2) (t - 2)}{3 (t + 2) (t - 2)} = \frac{1}{3 (t + 2) (t - 2)}$

خطوة 5.5.2.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{t' (t + 2) (t - 2)}{(t + 2) (t - 2)} = \frac{1}{3 (t + 2) (t - 2)}$

خطوة 5.5.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $t + 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{t' (t + 2) (t - 2)}{(t + 2) (t - 2)} = \frac{1}{3 (t + 2) (t - 2)}$

خطوة 5.5.2.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{t' (t - 2)}{t - 2} = \frac{1}{3 (t + 2) (t - 2)}$

خطوة 5.5.2.3

ألغِ العامل المشترك لـ $t - 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.2.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{t' (t - 2)}{t - 2} = \frac{1}{3 (t + 2) (t - 2)}$

خطوة 5.5.2.3.2

اقسِم $t'$ على $1$ .

$t' = \frac{1}{3 (t + 2) (t - 2)}$

خطوة 6

استبدِل $t'$ بـ $\frac{d t}{d s}$ .

$\frac{d t}{d s} = \frac{1}{3 (t + 2) (t - 2)}$