حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\cos (x) + \sqrt{y} = 6$

خطوة 1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{y}$ في صورة $y^{\frac{1}{2}}$ .

$\cos (x) + y^{\frac{1}{2}} = 6$

خطوة 2

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d y} (\cos (x) + y^{\frac{1}{2}}) = \frac{d}{d y} (6)$

خطوة 3

أوجِد مشتقة المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $\cos (x) + y^{\frac{1}{2}}$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{d}{d y} [\cos (x)] + \frac{d}{d y} [y^{\frac{1}{2}}]$ .

$\frac{d}{d y} [\cos (x)] + \frac{d}{d y} [y^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 3.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d y} [\cos (x)]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ هو $f' (g (y)) g' (y)$ حيث $f (y) = \cos (y)$ و $g (y) = x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x$ .

$\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 3.2.1.2

مشتق $\cos (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $- \sin (u)$ .

$- \sin (u) \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 3.2.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x$ .

$- \sin (x) \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 3.2.2

أعِد كتابة $\frac{d}{d y} [x]$ بالصيغة $x'$ .

$- \sin (x) x' + \frac{d}{d y} [y^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 3.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d y} [y^{\frac{1}{2}}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = \frac{1}{2}$ .

$- \sin (x) x' + \frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1}$

خطوة 3.3.2

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$- \sin (x) x' + \frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}$

خطوة 3.3.3

اجمع $- 1$ و $\frac{2}{2}$ .

$- \sin (x) x' + \frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}$

خطوة 3.3.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$- \sin (x) x' + \frac{1}{2} y^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}$

خطوة 3.3.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.5.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$- \sin (x) x' + \frac{1}{2} y^{\frac{1 - 2}{2}}$

خطوة 3.3.5.2

اطرح $2$ من $1$ .

$- \sin (x) x' + \frac{1}{2} y^{\frac{- 1}{2}}$

خطوة 3.3.6

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \sin (x) x' + \frac{1}{2} y^{- \frac{1}{2}}$

خطوة 3.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \sin (x) x' + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{y^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 3.4.2

اضرب $\frac{1}{2}$ في $\frac{1}{y^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \sin (x) x' + \frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 4

بما أن $6$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، فإن مشتق $6$ بالنسبة إلى $y$ هو $0$ .

$0$

خطوة 5

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$- \sin (x) x' + \frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}} = 0$

خطوة 6

أوجِد قيمة $x'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1

أعِد ترتيب العوامل في $- \sin (x) x' + \frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}}$ .

$- x' \sin (x) + \frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}} = 0$

خطوة 6.2

اطرح $\frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}}$ من كلا المتعادلين.

$- x' \sin (x) = - \frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 6.3

اقسِم كل حد في $- x' \sin (x) = - \frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}}$ على $- \sin (x)$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1

اقسِم كل حد في $- x' \sin (x) = - \frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}}$ على $- \sin (x)$ .

$\frac{- x' \sin (x)}{- \sin (x)} = \frac{- \frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}}}{- \sin (x)}$

خطوة 6.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.2.1

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$\frac{x' \sin (x)}{\sin (x)} = \frac{- \frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}}}{- \sin (x)}$

خطوة 6.3.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $\sin (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{x' \sin (x)}{\sin (x)} = \frac{- \frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}}}{- \sin (x)}$

خطوة 6.3.2.2.2

اقسِم $x'$ على $1$ .

$x' = \frac{- \frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}}}{- \sin (x)}$

خطوة 6.3.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.3.1

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$x' = \frac{\frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}}}{\sin (x)}$

خطوة 6.3.3.2

افصِل الكسور.

$x' = \frac{\frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}}}{1} \cdot \frac{1}{\sin (x)}$

خطوة 6.3.3.3

حوّل من $\frac{1}{\sin (x)}$ إلى $\csc (x)$ .

$x' = \frac{\frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}}}{1} \csc (x)$

خطوة 6.3.3.4

اقسِم $\frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}}$ على $1$ .

$x' = \frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}} \csc (x)$

خطوة 6.3.3.5

اجمع $\frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}}$ و $\csc (x)$ .

$x' = \frac{\csc (x)}{2 y^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 7

استبدِل $x'$ بـ $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = \frac{\csc (x)}{2 y^{\frac{1}{2}}}$