حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$x y - e^{x y} = 7$

خطوة 1

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d y} (x y - e^{x y}) = \frac{d}{d y} (7)$

خطوة 2

أوجِد مشتقة المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x y - e^{x y}$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{d}{d y} [x y] + \frac{d}{d y} [- e^{x y}]$ .

$\frac{d}{d y} [x y] + \frac{d}{d y} [- e^{x y}]$

خطوة 2.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d y} [x y]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ هو $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ حيث $f (y) = x$ و $g (y) = y$ .

$x \frac{d}{d y} [y] + y \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- e^{x y}]$

خطوة 2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$x \cdot 1 + y \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- e^{x y}]$

خطوة 2.2.3

أعِد كتابة $\frac{d}{d y} [x]$ بالصيغة $x'$ .

$x \cdot 1 + y x' + \frac{d}{d y} [- e^{x y}]$

خطوة 2.2.4

اضرب $x$ في $1$ .

$x + y x' + \frac{d}{d y} [- e^{x y}]$

خطوة 2.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d y} [- e^{x y}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، إذن مشتق $- e^{x y}$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $- \frac{d}{d y} [e^{x y}]$ .

$x + y x' - \frac{d}{d y} [e^{x y}]$

خطوة 2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ هو $f' (g (y)) g' (y)$ حيث $f (y) = e^{y}$ و $g (y) = x y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x y$ .

$x + y x' - (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d y} [x y])$

خطوة 2.3.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ هو $a^{u} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$x + y x' - (e^{u} \frac{d}{d y} [x y])$

خطوة 2.3.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x y$ .

$x + y x' - (e^{x y} \frac{d}{d y} [x y])$

خطوة 2.3.3

$x + y x' - (e^{x y} (x \frac{d}{d y} [y] + y \frac{d}{d y} [x]))$

خطوة 2.3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$x + y x' - (e^{x y} (x \cdot 1 + y \frac{d}{d y} [x]))$

خطوة 2.3.5

أعِد كتابة $\frac{d}{d y} [x]$ بالصيغة $x'$ .

$x + y x' - (e^{x y} (x \cdot 1 + y x'))$

خطوة 2.3.6

اضرب $x$ في $1$ .

$x + y x' - e^{x y} (x + y x')$

خطوة 2.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

طبّق خاصية التوزيع.

$x + y x' - e^{x y} x - e^{x y} (y x')$

خطوة 2.4.2

أعِد ترتيب الحدود.

$y x' - e^{x y} x - e^{x y} y x' + x$

خطوة 3

بما أن $7$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، فإن مشتق $7$ بالنسبة إلى $y$ هو $0$ .

$0$

خطوة 4

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$y x' - e^{x y} x - e^{x y} y x' + x = 0$

خطوة 5

أوجِد قيمة $x'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

أعِد ترتيب العوامل في $y x' - e^{x y} x - e^{x y} y x' + x$ .

$y x' - x e^{x y} - y x' e^{x y} + x = 0$

خطوة 5.2

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $x'$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

أضف $x e^{x y}$ إلى كلا المتعادلين.

$y x' - y x' e^{x y} + x = x e^{x y}$

خطوة 5.2.2

اطرح $x$ من كلا المتعادلين.

$y x' - y x' e^{x y} = x e^{x y} - x$

خطوة 5.3

أخرِج العامل $y x'$ من $y x' - y x' e^{x y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

أخرِج العامل $y x'$ من $y x'$ .

$y x' \cdot 1 - y x' e^{x y} = x e^{x y} - x$

خطوة 5.3.2

أخرِج العامل $y x'$ من $- y x' e^{x y}$ .

$y x' \cdot 1 + y x' (- 1 e^{x y}) = x e^{x y} - x$

خطوة 5.3.3

أخرِج العامل $y x'$ من $y x' \cdot 1 + y x' (- 1 e^{x y})$ .

$y x' (1 - 1 e^{x y}) = x e^{x y} - x$

خطوة 5.4

أعِد كتابة $- 1 e^{x y}$ بالصيغة $- e^{x y}$ .

$y x' (1 - e^{x y}) = x e^{x y} - x$

خطوة 5.5

اقسِم كل حد في $y x' (1 - e^{x y}) = x e^{x y} - x$ على $y (1 - e^{x y})$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.1

اقسِم كل حد في $y x' (1 - e^{x y}) = x e^{x y} - x$ على $y (1 - e^{x y})$ .

$\frac{y x' (1 - e^{x y})}{y (1 - e^{x y})} = \frac{x e^{x y}}{y (1 - e^{x y})} + \frac{- x}{y (1 - e^{x y})}$

خطوة 5.5.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y x' (1 - e^{x y})}{y (1 - e^{x y})} = \frac{x e^{x y}}{y (1 - e^{x y})} + \frac{- x}{y (1 - e^{x y})}$

خطوة 5.5.2.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{x' (1 - e^{x y})}{1 - e^{x y}} = \frac{x e^{x y}}{y (1 - e^{x y})} + \frac{- x}{y (1 - e^{x y})}$

خطوة 5.5.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $1 - e^{x y}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{x' (1 - e^{x y})}{1 - e^{x y}} = \frac{x e^{x y}}{y (1 - e^{x y})} + \frac{- x}{y (1 - e^{x y})}$

خطوة 5.5.2.2.2

اقسِم $x'$ على $1$ .

$x' = \frac{x e^{x y}}{y (1 - e^{x y})} + \frac{- x}{y (1 - e^{x y})}$

خطوة 5.5.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.3.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$x' = \frac{x e^{x y}}{y (1 - e^{x y})} - \frac{x}{y (1 - e^{x y})}$

خطوة 6

استبدِل $x'$ بـ $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = \frac{x e^{x y}}{y (1 - e^{x y})} - \frac{x}{y (1 - e^{x y})}$