حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$x = \sqrt{125 - p^{2}}$

خطوة 1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{125 - p^{2}}$ في صورة ${(125 - p^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$x = {(125 - p^{2})}^{\frac{1}{2}}$

خطوة 2

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d p} (x) = \frac{d}{d p} ({(125 - p^{2})}^{\frac{1}{2}})$

خطوة 3

مشتق $x$ بالنسبة إلى $p$ يساوي $x'$ .

$x'$

خطوة 4

أوجِد مشتقة المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d p} [f (g (p))]$ هو $f' (g (p)) g' (p)$ حيث $f (p) = p^{\frac{1}{2}}$ و $g (p) = 125 - p^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $125 - p^{2}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d p} [125 - p^{2}]$

خطوة 4.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d p} [125 - p^{2}]$

خطوة 4.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $125 - p^{2}$ .

$\frac{1}{2} {(125 - p^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d p} [125 - p^{2}]$

خطوة 4.2

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(125 - p^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d p} [125 - p^{2}]$

خطوة 4.3

اجمع $- 1$ و $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(125 - p^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d p} [125 - p^{2}]$

خطوة 4.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{1}{2} {(125 - p^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d p} [125 - p^{2}]$

خطوة 4.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$\frac{1}{2} {(125 - p^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d p} [125 - p^{2}]$

خطوة 4.5.2

اطرح $2$ من $1$ .

$\frac{1}{2} {(125 - p^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d p} [125 - p^{2}]$

خطوة 4.6

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.6.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{1}{2} {(125 - p^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d p} [125 - p^{2}]$

خطوة 4.6.2

اجمع $\frac{1}{2}$ و ${(125 - p^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(125 - p^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d p} [125 - p^{2}]$

خطوة 4.6.3

انقُل ${(125 - p^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(125 - p^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d p} [125 - p^{2}]$

خطوة 4.7

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $125 - p^{2}$ بالنسبة إلى $p$ هو $\frac{d}{d p} [125] + \frac{d}{d p} [- p^{2}]$ .

$\frac{1}{2 {(125 - p^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d p} [125] + \frac{d}{d p} [- p^{2}])$

خطوة 4.8

بما أن $125$ عدد ثابت بالنسبة إلى $p$ ، فإن مشتق $125$ بالنسبة إلى $p$ هو $0$ .

$\frac{1}{2 {(125 - p^{2})}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d p} [- p^{2}])$

خطوة 4.9

أضف $0$ و $\frac{d}{d p} [- p^{2}]$ .

$\frac{1}{2 {(125 - p^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d p} [- p^{2}]$

خطوة 4.10

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $p$ ، إذن مشتق $- p^{2}$ بالنسبة إلى $p$ يساوي $- \frac{d}{d p} [p^{2}]$ .

$\frac{1}{2 {(125 - p^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- \frac{d}{d p} [p^{2}])$

خطوة 4.11

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d p} [p^{n}]$ هو $n p^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{1}{2 {(125 - p^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- (2 p))$

خطوة 4.12

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.12.1

اضرب $2$ في $- 1$ .

$\frac{1}{2 {(125 - p^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- 2 p)$

خطوة 4.12.2

اجمع $- 2$ و $\frac{1}{2 {(125 - p^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{- 2}{2 {(125 - p^{2})}^{\frac{1}{2}}} p$

خطوة 4.12.3

اجمع $\frac{- 2}{2 {(125 - p^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ و $p$ .

$\frac{- 2 p}{2 {(125 - p^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 4.12.4

أخرِج العامل $2$ من $- 2 p$ .

$\frac{2 (- p)}{2 {(125 - p^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 4.13

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.13.1

أخرِج العامل $2$ من $2 {(125 - p^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 (- p)}{2 ({(125 - p^{2})}^{\frac{1}{2}})}$

خطوة 4.13.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 (- p)}{2 {(125 - p^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 4.13.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{- p}{{(125 - p^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 4.14

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{p}{{(125 - p^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 5

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$x' = - \frac{p}{{(125 - p^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 6

استبدِل $x'$ بـ $\frac{d x}{d p}$ .

$\frac{d x}{d p} = - \frac{p}{{(125 - p^{2})}^{\frac{1}{2}}}$