حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$x^{4} + t^{4} x + t^{3} - 9 = 0$

خطوة 1

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d t} (x^{4} + t^{4} x + t^{3} - 9) = \frac{d}{d t} (0)$

خطوة 2

أوجِد مشتقة المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{4} + t^{4} x + t^{3} - 9$ بالنسبة إلى $t$ هو $\frac{d}{d t} [x^{4}] + \frac{d}{d t} [t^{4} x] + \frac{d}{d t} [t^{3}] + \frac{d}{d t} [- 9]$ .

$\frac{d}{d t} [x^{4}] + \frac{d}{d t} [t^{4} x] + \frac{d}{d t} [t^{3}] + \frac{d}{d t} [- 9]$

خطوة 2.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d t} [x^{4}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ هو $f' (g (t)) g' (t)$ حيث $f (t) = t^{4}$ و $g (t) = x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x$ .

$\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d t} [x] + \frac{d}{d t} [t^{4} x] + \frac{d}{d t} [t^{3}] + \frac{d}{d t} [- 9]$

خطوة 2.2.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 4$ .

$4 u^{3} \frac{d}{d t} [x] + \frac{d}{d t} [t^{4} x] + \frac{d}{d t} [t^{3}] + \frac{d}{d t} [- 9]$

خطوة 2.2.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x$ .

$4 x^{3} \frac{d}{d t} [x] + \frac{d}{d t} [t^{4} x] + \frac{d}{d t} [t^{3}] + \frac{d}{d t} [- 9]$

خطوة 2.2.2

أعِد كتابة $\frac{d}{d t} [x]$ بالصيغة $x'$ .

$4 x^{3} x' + \frac{d}{d t} [t^{4} x] + \frac{d}{d t} [t^{3}] + \frac{d}{d t} [- 9]$

خطوة 2.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d t} [t^{4} x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ هو $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ حيث $f (t) = t^{4}$ و $g (t) = x$ .

$4 x^{3} x' + t^{4} \frac{d}{d t} [x] + x \frac{d}{d t} [t^{4}] + \frac{d}{d t} [t^{3}] + \frac{d}{d t} [- 9]$

خطوة 2.3.2

أعِد كتابة $\frac{d}{d t} [x]$ بالصيغة $x'$ .

$4 x^{3} x' + t^{4} x' + x \frac{d}{d t} [t^{4}] + \frac{d}{d t} [t^{3}] + \frac{d}{d t} [- 9]$

خطوة 2.3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ هو $n t^{n - 1}$ حيث $n = 4$ .

$4 x^{3} x' + t^{4} x' + x (4 t^{3}) + \frac{d}{d t} [t^{3}] + \frac{d}{d t} [- 9]$

خطوة 2.3.4

انقُل $4$ إلى يسار $x$ .

$4 x^{3} x' + t^{4} x' + 4 x t^{3} + \frac{d}{d t} [t^{3}] + \frac{d}{d t} [- 9]$

خطوة 2.4

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ هو $n t^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$4 x^{3} x' + t^{4} x' + 4 x t^{3} + 3 t^{2} + \frac{d}{d t} [- 9]$

خطوة 2.4.2

بما أن $- 9$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، فإن مشتق $- 9$ بالنسبة إلى $t$ هو $0$ .

$4 x^{3} x' + t^{4} x' + 4 x t^{3} + 3 t^{2} + 0$

خطوة 2.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1

أضف $4 x^{3} x' + t^{4} x' + 4 x t^{3} + 3 t^{2}$ و $0$ .

$4 x^{3} x' + t^{4} x' + 4 x t^{3} + 3 t^{2}$

خطوة 2.5.2

أعِد ترتيب الحدود.

$3 t^{2} + 4 x^{3} x' + t^{4} x' + 4 t^{3} x$

خطوة 3

بما أن $0$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، فإن مشتق $0$ بالنسبة إلى $t$ هو $0$ .

$0$

خطوة 4

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$3 t^{2} + 4 x^{3} x' + t^{4} x' + 4 t^{3} x = 0$

خطوة 5

أوجِد قيمة $x'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $x'$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

اطرح $3 t^{2}$ من كلا المتعادلين.

$4 x^{3} x' + t^{4} x' + 4 t^{3} x = - 3 t^{2}$

خطوة 5.1.2

اطرح $4 t^{3} x$ من كلا المتعادلين.

$4 x^{3} x' + t^{4} x' = - 3 t^{2} - 4 t^{3} x$

خطوة 5.2

أخرِج العامل $x'$ من $4 x^{3} x' + t^{4} x'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

أخرِج العامل $x'$ من $4 x^{3} x'$ .

$x' (4 x^{3}) + t^{4} x' = - 3 t^{2} - 4 t^{3} x$

خطوة 5.2.2

أخرِج العامل $x'$ من $t^{4} x'$ .

$x' (4 x^{3}) + x' (t^{4}) = - 3 t^{2} - 4 t^{3} x$

خطوة 5.2.3

أخرِج العامل $x'$ من $x' (4 x^{3}) + x' (t^{4})$ .

$x' (4 x^{3} + t^{4}) = - 3 t^{2} - 4 t^{3} x$

خطوة 5.3

اقسِم كل حد في $x' (4 x^{3} + t^{4}) = - 3 t^{2} - 4 t^{3} x$ على $4 x^{3} + t^{4}$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

اقسِم كل حد في $x' (4 x^{3} + t^{4}) = - 3 t^{2} - 4 t^{3} x$ على $4 x^{3} + t^{4}$ .

$\frac{x' (4 x^{3} + t^{4})}{4 x^{3} + t^{4}} = \frac{- 3 t^{2}}{4 x^{3} + t^{4}} + \frac{- 4 t^{3} x}{4 x^{3} + t^{4}}$

خطوة 5.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $4 x^{3} + t^{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{x' (4 x^{3} + t^{4})}{4 x^{3} + t^{4}} = \frac{- 3 t^{2}}{4 x^{3} + t^{4}} + \frac{- 4 t^{3} x}{4 x^{3} + t^{4}}$

خطوة 5.3.2.1.2

اقسِم $x'$ على $1$ .

$x' = \frac{- 3 t^{2}}{4 x^{3} + t^{4}} + \frac{- 4 t^{3} x}{4 x^{3} + t^{4}}$

خطوة 5.3.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.1

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$x' = \frac{- 3 t^{2} - 4 t^{3} x}{4 x^{3} + t^{4}}$

خطوة 5.3.3.2

أخرِج العامل $t^{2}$ من $- 3 t^{2} - 4 t^{3} x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.2.1

أخرِج العامل $t^{2}$ من $- 3 t^{2}$ .

$x' = \frac{t^{2} \cdot - 3 - 4 t^{3} x}{4 x^{3} + t^{4}}$

خطوة 5.3.3.2.2

أخرِج العامل $t^{2}$ من $- 4 t^{3} x$ .

$x' = \frac{t^{2} \cdot - 3 + t^{2} (- 4 t x)}{4 x^{3} + t^{4}}$

خطوة 5.3.3.2.3

أخرِج العامل $t^{2}$ من $t^{2} \cdot - 3 + t^{2} (- 4 t x)$ .

$x' = \frac{t^{2} (- 3 - 4 t x)}{4 x^{3} + t^{4}}$

خطوة 5.3.3.3

أعِد كتابة $- 3$ بالصيغة $- 1 (3)$ .

$x' = \frac{t^{2} (- 1 (3) - 4 t x)}{4 x^{3} + t^{4}}$

خطوة 5.3.3.4

أخرِج العامل $- 1$ من $- 4 t x$ .

$x' = \frac{t^{2} (- 1 (3) - (4 t x))}{4 x^{3} + t^{4}}$

خطوة 5.3.3.5

أخرِج العامل $- 1$ من $- 1 (3) - (4 t x)$ .

$x' = \frac{t^{2} (- 1 (3 + 4 t x))}{4 x^{3} + t^{4}}$

خطوة 5.3.3.6

انقُل السالب أمام الكسر.

$x' = - \frac{t^{2} (3 + 4 t x)}{4 x^{3} + t^{4}}$

خطوة 6

استبدِل $x'$ بـ $\frac{d x}{d t}$ .

$\frac{d x}{d t} = - \frac{t^{2} (3 + 4 t x)}{4 x^{3} + t^{4}}$