حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$x^{3} + y^{3} = 3 x y^{2}$

خطوة 1

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d x} (x^{3} + y^{3}) = \frac{d}{d x} (3 x y^{2})$

خطوة 2

أوجِد مشتقة المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{3} + y^{3}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

خطوة 2.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

خطوة 2.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{3}$ و $g (x) = y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $y$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y]$

خطوة 2.2.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$3 x^{2} + 3 u^{2} \frac{d}{d x} [y]$

خطوة 2.2.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $y$ .

$3 x^{2} + 3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]$

خطوة 2.2.2

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$3 x^{2} + 3 y^{2} y'$

خطوة 3

أوجِد مشتقة المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $3 x y^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $3 \frac{d}{d x} [x y^{2}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x y^{2}]$

خطوة 3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x$ و $g (x) = y^{2}$ .

$3 (x \frac{d}{d x} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $y$ .

$3 (x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 3.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$3 (x (2 u \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 3.3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $y$ .

$3 (x (2 y \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 3.4

انقُل $2$ إلى يسار $x$ .

$3 (2 \cdot x y \frac{d}{d x} [y] + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 3.5

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$3 (2 x y y' + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 3.6

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$3 (2 x y y' + y^{2} \cdot 1)$

خطوة 3.7

اضرب $y^{2}$ في $1$ .

$3 (2 x y y' + y^{2})$

خطوة 3.8

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.8.1

طبّق خاصية التوزيع.

$3 (2 x y y') + 3 y^{2}$

خطوة 3.8.2

اضرب $2$ في $3$ .

$6 x y y' + 3 y^{2}$

خطوة 3.8.3

أعِد ترتيب الحدود.

$3 y^{2} + 6 x y y'$

خطوة 4

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$3 x^{2} + 3 y^{2} y' = 3 y^{2} + 6 x y y'$

خطوة 5

أوجِد قيمة $y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

اطرح $6 x y y'$ من كلا المتعادلين.

$3 x^{2} + 3 y^{2} y' - 6 x y y' = 3 y^{2}$

خطوة 5.2

اطرح $3 x^{2}$ من كلا المتعادلين.

$3 y^{2} y' - 6 x y y' = 3 y^{2} - 3 x^{2}$

خطوة 5.3

أخرِج العامل $3 y y'$ من $3 y^{2} y' - 6 x y y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

أخرِج العامل $3 y y'$ من $3 y^{2} y'$ .

$3 y y' y - 6 x y y' = 3 y^{2} - 3 x^{2}$

خطوة 5.3.2

أخرِج العامل $3 y y'$ من $- 6 x y y'$ .

$3 y y' y + 3 y y' (- 2 x) = 3 y^{2} - 3 x^{2}$

خطوة 5.3.3

أخرِج العامل $3 y y'$ من $3 y y' y + 3 y y' (- 2 x)$ .

$3 y y' (y - 2 x) = 3 y^{2} - 3 x^{2}$

خطوة 5.4

اقسِم كل حد في $3 y y' (y - 2 x) = 3 y^{2} - 3 x^{2}$ على $3 y (y - 2 x)$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.1

اقسِم كل حد في $3 y y' (y - 2 x) = 3 y^{2} - 3 x^{2}$ على $3 y (y - 2 x)$ .

$\frac{3 y y' (y - 2 x)}{3 y (y - 2 x)} = \frac{3 y^{2}}{3 y (y - 2 x)} + \frac{- 3 x^{2}}{3 y (y - 2 x)}$

خطوة 5.4.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{3 y y' (y - 2 x)}{3 y (y - 2 x)} = \frac{3 y^{2}}{3 y (y - 2 x)} + \frac{- 3 x^{2}}{3 y (y - 2 x)}$

خطوة 5.4.2.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{y y' (y - 2 x)}{y (y - 2 x)} = \frac{3 y^{2}}{3 y (y - 2 x)} + \frac{- 3 x^{2}}{3 y (y - 2 x)}$

خطوة 5.4.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y y' (y - 2 x)}{y (y - 2 x)} = \frac{3 y^{2}}{3 y (y - 2 x)} + \frac{- 3 x^{2}}{3 y (y - 2 x)}$

خطوة 5.4.2.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{y' (y - 2 x)}{y - 2 x} = \frac{3 y^{2}}{3 y (y - 2 x)} + \frac{- 3 x^{2}}{3 y (y - 2 x)}$

خطوة 5.4.2.3

ألغِ العامل المشترك لـ $y - 2 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.2.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y' (y - 2 x)}{y - 2 x} = \frac{3 y^{2}}{3 y (y - 2 x)} + \frac{- 3 x^{2}}{3 y (y - 2 x)}$

خطوة 5.4.2.3.2

اقسِم $y'$ على $1$ .

$y' = \frac{3 y^{2}}{3 y (y - 2 x)} + \frac{- 3 x^{2}}{3 y (y - 2 x)}$

خطوة 5.4.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.3.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.3.1.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$y' = \frac{3 y^{2}}{3 y (y - 2 x)} + \frac{- 3 x^{2}}{3 y (y - 2 x)}$

خطوة 5.4.3.1.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$y' = \frac{y^{2}}{y (y - 2 x)} + \frac{- 3 x^{2}}{3 y (y - 2 x)}$

خطوة 5.4.3.1.2

احذِف العامل المشترك لـ $y^{2}$ و $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.3.1.2.1

أخرِج العامل $y$ من $y^{2}$ .

$y' = \frac{y \cdot y}{y (y - 2 x)} + \frac{- 3 x^{2}}{3 y (y - 2 x)}$

خطوة 5.4.3.1.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.3.1.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$y' = \frac{y \cdot y}{y (y - 2 x)} + \frac{- 3 x^{2}}{3 y (y - 2 x)}$

خطوة 5.4.3.1.2.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$y' = \frac{y}{y - 2 x} + \frac{- 3 x^{2}}{3 y (y - 2 x)}$

خطوة 5.4.3.1.3

احذِف العامل المشترك لـ $- 3$ و $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.3.1.3.1

أخرِج العامل $3$ من $- 3 x^{2}$ .

$y' = \frac{y}{y - 2 x} + \frac{3 (- x^{2})}{3 y (y - 2 x)}$

خطوة 5.4.3.1.3.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.3.1.3.2.1

أخرِج العامل $3$ من $3 y (y - 2 x)$ .

$y' = \frac{y}{y - 2 x} + \frac{3 (- x^{2})}{3 (y (y - 2 x))}$

خطوة 5.4.3.1.3.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$y' = \frac{y}{y - 2 x} + \frac{3 (- x^{2})}{3 (y (y - 2 x))}$

خطوة 5.4.3.1.3.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$y' = \frac{y}{y - 2 x} + \frac{- x^{2}}{y (y - 2 x)}$

خطوة 5.4.3.1.4

انقُل السالب أمام الكسر.

$y' = \frac{y}{y - 2 x} - \frac{x^{2}}{y (y - 2 x)}$

خطوة 5.4.3.2

لكتابة $\frac{y}{y - 2 x}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{y}{y}$ .

$y' = \frac{y}{y - 2 x} \cdot \frac{y}{y} - \frac{x^{2}}{y (y - 2 x)}$

خطوة 5.4.3.3

اكتب كل عبارة قاسمها المشترك $(y - 2 x) y$ ، بضربها في العامل المناسب للعدد $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.3.3.1

اضرب $\frac{y}{y - 2 x}$ في $\frac{y}{y}$ .

$y' = \frac{y \cdot y}{(y - 2 x) y} - \frac{x^{2}}{y (y - 2 x)}$

خطوة 5.4.3.3.2

أعِد ترتيب عوامل $(y - 2 x) y$ .

$y' = \frac{y \cdot y}{y (y - 2 x)} - \frac{x^{2}}{y (y - 2 x)}$

خطوة 5.4.3.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y' = \frac{y \cdot y - x^{2}}{y (y - 2 x)}$

خطوة 5.4.3.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.3.5.1

ارفع $y$ إلى القوة $1$ .

$y' = \frac{y^{1} y - x^{2}}{y (y - 2 x)}$

خطوة 5.4.3.5.2

ارفع $y$ إلى القوة $1$ .

$y' = \frac{y^{1} y^{1} - x^{2}}{y (y - 2 x)}$

خطوة 5.4.3.5.3

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$y' = \frac{y^{1 + 1} - x^{2}}{y (y - 2 x)}$

خطوة 5.4.3.5.4

أضف $1$ و $1$ .

$y' = \frac{y^{2} - x^{2}}{y (y - 2 x)}$

خطوة 5.4.3.5.5

بما أن كلا الحدّين هما مربعان كاملان، حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة الفرق بين مربعين، $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ حيث $a = y$ و $b = x$ .

$y' = \frac{(y + x) (y - x)}{y (y - 2 x)}$

خطوة 6

استبدِل $y'$ بـ $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{(y + x) (y - x)}{y (y - 2 x)}$