حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$x = \frac{500}{\ln (p^{2} + 1)}$

خطوة 1

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d p} (x) = \frac{d}{d p} (\frac{500}{\ln (p^{2} + 1)})$

خطوة 2

مشتق $x$ بالنسبة إلى $p$ يساوي $x'$ .

$x'$

خطوة 3

أوجِد مشتقة المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة المضاعف الثابت.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

بما أن $500$ عدد ثابت بالنسبة إلى $p$ ، إذن مشتق $\frac{500}{\ln (p^{2} + 1)}$ بالنسبة إلى $p$ يساوي $500 \frac{d}{d p} [\frac{1}{\ln (p^{2} + 1)}]$ .

$500 \frac{d}{d p} [\frac{1}{\ln (p^{2} + 1)}]$

خطوة 3.1.2

أعِد كتابة $\frac{1}{\ln (p^{2} + 1)}$ بالصيغة $\ln^{- 1} (p^{2} + 1)$ .

$500 \frac{d}{d p} [\ln^{- 1} (p^{2} + 1)]$

خطوة 3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d p} [f (g (p))]$ هو $f' (g (p)) g' (p)$ حيث $f (p) = p^{- 1}$ و $g (p) = \ln (p^{2} + 1)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $\ln (p^{2} + 1)$ .

$500 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d p} [\ln (p^{2} + 1)])$

خطوة 3.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ هو $n {u_{1}}^{n - 1}$ حيث $n = - 1$ .

$500 (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d p} [\ln (p^{2} + 1)])$

خطوة 3.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $\ln (p^{2} + 1)$ .

$500 (- \ln^{- 2} (p^{2} + 1) \frac{d}{d p} [\ln (p^{2} + 1)])$

خطوة 3.3

اضرب $- 1$ في $500$ .

$- 500 (\ln^{- 2} (p^{2} + 1) \frac{d}{d p} [\ln (p^{2} + 1)])$

خطوة 3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d p} [f (g (p))]$ هو $f' (g (p)) g' (p)$ حيث $f (p) = \ln (p)$ و $g (p) = p^{2} + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{2}$ لتصبح $p^{2} + 1$ .

$- 500 \ln^{- 2} (p^{2} + 1) (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d p} [p^{2} + 1])$

خطوة 3.4.2

مشتق $\ln (u_{2})$ بالنسبة إلى $u_{2}$ يساوي $\frac{1}{u_{2}}$ .

$- 500 \ln^{- 2} (p^{2} + 1) (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d p} [p^{2} + 1])$

خطوة 3.4.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $p^{2} + 1$ .

$- 500 \ln^{- 2} (p^{2} + 1) (\frac{1}{p^{2} + 1} \frac{d}{d p} [p^{2} + 1])$

خطوة 3.5

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

اجمع $\frac{1}{p^{2} + 1}$ و $- 500$ .

$\frac{- 500}{p^{2} + 1} \ln^{- 2} (p^{2} + 1) \frac{d}{d p} [p^{2} + 1]$

خطوة 3.5.2

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.1

اجمع $\frac{- 500}{p^{2} + 1}$ و $\ln^{- 2} (p^{2} + 1)$ .

$\frac{- 500 \ln^{- 2} (p^{2} + 1)}{p^{2} + 1} \frac{d}{d p} [p^{2} + 1]$

خطوة 3.5.2.2

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.2.1

انقُل $\ln^{- 2} (p^{2} + 1)$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{- 500}{(p^{2} + 1) \ln^{2} (p^{2} + 1)} \frac{d}{d p} [p^{2} + 1]$

خطوة 3.5.2.2.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{500}{(p^{2} + 1) \ln^{2} (p^{2} + 1)} \frac{d}{d p} [p^{2} + 1]$

خطوة 3.5.3

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $p^{2} + 1$ بالنسبة إلى $p$ هو $\frac{d}{d p} [p^{2}] + \frac{d}{d p} [1]$ .

$- \frac{500}{(p^{2} + 1) \ln^{2} (p^{2} + 1)} (\frac{d}{d p} [p^{2}] + \frac{d}{d p} [1])$

خطوة 3.5.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d p} [p^{n}]$ هو $n p^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$- \frac{500}{(p^{2} + 1) \ln^{2} (p^{2} + 1)} (2 p + \frac{d}{d p} [1])$

خطوة 3.5.5

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $p$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $p$ هو $0$ .

$- \frac{500}{(p^{2} + 1) \ln^{2} (p^{2} + 1)} (2 p + 0)$

خطوة 3.5.6

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.6.1

أضف $2 p$ و $0$ .

$- \frac{500}{(p^{2} + 1) \ln^{2} (p^{2} + 1)} (2 p)$

خطوة 3.5.6.2

اضرب $2$ في $- 1$ .

$- 2 \frac{500}{(p^{2} + 1) \ln^{2} (p^{2} + 1)} p$

خطوة 3.5.6.3

اجمع $- 2$ و $\frac{500}{(p^{2} + 1) \ln^{2} (p^{2} + 1)}$ .

$\frac{- 2 \cdot 500}{(p^{2} + 1) \ln^{2} (p^{2} + 1)} p$

خطوة 3.5.6.4

اضرب $- 2$ في $500$ .

$\frac{- 1000}{(p^{2} + 1) \ln^{2} (p^{2} + 1)} p$

خطوة 3.5.6.5

اجمع $\frac{- 1000}{(p^{2} + 1) \ln^{2} (p^{2} + 1)}$ و $p$ .

$\frac{- 1000 p}{(p^{2} + 1) \ln^{2} (p^{2} + 1)}$

خطوة 3.5.6.6

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.6.6.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{1000 p}{(p^{2} + 1) \ln^{2} (p^{2} + 1)}$

خطوة 3.5.6.6.2

أعِد ترتيب العوامل في $- \frac{1000 p}{(p^{2} + 1) \ln^{2} (p^{2} + 1)}$ .

$- \frac{1000 p}{\ln^{2} (p^{2} + 1) (p^{2} + 1)}$

خطوة 4

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$x' = - \frac{1000 p}{\ln^{2} (p^{2} + 1) (p^{2} + 1)}$

خطوة 5

استبدِل $x'$ بـ $\frac{d x}{d p}$ .

$\frac{d x}{d p} = - \frac{1000 p}{\ln^{2} (p^{2} + 1) (p^{2} + 1)}$