حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$V = p r^{2} (2 p r - 24)$

خطوة 1

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d r} (V) = \frac{d}{d r} (p r^{2} (2 p r - 24))$

خطوة 2

مشتق $V$ بالنسبة إلى $r$ يساوي $V'$ .

$V'$

خطوة 3

أوجِد مشتقة المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

بما أن $p$ عدد ثابت بالنسبة إلى $r$ ، إذن مشتق $p r^{2} (2 p r - 24)$ بالنسبة إلى $r$ يساوي $p \frac{d}{d r} [r^{2} (2 p r - 24)]$ .

$p \frac{d}{d r} [r^{2} (2 p r - 24)]$

خطوة 3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d r} [f (r) g (r)]$ هو $f (r) \frac{d}{d r} [g (r)] + g (r) \frac{d}{d r} [f (r)]$ حيث $f (r) = r^{2}$ و $g (r) = 2 p r - 24$ .

$p (r^{2} \frac{d}{d r} [2 p r - 24] + (2 p r - 24) \frac{d}{d r} [r^{2}])$

خطوة 3.3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $2 p r - 24$ بالنسبة إلى $r$ هو $\frac{d}{d r} [2 p r] + \frac{d}{d r} [- 24]$ .

$p (r^{2} (\frac{d}{d r} [2 p r] + \frac{d}{d r} [- 24]) + (2 p r - 24) \frac{d}{d r} [r^{2}])$

خطوة 3.3.2

بما أن $2 p$ عدد ثابت بالنسبة إلى $r$ ، إذن مشتق $2 p r$ بالنسبة إلى $r$ يساوي $2 p \frac{d}{d r} [r]$ .

$p (r^{2} (2 p \frac{d}{d r} [r] + \frac{d}{d r} [- 24]) + (2 p r - 24) \frac{d}{d r} [r^{2}])$

خطوة 3.3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ هو $n r^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$p (r^{2} (2 p \cdot 1 + \frac{d}{d r} [- 24]) + (2 p r - 24) \frac{d}{d r} [r^{2}])$

خطوة 3.3.4

اضرب $2$ في $1$ .

$p (r^{2} (2 p + \frac{d}{d r} [- 24]) + (2 p r - 24) \frac{d}{d r} [r^{2}])$

خطوة 3.3.5

بما أن $- 24$ عدد ثابت بالنسبة إلى $r$ ، فإن مشتق $- 24$ بالنسبة إلى $r$ هو $0$ .

$p (r^{2} (2 p + 0) + (2 p r - 24) \frac{d}{d r} [r^{2}])$

خطوة 3.3.6

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.6.1

أضف $2 p$ و $0$ .

$p (r^{2} (2 p) + (2 p r - 24) \frac{d}{d r} [r^{2}])$

خطوة 3.3.6.2

انقُل $2$ إلى يسار $r^{2}$ .

$p (2 \cdot r^{2} p + (2 p r - 24) \frac{d}{d r} [r^{2}])$

خطوة 3.3.7

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ هو $n r^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$p (2 r^{2} p + (2 p r - 24) (2 r))$

خطوة 3.3.8

انقُل $2$ إلى يسار $2 p r - 24$ .

$p (2 r^{2} p + 2 \cdot (2 p r - 24) r)$

خطوة 3.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

طبّق خاصية التوزيع.

$p (2 r^{2} p + (2 (2 p r) + 2 \cdot - 24) r)$

خطوة 3.4.2

طبّق خاصية التوزيع.

$p (2 r^{2} p + 2 (2 p r) r + 2 \cdot - 24 r)$

خطوة 3.4.3

طبّق خاصية التوزيع.

$p (2 r^{2} p) + p (2 (2 p r) r) + p (2 \cdot - 24 r)$

خطوة 3.4.4

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.4.1

ارفع $p$ إلى القوة $1$ .

$p^{1} p (2 r^{2}) + p (2 (2 p r) r) + p (2 \cdot - 24 r)$

خطوة 3.4.4.2

ارفع $p$ إلى القوة $1$ .

$p^{1} p^{1} (2 r^{2}) + p (2 (2 p r) r) + p (2 \cdot - 24 r)$

خطوة 3.4.4.3

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$p^{1 + 1} (2 r^{2}) + p (2 (2 p r) r) + p (2 \cdot - 24 r)$

خطوة 3.4.4.4

أضف $1$ و $1$ .

$p^{2} (2 r^{2}) + p (2 (2 p r) r) + p (2 \cdot - 24 r)$

خطوة 3.4.4.5

انقُل $2$ إلى يسار $p^{2}$ .

$2 \cdot p^{2} r^{2} + p (2 (2 p r) r) + p (2 \cdot - 24 r)$

خطوة 3.4.4.6

اضرب $2$ في $2$ .

$2 p^{2} r^{2} + p (4 (p r) r) + p (2 \cdot - 24 r)$

خطوة 3.4.4.7

ارفع $r$ إلى القوة $1$ .

$2 p^{2} r^{2} + p (4 p (r^{1} r)) + p (2 \cdot - 24 r)$

خطوة 3.4.4.8

ارفع $r$ إلى القوة $1$ .

$2 p^{2} r^{2} + p (4 p (r^{1} r^{1})) + p (2 \cdot - 24 r)$

خطوة 3.4.4.9

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$2 p^{2} r^{2} + p (4 p r^{1 + 1}) + p (2 \cdot - 24 r)$

خطوة 3.4.4.10

أضف $1$ و $1$ .

$2 p^{2} r^{2} + p (4 p r^{2}) + p (2 \cdot - 24 r)$

خطوة 3.4.4.11

ارفع $p$ إلى القوة $1$ .

$2 p^{2} r^{2} + 4 (p^{1} p) r^{2} + p (2 \cdot - 24 r)$

خطوة 3.4.4.12

ارفع $p$ إلى القوة $1$ .

$2 p^{2} r^{2} + 4 (p^{1} p^{1}) r^{2} + p (2 \cdot - 24 r)$

خطوة 3.4.4.13

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$2 p^{2} r^{2} + 4 p^{1 + 1} r^{2} + p (2 \cdot - 24 r)$

خطوة 3.4.4.14

أضف $1$ و $1$ .

$2 p^{2} r^{2} + 4 p^{2} r^{2} + p (2 \cdot - 24 r)$

خطوة 3.4.4.15

اضرب $2$ في $- 24$ .

$2 p^{2} r^{2} + 4 p^{2} r^{2} + p (- 48 r)$

خطوة 3.4.4.16

أضف $2 p^{2} r^{2}$ و $4 p^{2} r^{2}$ .

$6 p^{2} r^{2} + p (- 48 r)$

خطوة 3.4.5

أعِد ترتيب الحدود.

$6 p^{2} r^{2} - 48 p r$

خطوة 4

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$V' = 6 p^{2} r^{2} - 48 p r$

خطوة 5

استبدِل $V'$ بـ $\frac{d V}{d r}$ .

$\frac{d V}{d r} = 6 p^{2} r^{2} - 48 p r$