حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{4}}{4^{x}}$

خطوة 1

طبّق قاعدة لوبيتال.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

احسِب قيمة حد بسط الكسر وحد القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

خُذ نهاية بسط الكسر ونهاية القاسم.

$\frac{lim_{x \to \infty} x^{4}}{lim_{x \to \infty} 4^{x}}$

خطوة 1.1.2

النهاية عند ما لا نهاية متعدد حدود معامله الرئيسي موجب تساوي ما لا نهاية.

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 4^{x}}$

خطوة 1.1.3

بما أن الأُس $x$ يقترب من $\infty$ ، إذن الكمية $4^{x}$ تقترب من $\infty$ .

$\frac{\infty}{\infty}$

خطوة 1.1.4

ناتج قسمة ما لا نهاية على ما لا نهاية يساوي قيمة غير معرّفة.

غير معرّف

$\frac{\infty}{\infty}$

خطوة 1.2

بما أن $\frac{\infty}{\infty}$ مكتوبة بصيغة غير معيّنة، طبّق قاعدة لوبيتال. تنص قاعدة لوبيتال على أن نهاية ناتج قسمة الدوال يساوي نهاية ناتج قسمة مشتقاتها.

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{4}}{4^{x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{4}]}{\frac{d}{d x} [4^{x}]}$

خطوة 1.3

أوجِد مشتق بسط الكسر والقاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

أوجِد مشتقة البسط والقاسم.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{4}]}{\frac{d}{d x} [4^{x}]}$

خطوة 1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 4$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x^{3}}{\frac{d}{d x} [4^{x}]}$

خطوة 1.3.3

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ هو $a^{x} \ln (a)$ حيث $a$ = $4$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 x^{3}}{4^{x} \ln (4)}$

خطوة 2

انقُل الحد $\frac{4}{\ln (4)}$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{4}{\ln (4)} lim_{x \to \infty} \frac{x^{3}}{4^{x}}$

خطوة 3

طبّق قاعدة لوبيتال.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

احسِب قيمة حد بسط الكسر وحد القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

خُذ نهاية بسط الكسر ونهاية القاسم.

$\frac{4}{\ln (4)} \cdot \frac{lim_{x \to \infty} x^{3}}{lim_{x \to \infty} 4^{x}}$

خطوة 3.1.2

النهاية عند ما لا نهاية متعدد حدود معامله الرئيسي موجب تساوي ما لا نهاية.

$\frac{4}{\ln (4)} \cdot \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 4^{x}}$

خطوة 3.1.3

بما أن الأُس $x$ يقترب من $\infty$ ، إذن الكمية $4^{x}$ تقترب من $\infty$ .

$\frac{4}{\ln (4)} \cdot \frac{\infty}{\infty}$

خطوة 3.1.4

ناتج قسمة ما لا نهاية على ما لا نهاية يساوي قيمة غير معرّفة.

غير معرّف

$\frac{4}{\ln (4)} \cdot \frac{\infty}{\infty}$

خطوة 3.2

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{3}}{4^{x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{3}]}{\frac{d}{d x} [4^{x}]}$

خطوة 3.3

أوجِد مشتق بسط الكسر والقاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

أوجِد مشتقة البسط والقاسم.

$\frac{4}{\ln (4)} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{3}]}{\frac{d}{d x} [4^{x}]}$

خطوة 3.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$\frac{4}{\ln (4)} lim_{x \to \infty} \frac{3 x^{2}}{\frac{d}{d x} [4^{x}]}$

خطوة 3.3.3

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ هو $a^{x} \ln (a)$ حيث $a$ = $4$ .

$\frac{4}{\ln (4)} lim_{x \to \infty} \frac{3 x^{2}}{4^{x} \ln (4)}$

خطوة 4

انقُل الحد $\frac{3}{\ln (4)}$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{4}{\ln (4)} \cdot \frac{3}{\ln (4)} lim_{x \to \infty} \frac{x^{2}}{4^{x}}$

خطوة 5

طبّق قاعدة لوبيتال.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

احسِب قيمة حد بسط الكسر وحد القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

خُذ نهاية بسط الكسر ونهاية القاسم.

$\frac{4}{\ln (4)} \cdot \frac{3}{\ln (4)} \frac{lim_{x \to \infty} x^{2}}{lim_{x \to \infty} 4^{x}}$

خطوة 5.1.2

النهاية عند ما لا نهاية متعدد حدود معامله الرئيسي موجب تساوي ما لا نهاية.

$\frac{4}{\ln (4)} \cdot \frac{3}{\ln (4)} \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 4^{x}}$

خطوة 5.1.3

بما أن الأُس $x$ يقترب من $\infty$ ، إذن الكمية $4^{x}$ تقترب من $\infty$ .

$\frac{4}{\ln (4)} \cdot \frac{3}{\ln (4)} \frac{\infty}{\infty}$

خطوة 5.1.4

ناتج قسمة ما لا نهاية على ما لا نهاية يساوي قيمة غير معرّفة.

غير معرّف

$\frac{4}{\ln (4)} \cdot \frac{3}{\ln (4)} \frac{\infty}{\infty}$

خطوة 5.2

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{2}}{4^{x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [4^{x}]}$

خطوة 5.3

أوجِد مشتق بسط الكسر والقاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

أوجِد مشتقة البسط والقاسم.

$\frac{4}{\ln (4)} \cdot \frac{3}{\ln (4)} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [4^{x}]}$

خطوة 5.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{4}{\ln (4)} \cdot \frac{3}{\ln (4)} lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [4^{x}]}$

خطوة 5.3.3

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ هو $a^{x} \ln (a)$ حيث $a$ = $4$ .

$\frac{4}{\ln (4)} \cdot \frac{3}{\ln (4)} lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{4^{x} \ln (4)}$

خطوة 6

انقُل الحد $\frac{2}{\ln (4)}$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{4}{\ln (4)} \cdot \frac{3}{\ln (4)} \frac{2}{\ln (4)} lim_{x \to \infty} \frac{x}{4^{x}}$

خطوة 7

طبّق قاعدة لوبيتال.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

احسِب قيمة حد بسط الكسر وحد القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.1

خُذ نهاية بسط الكسر ونهاية القاسم.

$\frac{4}{\ln (4)} \cdot \frac{3}{\ln (4)} \frac{2}{\ln (4)} \frac{lim_{x \to \infty} x}{lim_{x \to \infty} 4^{x}}$

خطوة 7.1.2

النهاية عند ما لا نهاية متعدد حدود معامله الرئيسي موجب تساوي ما لا نهاية.

$\frac{4}{\ln (4)} \cdot \frac{3}{\ln (4)} \frac{2}{\ln (4)} \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 4^{x}}$

خطوة 7.1.3

بما أن الأُس $x$ يقترب من $\infty$ ، إذن الكمية $4^{x}$ تقترب من $\infty$ .

$\frac{4}{\ln (4)} \cdot \frac{3}{\ln (4)} \frac{2}{\ln (4)} \frac{\infty}{\infty}$

خطوة 7.1.4

ناتج قسمة ما لا نهاية على ما لا نهاية يساوي قيمة غير معرّفة.

غير معرّف

$\frac{4}{\ln (4)} \cdot \frac{3}{\ln (4)} \frac{2}{\ln (4)} \frac{\infty}{\infty}$

خطوة 7.2

$lim_{x \to \infty} \frac{x}{4^{x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [4^{x}]}$

خطوة 7.3

أوجِد مشتق بسط الكسر والقاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.1

أوجِد مشتقة البسط والقاسم.

$\frac{4}{\ln (4)} \cdot \frac{3}{\ln (4)} \frac{2}{\ln (4)} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [4^{x}]}$

خطوة 7.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{4}{\ln (4)} \cdot \frac{3}{\ln (4)} \frac{2}{\ln (4)} lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{d}{d x} [4^{x}]}$

خطوة 7.3.3

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ هو $a^{x} \ln (a)$ حيث $a$ = $4$ .

$\frac{4}{\ln (4)} \cdot \frac{3}{\ln (4)} \frac{2}{\ln (4)} lim_{x \to \infty} \frac{1}{4^{x} \ln (4)}$

خطوة 8

انقُل الحد $\frac{1}{\ln (4)}$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{4}{\ln (4)} \cdot \frac{3}{\ln (4)} \frac{2}{\ln (4)} \frac{1}{\ln (4)} lim_{x \to \infty} \frac{1}{4^{x}}$

خطوة 9

بما أن بسط الكسر يقترب من عدد حقيقي بينما يُعد قاسمه غير محدود، إذن الكسر $\frac{1}{4^{x}}$ يقترب من $0$ .

$\frac{4}{\ln (4)} \cdot \frac{3}{\ln (4)} \frac{2}{\ln (4)} \frac{1}{\ln (4)} \cdot 0$

خطوة 10

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

أعِد كتابة $\ln (4)$ بالصيغة $\ln (2^{2})$ .

$\frac{4}{\ln (2^{2})} \cdot \frac{3}{\ln (4)} \frac{2}{\ln (4)} \frac{1}{\ln (4)} \cdot 0$

خطوة 10.2

وسّع $\ln (2^{2})$ بنقل $2$ خارج اللوغاريتم.

$\frac{4}{2 \ln (2)} \cdot \frac{3}{\ln (4)} \frac{2}{\ln (4)} \frac{1}{\ln (4)} \cdot 0$

خطوة 10.3

احذِف العامل المشترك لـ $4$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.3.1

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2 \ln (2)} \cdot \frac{3}{\ln (4)} \frac{2}{\ln (4)} \frac{1}{\ln (4)} \cdot 0$

خطوة 10.3.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.3.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2 \ln (2)$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2 (\ln (2))} \cdot \frac{3}{\ln (4)} \frac{2}{\ln (4)} \frac{1}{\ln (4)} \cdot 0$

خطوة 10.3.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 \cdot 2}{2 \ln (2)} \cdot \frac{3}{\ln (4)} \frac{2}{\ln (4)} \frac{1}{\ln (4)} \cdot 0$

خطوة 10.3.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{2}{\ln (2)} \cdot \frac{3}{\ln (4)} \frac{2}{\ln (4)} \frac{1}{\ln (4)} \cdot 0$

خطوة 10.4

اضرب $\frac{2}{\ln (2)} \cdot \frac{3}{\ln (4)}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.4.1

اضرب $\frac{2}{\ln (2)}$ في $\frac{3}{\ln (4)}$ .

$\frac{2 \cdot 3}{\ln (2) \ln (4)} \cdot \frac{2}{\ln (4)} \frac{1}{\ln (4)} \cdot 0$

خطوة 10.4.2

اضرب $2$ في $3$ .

$\frac{6}{\ln (2) \ln (4)} \cdot \frac{2}{\ln (4)} \frac{1}{\ln (4)} \cdot 0$

خطوة 10.5

أعِد كتابة $\ln (4)$ بالصيغة $\ln (2^{2})$ .

$\frac{6}{\ln (2) \ln (2^{2})} \cdot \frac{2}{\ln (4)} \frac{1}{\ln (4)} \cdot 0$

خطوة 10.6

وسّع $\ln (2^{2})$ بنقل $2$ خارج اللوغاريتم.

$\frac{6}{\ln (2) (2 \ln (2))} \cdot \frac{2}{\ln (4)} \frac{1}{\ln (4)} \cdot 0$

خطوة 10.7

احذِف العامل المشترك لـ $6$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.7.1

أخرِج العامل $2$ من $6$ .

$\frac{2 \cdot 3}{\ln (2) (2 \ln (2))} \cdot \frac{2}{\ln (4)} \frac{1}{\ln (4)} \cdot 0$

خطوة 10.7.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.7.2.1

أخرِج العامل $2$ من $\ln (2) (2 \ln (2))$ .

$\frac{2 \cdot 3}{2 (\ln (2) (\ln (2)))} \cdot \frac{2}{\ln (4)} \frac{1}{\ln (4)} \cdot 0$

خطوة 10.7.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 \cdot 3}{2 (\ln (2) (\ln (2)))} \cdot \frac{2}{\ln (4)} \frac{1}{\ln (4)} \cdot 0$

خطوة 10.7.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{3}{\ln (2) (\ln (2))} \cdot \frac{2}{\ln (4)} \frac{1}{\ln (4)} \cdot 0$

خطوة 10.8

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.8.1

ارفع $\ln (2)$ إلى القوة $1$ .

$\frac{3}{\ln^{1} (2) \ln (2)} \cdot \frac{2}{\ln (4)} \frac{1}{\ln (4)} \cdot 0$

خطوة 10.8.2

ارفع $\ln (2)$ إلى القوة $1$ .

$\frac{3}{\ln^{1} (2) \ln^{1} (2)} \cdot \frac{2}{\ln (4)} \frac{1}{\ln (4)} \cdot 0$

خطوة 10.8.3

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{3}{{\ln (2)}^{1 + 1}} \cdot \frac{2}{\ln (4)} \frac{1}{\ln (4)} \cdot 0$

خطوة 10.8.4

أضف $1$ و $1$ .

$\frac{3}{\ln^{2} (2)} \cdot \frac{2}{\ln (4)} \frac{1}{\ln (4)} \cdot 0$

خطوة 10.9

اجمع.

$\frac{3 \cdot 2}{\ln^{2} (2) \ln (4)} \cdot \frac{1}{\ln (4)} \cdot 0$

خطوة 10.10

اجمع.

$\frac{3 \cdot 2 \cdot 1}{\ln^{2} (2) \ln (4) \ln (4)} \cdot 0$

خطوة 10.11

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.11.1

اضرب $3$ في $2$ .

$\frac{6 \cdot 1}{\ln^{2} (2) \ln (4) \ln (4)} \cdot 0$

خطوة 10.11.2

اضرب $6$ في $1$ .

$\frac{6}{\ln^{2} (2) \ln (4) \ln (4)} \cdot 0$

خطوة 10.12

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.12.1

ارفع $\ln (4)$ إلى القوة $1$ .

$\frac{6}{\ln^{2} (2) (\ln^{1} (4) \ln (4))} \cdot 0$

خطوة 10.12.2

ارفع $\ln (4)$ إلى القوة $1$ .

$\frac{6}{\ln^{2} (2) (\ln^{1} (4) \ln^{1} (4))} \cdot 0$

خطوة 10.12.3

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{6}{\ln^{2} (2) {\ln (4)}^{1 + 1}} \cdot 0$

خطوة 10.12.4

أضف $1$ و $1$ .

$\frac{6}{\ln^{2} (2) \ln^{2} (4)} \cdot 0$

خطوة 10.13

اضرب $\frac{6}{\ln^{2} (2) \ln^{2} (4)}$ في $0$ .

$0$