حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$x^{2} y + y x^{2} = 6$

خطوة 1

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d y} (x^{2} y + y x^{2}) = \frac{d}{d y} (6)$

خطوة 2

أوجِد مشتقة المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} y + y x^{2}$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{d}{d y} [x^{2} y] + \frac{d}{d y} [y x^{2}]$ .

$\frac{d}{d y} [x^{2} y] + \frac{d}{d y} [y x^{2}]$

خطوة 2.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d y} [x^{2} y]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ هو $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ حيث $f (y) = x^{2}$ و $g (y) = y$ .

$x^{2} \frac{d}{d y} [y] + y \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y x^{2}]$

خطوة 2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$x^{2} \cdot 1 + y \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y x^{2}]$

خطوة 2.2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ هو $f' (g (y)) g' (y)$ حيث $f (y) = y^{2}$ و $g (y) = x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $x$ .

$x^{2} \cdot 1 + y (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [y x^{2}]$

خطوة 2.2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ هو $n {u_{1}}^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$x^{2} \cdot 1 + y (2 u_{1} \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [y x^{2}]$

خطوة 2.2.3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $x$ .

$x^{2} \cdot 1 + y (2 x \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [y x^{2}]$

خطوة 2.2.4

أعِد كتابة $\frac{d}{d y} [x]$ بالصيغة $x'$ .

$x^{2} \cdot 1 + y (2 x x') + \frac{d}{d y} [y x^{2}]$

خطوة 2.2.5

اضرب $x^{2}$ في $1$ .

$x^{2} + y (2 x x') + \frac{d}{d y} [y x^{2}]$

خطوة 2.2.6

انقُل $2$ إلى يسار $y$ .

$x^{2} + 2 y x x' + \frac{d}{d y} [y x^{2}]$

خطوة 2.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d y} [y x^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ هو $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ حيث $f (y) = y$ و $g (y) = x^{2}$ .

$x^{2} + 2 y x x' + y \frac{d}{d y} [x^{2}] + x^{2} \frac{d}{d y} [y]$

خطوة 2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ هو $f' (g (y)) g' (y)$ حيث $f (y) = y^{2}$ و $g (y) = x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{2}$ لتصبح $x$ .

$x^{2} + 2 y x x' + y (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d y} [x]) + x^{2} \frac{d}{d y} [y]$

خطوة 2.3.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ هو $n {u_{2}}^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$x^{2} + 2 y x x' + y (2 u_{2} \frac{d}{d y} [x]) + x^{2} \frac{d}{d y} [y]$

خطوة 2.3.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $x$ .

$x^{2} + 2 y x x' + y (2 x \frac{d}{d y} [x]) + x^{2} \frac{d}{d y} [y]$

خطوة 2.3.3

أعِد كتابة $\frac{d}{d y} [x]$ بالصيغة $x'$ .

$x^{2} + 2 y x x' + y (2 x x') + x^{2} \frac{d}{d y} [y]$

خطوة 2.3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$x^{2} + 2 y x x' + y (2 x x') + x^{2} \cdot 1$

خطوة 2.3.5

انقُل $2$ إلى يسار $y$ .

$x^{2} + 2 y x x' + 2 \cdot y x x' + x^{2} \cdot 1$

خطوة 2.3.6

اضرب $x^{2}$ في $1$ .

$x^{2} + 2 y x x' + 2 y x x' + x^{2}$

خطوة 2.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1.1

أضف $2 y x x'$ و $2 y x x'$ .

$x^{2} + 4 y x x' + x^{2}$

خطوة 2.4.1.2

أضف $x^{2}$ و $x^{2}$ .

$2 x^{2} + 4 y x x'$

خطوة 2.4.2

أعِد ترتيب الحدود.

$2 x^{2} + 4 x y x'$

خطوة 3

بما أن $6$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، فإن مشتق $6$ بالنسبة إلى $y$ هو $0$ .

$0$

خطوة 4

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$2 x^{2} + 4 x y x' = 0$

خطوة 5

أوجِد قيمة $x'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

اطرح $2 x^{2}$ من كلا المتعادلين.

$4 x y x' = - 2 x^{2}$

خطوة 5.2

اقسِم كل حد في $4 x y x' = - 2 x^{2}$ على $4 x y$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

اقسِم كل حد في $4 x y x' = - 2 x^{2}$ على $4 x y$ .

$\frac{4 x y x'}{4 x y} = \frac{- 2 x^{2}}{4 x y}$

خطوة 5.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{4 x y x'}{4 x y} = \frac{- 2 x^{2}}{4 x y}$

خطوة 5.2.2.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{x y x'}{x y} = \frac{- 2 x^{2}}{4 x y}$

خطوة 5.2.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{x y x'}{x y} = \frac{- 2 x^{2}}{4 x y}$

خطوة 5.2.2.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{y x'}{y} = \frac{- 2 x^{2}}{4 x y}$

خطوة 5.2.2.3

ألغِ العامل المشترك لـ $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y x'}{y} = \frac{- 2 x^{2}}{4 x y}$

خطوة 5.2.2.3.2

اقسِم $x'$ على $1$ .

$x' = \frac{- 2 x^{2}}{4 x y}$

خطوة 5.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.3.1

احذِف العامل المشترك لـ $- 2$ و $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.3.1.1

أخرِج العامل $2$ من $- 2 x^{2}$ .

$x' = \frac{2 (- x^{2})}{4 x y}$

خطوة 5.2.3.1.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.3.1.2.1

أخرِج العامل $2$ من $4 x y$ .

$x' = \frac{2 (- x^{2})}{2 (2 x y)}$

خطوة 5.2.3.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$x' = \frac{2 (- x^{2})}{2 (2 x y)}$

خطوة 5.2.3.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$x' = \frac{- x^{2}}{2 x y}$

خطوة 5.2.3.2

احذِف العامل المشترك لـ $x^{2}$ و $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.3.2.1

أخرِج العامل $x$ من $- x^{2}$ .

$x' = \frac{x (- x)}{2 x y}$

خطوة 5.2.3.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.3.2.2.1

أخرِج العامل $x$ من $2 x y$ .

$x' = \frac{x (- x)}{x (2 y)}$

خطوة 5.2.3.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$x' = \frac{x (- x)}{x (2 y)}$

خطوة 5.2.3.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$x' = \frac{- x}{2 y}$

خطوة 5.2.3.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$x' = - \frac{x}{2 y}$

خطوة 6

استبدِل $x'$ بـ $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = - \frac{x}{2 y}$