حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = 2 x^{3} - 3 x^{2} - 36 x + 5$

خطوة 1

أوجِد نقاط التقاطع مع المحور السيني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

لإيجاد نقطة (نقاط) التقاطع مع المحور السيني، عوّض بـ $0$ عن $y$ وأوجِد قيمة $x$ .

$0 = 2 x^{3} - 3 x^{2} - 36 x + 5$

خطوة 1.2

أوجِد حل المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $2 x^{3} - 3 x^{2} - 36 x + 5 = 0$ .

$2 x^{3} - 3 x^{2} - 36 x + 5 = 0$

خطوة 1.2.2

حلّل $2 x^{3} - 3 x^{2} - 36 x + 5$ إلى عوامل باستخدام اختبار الجذور النسبية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.1

إذا كانت دالة متعددة الحدود لها معاملات عدد صحيح، فإن كل صفر نسبي سيكون بالصيغة $\frac{p}{q}$ والتي تكون فيها $p$ هي عامل الثابت و $q$ هي عامل المعامل الرئيسي.

$p = \pm 1, \pm 5$

$q = \pm 1, \pm 2$

خطوة 1.2.2.2

أوجِد كل تركيبة من تركيبات $\pm \frac{p}{q}$ . هذه هي الجذور المحتملة للدالة متعددة الحدود.

$\pm 1, \pm 0.5, \pm 5, \pm 2.5$

خطوة 1.2.2.3

عوّض بـ $5$ وبسّط العبارة. في هذه الحالة، العبارة تساوي $0$ ، إذن $5$ هو جذر متعدد الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.3.1

عوّض بـ $5$ في متعدد الحدود.

$2 \cdot 5^{3} - 3 \cdot 5^{2} - 36 \cdot 5 + 5$

خطوة 1.2.2.3.2

ارفع $5$ إلى القوة $3$ .

$2 \cdot 125 - 3 \cdot 5^{2} - 36 \cdot 5 + 5$

خطوة 1.2.2.3.3

اضرب $2$ في $125$ .

$250 - 3 \cdot 5^{2} - 36 \cdot 5 + 5$

خطوة 1.2.2.3.4

ارفع $5$ إلى القوة $2$ .

$250 - 3 \cdot 25 - 36 \cdot 5 + 5$

خطوة 1.2.2.3.5

اضرب $- 3$ في $25$ .

$250 - 75 - 36 \cdot 5 + 5$

خطوة 1.2.2.3.6

اطرح $75$ من $250$ .

$175 - 36 \cdot 5 + 5$

خطوة 1.2.2.3.7

اضرب $- 36$ في $5$ .

$175 - 180 + 5$

خطوة 1.2.2.3.8

اطرح $180$ من $175$ .

$- 5 + 5$

خطوة 1.2.2.3.9

أضف $- 5$ و $5$ .

$0$

خطوة 1.2.2.4

بما أن $5$ جذر معروف، اقسِم متعدد الحدود على $x - 5$ لإيجاد ناتج قسمة متعدد الحدود. ويمكن بعد ذلك استخدام متعدد الحدود لإيجاد الجذور المتبقية.

$\frac{2 x^{3} - 3 x^{2} - 36 x + 5}{x - 5}$

خطوة 1.2.2.5

اقسِم $2 x^{3} - 3 x^{2} - 36 x + 5$ على $x - 5$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.5.1

عيّن متعددات الحدود التي ستتم قسمتها. وفي حالة عدم وجود حد لكل أُس، أدخل حدًا واحدًا بقيمة $0$ .

$x$

$5$

$2 x^{3}$

$3 x^{2}$

$36 x$

$5$

خطوة 1.2.2.5.2

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $2 x^{3}$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $x$ .

					$2 x^{2}$
	$x$	-	$5$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$36 x$	+	$5$

خطوة 1.2.2.5.3

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

				$2 x^{2}$
$x$	-	$5$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$36 x$	+	$5$
			+	$2 x^{3}$	-	$10 x^{2}$

خطوة 1.2.2.5.4

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $2 x^{3} - 10 x^{2}$

				$2 x^{2}$
$x$	-	$5$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$36 x$	+	$5$
			-	$2 x^{3}$	+	$10 x^{2}$

خطوة 1.2.2.5.5

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

				$2 x^{2}$
$x$	-	$5$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$36 x$	+	$5$
			-	$2 x^{3}$	+	$10 x^{2}$
					+	$7 x^{2}$

خطوة 1.2.2.5.6

أخرِج الحدود التالية من المقسوم الأصلي لأسفل نحو المقسوم الحالي.

				$2 x^{2}$
$x$	-	$5$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$36 x$	+	$5$
			-	$2 x^{3}$	+	$10 x^{2}$
					+	$7 x^{2}$	-	$36 x$

خطوة 1.2.2.5.7

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $7 x^{2}$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $x$ .

				$2 x^{2}$	+	$7 x$
$x$	-	$5$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$36 x$	+	$5$
			-	$2 x^{3}$	+	$10 x^{2}$
					+	$7 x^{2}$	-	$36 x$

خطوة 1.2.2.5.8

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

				$2 x^{2}$	+	$7 x$
$x$	-	$5$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$36 x$	+	$5$
			-	$2 x^{3}$	+	$10 x^{2}$
					+	$7 x^{2}$	-	$36 x$
					+	$7 x^{2}$	-	$35 x$

خطوة 1.2.2.5.9

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $7 x^{2} - 35 x$

				$2 x^{2}$	+	$7 x$
$x$	-	$5$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$36 x$	+	$5$
			-	$2 x^{3}$	+	$10 x^{2}$
					+	$7 x^{2}$	-	$36 x$
					-	$7 x^{2}$	+	$35 x$

خطوة 1.2.2.5.10

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

				$2 x^{2}$	+	$7 x$
$x$	-	$5$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$36 x$	+	$5$
			-	$2 x^{3}$	+	$10 x^{2}$
					+	$7 x^{2}$	-	$36 x$
					-	$7 x^{2}$	+	$35 x$
							-	$x$

خطوة 1.2.2.5.11

أخرِج الحدود التالية من المقسوم الأصلي لأسفل نحو المقسوم الحالي.

				$2 x^{2}$	+	$7 x$
$x$	-	$5$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$36 x$	+	$5$
			-	$2 x^{3}$	+	$10 x^{2}$
					+	$7 x^{2}$	-	$36 x$
					-	$7 x^{2}$	+	$35 x$
							-	$x$	+	$5$

خطوة 1.2.2.5.12

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $- x$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $x$ .

				$2 x^{2}$	+	$7 x$	-	$1$
$x$	-	$5$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$36 x$	+	$5$
			-	$2 x^{3}$	+	$10 x^{2}$
					+	$7 x^{2}$	-	$36 x$
					-	$7 x^{2}$	+	$35 x$
							-	$x$	+	$5$

خطوة 1.2.2.5.13

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

				$2 x^{2}$	+	$7 x$	-	$1$
$x$	-	$5$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$36 x$	+	$5$
			-	$2 x^{3}$	+	$10 x^{2}$
					+	$7 x^{2}$	-	$36 x$
					-	$7 x^{2}$	+	$35 x$
							-	$x$	+	$5$
							-	$x$	+	$5$

خطوة 1.2.2.5.14

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $- x + 5$

				$2 x^{2}$	+	$7 x$	-	$1$
$x$	-	$5$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$36 x$	+	$5$
			-	$2 x^{3}$	+	$10 x^{2}$
					+	$7 x^{2}$	-	$36 x$
					-	$7 x^{2}$	+	$35 x$
							-	$x$	+	$5$
							+	$x$	-	$5$

خطوة 1.2.2.5.15

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

				$2 x^{2}$	+	$7 x$	-	$1$
$x$	-	$5$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$36 x$	+	$5$
			-	$2 x^{3}$	+	$10 x^{2}$
					+	$7 x^{2}$	-	$36 x$
					-	$7 x^{2}$	+	$35 x$
							-	$x$	+	$5$
							+	$x$	-	$5$
										$0$

خطوة 1.2.2.5.16

بما أن الباقي يساوي $0$ ، إذن الإجابة النهائية هي ناتج القسمة.

$2 x^{2} + 7 x - 1$

خطوة 1.2.2.6

اكتب $2 x^{3} - 3 x^{2} - 36 x + 5$ في صورة مجموعة من العوامل.

$(x - 5) (2 x^{2} + 7 x - 1) = 0$

خطوة 1.2.3

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$x - 5 = 0$

$2 x^{2} + 7 x - 1 = 0$

خطوة 1.2.4

عيّن قيمة العبارة $x - 5$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.4.1

عيّن قيمة $x - 5$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x - 5 = 0$

خطوة 1.2.4.2

أضف $5$ إلى كلا المتعادلين.

$x = 5$

خطوة 1.2.5

عيّن قيمة العبارة $2 x^{2} + 7 x - 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.5.1

عيّن قيمة $2 x^{2} + 7 x - 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$2 x^{2} + 7 x - 1 = 0$

خطوة 1.2.5.2

أوجِد قيمة $x$ في $2 x^{2} + 7 x - 1 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.5.2.1

استخدِم الصيغة التربيعية لإيجاد الحلول.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

خطوة 1.2.5.2.2

عوّض بقيم $a = 2$ و $b = 7$ و $c = - 1$ في الصيغة التربيعية وأوجِد قيمة $x$ .

$\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot (2 \cdot - 1)}}{2 \cdot 2}$

خطوة 1.2.5.2.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.5.2.3.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.5.2.3.1.1

ارفع $7$ إلى القوة $2$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 4 \cdot 2 \cdot - 1}}{2 \cdot 2}$

خطوة 1.2.5.2.3.1.2

اضرب $- 4 \cdot 2 \cdot - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.5.2.3.1.2.1

اضرب $- 4$ في $2$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 8 \cdot - 1}}{2 \cdot 2}$

خطوة 1.2.5.2.3.1.2.2

اضرب $- 8$ في $- 1$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 + 8}}{2 \cdot 2}$

خطوة 1.2.5.2.3.1.3

أضف $49$ و $8$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{57}}{2 \cdot 2}$

خطوة 1.2.5.2.3.2

اضرب $2$ في $2$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{57}}{4}$

خطوة 1.2.5.2.4

بسّط العبارة لإيجاد قيمة الجزء $+$ من $\pm$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.5.2.4.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.5.2.4.1.1

ارفع $7$ إلى القوة $2$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 4 \cdot 2 \cdot - 1}}{2 \cdot 2}$

خطوة 1.2.5.2.4.1.2

اضرب $- 4 \cdot 2 \cdot - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.5.2.4.1.2.1

اضرب $- 4$ في $2$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 8 \cdot - 1}}{2 \cdot 2}$

خطوة 1.2.5.2.4.1.2.2

اضرب $- 8$ في $- 1$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 + 8}}{2 \cdot 2}$

خطوة 1.2.5.2.4.1.3

أضف $49$ و $8$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{57}}{2 \cdot 2}$

خطوة 1.2.5.2.4.2

اضرب $2$ في $2$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{57}}{4}$

خطوة 1.2.5.2.4.3

غيّر $\pm$ إلى $+$ .

$x = \frac{- 7 + \sqrt{57}}{4}$

خطوة 1.2.5.2.4.4

أعِد كتابة $- 7$ بالصيغة $- 1 (7)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 7 + \sqrt{57}}{4}$

خطوة 1.2.5.2.4.5

أخرِج العامل $- 1$ من $\sqrt{57}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 7 - 1 (- \sqrt{57})}{4}$

خطوة 1.2.5.2.4.6

أخرِج العامل $- 1$ من $- 1 (7) - 1 (- \sqrt{57})$ .

$x = \frac{- 1 (7 - \sqrt{57})}{4}$

خطوة 1.2.5.2.4.7

انقُل السالب أمام الكسر.

$x = - \frac{7 - \sqrt{57}}{4}$

خطوة 1.2.5.2.5

بسّط العبارة لإيجاد قيمة الجزء $-$ من $\pm$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.5.2.5.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.5.2.5.1.1

ارفع $7$ إلى القوة $2$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 4 \cdot 2 \cdot - 1}}{2 \cdot 2}$

خطوة 1.2.5.2.5.1.2

اضرب $- 4 \cdot 2 \cdot - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.5.2.5.1.2.1

اضرب $- 4$ في $2$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 8 \cdot - 1}}{2 \cdot 2}$

خطوة 1.2.5.2.5.1.2.2

اضرب $- 8$ في $- 1$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 + 8}}{2 \cdot 2}$

خطوة 1.2.5.2.5.1.3

أضف $49$ و $8$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{57}}{2 \cdot 2}$

خطوة 1.2.5.2.5.2

اضرب $2$ في $2$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{57}}{4}$

خطوة 1.2.5.2.5.3

غيّر $\pm$ إلى $-$ .

$x = \frac{- 7 - \sqrt{57}}{4}$

خطوة 1.2.5.2.5.4

أعِد كتابة $- 7$ بالصيغة $- 1 (7)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 7 - \sqrt{57}}{4}$

خطوة 1.2.5.2.5.5

أخرِج العامل $- 1$ من $- \sqrt{57}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 7 - (\sqrt{57})}{4}$

خطوة 1.2.5.2.5.6

أخرِج العامل $- 1$ من $- 1 (7) - (\sqrt{57})$ .

$x = \frac{- 1 (7 + \sqrt{57})}{4}$

خطوة 1.2.5.2.5.7

انقُل السالب أمام الكسر.

$x = - \frac{7 + \sqrt{57}}{4}$

خطوة 1.2.5.2.6

الإجابة النهائية هي تركيبة من كلا الحلّين.

$x = - \frac{7 - \sqrt{57}}{4}, - \frac{7 + \sqrt{57}}{4}$

خطوة 1.2.6

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $(x - 5) (2 x^{2} + 7 x - 1) = 0$ صحيحة.

$x = 5, - \frac{7 - \sqrt{57}}{4}, - \frac{7 + \sqrt{57}}{4}$

خطوة 1.3

نقطة (نقاط) التقاطع مع المحور السيني بصيغة النقطة.

نقطة (نقاط) التقاطع مع المحور السيني: $(5, 0), (- \frac{7 - \sqrt{57}}{4}, 0), (- \frac{7 + \sqrt{57}}{4}, 0)$

خطوة 2

أوجِد نقاط التقاطع مع المحور الصادي.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

لإيجاد نقطة (نقاط) التقاطع مع المحور الصادي، عوّض بـ $0$ عن $x$ وأوجِد قيمة $y$ .

$y = 2 {(0)}^{3} - 3 {(0)}^{2} - 36 \cdot 0 + 5$

خطوة 2.2

أوجِد حل المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

احذِف الأقواس.

$y = 2 \cdot 0^{3} - 3 {(0)}^{2} - 36 \cdot 0 + 5$

خطوة 2.2.2

احذِف الأقواس.

$y = 2 \cdot 0^{3} - 3 \cdot 0^{2} - 36 \cdot 0 + 5$

خطوة 2.2.3

احذِف الأقواس.

$y = 2 {(0)}^{3} - 3 {(0)}^{2} - 36 \cdot 0 + 5$

خطوة 2.2.4

بسّط $2 {(0)}^{3} - 3 {(0)}^{2} - 36 \cdot 0 + 5$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.4.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.4.1.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$y = 2 \cdot 0 - 3 {(0)}^{2} - 36 \cdot 0 + 5$

خطوة 2.2.4.1.2

اضرب $2$ في $0$ .

$y = 0 - 3 {(0)}^{2} - 36 \cdot 0 + 5$

خطوة 2.2.4.1.3

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$y = 0 - 3 \cdot 0 - 36 \cdot 0 + 5$

خطوة 2.2.4.1.4

اضرب $- 3$ في $0$ .

$y = 0 + 0 - 36 \cdot 0 + 5$

خطوة 2.2.4.1.5

اضرب $- 36$ في $0$ .

$y = 0 + 0 + 0 + 5$

خطوة 2.2.4.2

بسّط بجمع الأعداد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.4.2.1

أضف $0$ و $0$ .

$y = 0 + 0 + 5$

خطوة 2.2.4.2.2

أضف $0$ و $0$ .

$y = 0 + 5$

خطوة 2.2.4.2.3

أضف $0$ و $5$ .

$y = 5$

خطوة 2.3

نقطة (نقاط) التقاطع مع المحور الصادي بصيغة النقطة.

نقطة (نقاط) التقاطع مع المحور الصادي: $(0, 5)$

خطوة 3

اسرِد التقاطعات.

نقطة (نقاط) التقاطع مع المحور السيني: $(5, 0), (- \frac{7 - \sqrt{57}}{4}, 0), (- \frac{7 + \sqrt{57}}{4}, 0)$

نقطة (نقاط) التقاطع مع المحور الصادي: $(0, 5)$

خطوة 4