حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{4 f^{2} P}{1 - f^{2}} = K$

خطوة 1

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d P} (\frac{4 f^{2} P}{1 - f^{2}}) = \frac{d}{d P} (K)$

خطوة 2

أوجِد مشتقة المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $1^{2}$ .

$\frac{d}{d P} [\frac{4 f^{2} P}{1^{2} - f^{2}}]$

خطوة 2.1.2

بما أن كلا الحدّين هما مربعان كاملان، حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة الفرق بين مربعين، $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ حيث $a = 1$ و $b = f$ .

$\frac{d}{d P} [\frac{4 f^{2} P}{(1 + f) (1 - f)}]$

خطوة 2.2

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $P$ ، إذن مشتق $\frac{4 f^{2} P}{(1 + f) (1 - f)}$ بالنسبة إلى $P$ يساوي $4 \frac{d}{d P} [\frac{f^{2} P}{(1 + f) (1 - f)}]$ .

$4 \frac{d}{d P} [\frac{f^{2} P}{(1 + f) (1 - f)}]$

خطوة 2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d P} [\frac{f (P)}{g (P)}]$ هو $\frac{g (P) \frac{d}{d P} [f (P)] - f (P) \frac{d}{d P} [g (P)]}{{g (P)}^{2}}$ حيث $f (P) = f^{2} P$ و $g (P) = (1 + f) (1 - f)$ .

$4 \frac{(1 + f) (1 - f) \frac{d}{d P} [f^{2} P] - f^{2} P \frac{d}{d P} [(1 + f) (1 - f)]}{{((1 + f) (1 - f))}^{2}}$

خطوة 2.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d P} [f (P) g (P)]$ هو $f (P) \frac{d}{d P} [g (P)] + g (P) \frac{d}{d P} [f (P)]$ حيث $f (P) = f^{2}$ و $g (P) = P$ .

$4 \frac{(1 + f) (1 - f) (f^{2} \frac{d}{d P} [P] + P \frac{d}{d P} [f^{2}]) - f^{2} P \frac{d}{d P} [(1 + f) (1 - f)]}{{((1 + f) (1 - f))}^{2}}$

خطوة 2.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d P} [P^{n}]$ هو $n P^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$4 \frac{(1 + f) (1 - f) (f^{2} \cdot 1 + P \frac{d}{d P} [f^{2}]) - f^{2} P \frac{d}{d P} [(1 + f) (1 - f)]}{{((1 + f) (1 - f))}^{2}}$

خطوة 2.5.2

اضرب $f^{2}$ في $1$ .

$4 \frac{(1 + f) (1 - f) (f^{2} + P \frac{d}{d P} [f^{2}]) - f^{2} P \frac{d}{d P} [(1 + f) (1 - f)]}{{((1 + f) (1 - f))}^{2}}$

خطوة 2.6

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d P} [f (g (P))]$ هو $f' (g (P)) g' (P)$ حيث $f (P) = P^{2}$ و $g (P) = f$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $f$ .

$4 \frac{(1 + f) (1 - f) (f^{2} + P (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d P} [f])) - f^{2} P \frac{d}{d P} [(1 + f) (1 - f)]}{{((1 + f) (1 - f))}^{2}}$

خطوة 2.6.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$4 \frac{(1 + f) (1 - f) (f^{2} + P (2 u \frac{d}{d P} [f])) - f^{2} P \frac{d}{d P} [(1 + f) (1 - f)]}{{((1 + f) (1 - f))}^{2}}$

خطوة 2.6.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $f$ .

$4 \frac{(1 + f) (1 - f) (f^{2} + P (2 f \frac{d}{d P} [f])) - f^{2} P \frac{d}{d P} [(1 + f) (1 - f)]}{{((1 + f) (1 - f))}^{2}}$

خطوة 2.7

انقُل $2$ إلى يسار $P$ .

$4 \frac{(1 + f) (1 - f) (f^{2} + 2 \cdot P f \frac{d}{d P} [f]) - f^{2} P \frac{d}{d P} [(1 + f) (1 - f)]}{{((1 + f) (1 - f))}^{2}}$

خطوة 2.8

أعِد كتابة $\frac{d}{d P} [f]$ بالصيغة $f'$ .

$4 \frac{(1 + f) (1 - f) (f^{2} + 2 P f f') - f^{2} P \frac{d}{d P} [(1 + f) (1 - f)]}{{((1 + f) (1 - f))}^{2}}$

خطوة 2.9

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d P} [f (P) g (P)]$ هو $f (P) \frac{d}{d P} [g (P)] + g (P) \frac{d}{d P} [f (P)]$ حيث $f (P) = 1 + f$ و $g (P) = 1 - f$ .

$4 \frac{(1 + f) (1 - f) (f^{2} + 2 P f f') - f^{2} P ((1 + f) \frac{d}{d P} [1 - f] + (1 - f) \frac{d}{d P} [1 + f])}{{((1 + f) (1 - f))}^{2}}$

خطوة 2.10

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.10.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $1 - f$ بالنسبة إلى $P$ هو $\frac{d}{d P} [1] + \frac{d}{d P} [- f]$ .

$4 \frac{(1 + f) (1 - f) (f^{2} + 2 P f f') - f^{2} P ((1 + f) (\frac{d}{d P} [1] + \frac{d}{d P} [- f]) + (1 - f) \frac{d}{d P} [1 + f])}{{((1 + f) (1 - f))}^{2}}$

خطوة 2.10.2

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $P$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $P$ هو $0$ .

$4 \frac{(1 + f) (1 - f) (f^{2} + 2 P f f') - f^{2} P ((1 + f) (0 + \frac{d}{d P} [- f]) + (1 - f) \frac{d}{d P} [1 + f])}{{((1 + f) (1 - f))}^{2}}$

خطوة 2.10.3

أضف $0$ و $\frac{d}{d P} [- f]$ .

$4 \frac{(1 + f) (1 - f) (f^{2} + 2 P f f') - f^{2} P ((1 + f) \frac{d}{d P} [- f] + (1 - f) \frac{d}{d P} [1 + f])}{{((1 + f) (1 - f))}^{2}}$

خطوة 2.10.4

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $P$ ، إذن مشتق $- f$ بالنسبة إلى $P$ يساوي $- \frac{d}{d P} [f]$ .

$4 \frac{(1 + f) (1 - f) (f^{2} + 2 P f f') - f^{2} P ((1 + f) (- \frac{d}{d P} [f]) + (1 - f) \frac{d}{d P} [1 + f])}{{((1 + f) (1 - f))}^{2}}$

خطوة 2.11

أعِد كتابة $\frac{d}{d P} [f]$ بالصيغة $f'$ .

$4 \frac{(1 + f) (1 - f) (f^{2} + 2 P f f') - f^{2} P ((1 + f) (- f') + (1 - f) \frac{d}{d P} [1 + f])}{{((1 + f) (1 - f))}^{2}}$

خطوة 2.12

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $1 + f$ بالنسبة إلى $P$ هو $\frac{d}{d P} [1] + \frac{d}{d P} [f]$ .

$4 \frac{(1 + f) (1 - f) (f^{2} + 2 P f f') - f^{2} P ((1 + f) (- f') + (1 - f) (\frac{d}{d P} [1] + \frac{d}{d P} [f]))}{{((1 + f) (1 - f))}^{2}}$

خطوة 2.13

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $P$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $P$ هو $0$ .

$4 \frac{(1 + f) (1 - f) (f^{2} + 2 P f f') - f^{2} P ((1 + f) (- f') + (1 - f) (0 + \frac{d}{d P} [f]))}{{((1 + f) (1 - f))}^{2}}$

خطوة 2.14

أضف $0$ و $\frac{d}{d P} [f]$ .

$4 \frac{(1 + f) (1 - f) (f^{2} + 2 P f f') - f^{2} P ((1 + f) (- f') + (1 - f) \frac{d}{d P} [f])}{{((1 + f) (1 - f))}^{2}}$

خطوة 2.15

أعِد كتابة $\frac{d}{d P} [f]$ بالصيغة $f'$ .

$4 \frac{(1 + f) (1 - f) (f^{2} + 2 P f f') - f^{2} P ((1 + f) (- f') + (1 - f) f')}{{((1 + f) (1 - f))}^{2}}$

خطوة 2.16

اجمع $4$ و $\frac{(1 + f) (1 - f) (f^{2} + 2 P f f') - f^{2} P ((1 + f) (- f') + (1 - f) f')}{{((1 + f) (1 - f))}^{2}}$ .

$\frac{4 ((1 + f) (1 - f) (f^{2} + 2 P f f') - f^{2} P ((1 + f) (- f') + (1 - f) f'))}{{((1 + f) (1 - f))}^{2}}$

خطوة 2.17

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.17.1

طبّق قاعدة الضرب على $(1 + f) (1 - f)$ .

$\frac{4 ((1 + f) (1 - f) (f^{2} + 2 P f f') - f^{2} P ((1 + f) (- f') + (1 - f) f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

خطوة 2.17.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{4 ((1 + f) (1 - f) (f^{2} + 2 P f f') - f^{2} P (1 (- f') + f (- f') + (1 - f) f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

خطوة 2.17.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{4 ((1 + f) (1 - f) (f^{2} + 2 P f f') - f^{2} P (1 (- f') + f (- f') + 1 f' - f f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

خطوة 2.17.4

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{4 ((1 + f) (1 - f) (f^{2} + 2 P f f') - f^{2} P (1 (- f')) - f^{2} P (f (- f')) - f^{2} P (1 f') - f^{2} P (- f f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

خطوة 2.17.5

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{4 ((1 + f) (1 - f) (f^{2} + 2 P f f')) + 4 (- f^{2} P (1 (- f'))) + 4 (- f^{2} P (f (- f'))) + 4 (- f^{2} P (1 f')) + 4 (- f^{2} P (- f f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

خطوة 2.17.6

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.17.6.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.17.6.1.1

وسّع $(1 + f) (1 - f)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.17.6.1.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{4 ((1 (1 - f) + f (1 - f)) (f^{2} + 2 P f f')) + 4 (- f^{2} P (1 (- f'))) + 4 (- f^{2} P (f (- f'))) + 4 (- f^{2} P (1 f')) + 4 (- f^{2} P (- f f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

خطوة 2.17.6.1.1.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{4 ((1 \cdot 1 + 1 (- f) + f (1 - f)) (f^{2} + 2 P f f')) + 4 (- f^{2} P (1 (- f'))) + 4 (- f^{2} P (f (- f'))) + 4 (- f^{2} P (1 f')) + 4 (- f^{2} P (- f f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

خطوة 2.17.6.1.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{4 ((1 \cdot 1 + 1 (- f) + f \cdot 1 + f (- f)) (f^{2} + 2 P f f')) + 4 (- f^{2} P (1 (- f'))) + 4 (- f^{2} P (f (- f'))) + 4 (- f^{2} P (1 f')) + 4 (- f^{2} P (- f f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

خطوة 2.17.6.1.2

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.17.6.1.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.17.6.1.2.1.1

اضرب $1$ في $1$ .

$\frac{4 ((1 + 1 (- f) + f \cdot 1 + f (- f)) (f^{2} + 2 P f f')) + 4 (- f^{2} P (1 (- f'))) + 4 (- f^{2} P (f (- f'))) + 4 (- f^{2} P (1 f')) + 4 (- f^{2} P (- f f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

خطوة 2.17.6.1.2.1.2

اضرب $- f$ في $1$ .

$\frac{4 ((1 - f + f \cdot 1 + f (- f)) (f^{2} + 2 P f f')) + 4 (- f^{2} P (1 (- f'))) + 4 (- f^{2} P (f (- f'))) + 4 (- f^{2} P (1 f')) + 4 (- f^{2} P (- f f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

خطوة 2.17.6.1.2.1.3

اضرب $f$ في $1$ .

$\frac{4 ((1 - f + f + f (- f)) (f^{2} + 2 P f f')) + 4 (- f^{2} P (1 (- f'))) + 4 (- f^{2} P (f (- f'))) + 4 (- f^{2} P (1 f')) + 4 (- f^{2} P (- f f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

خطوة 2.17.6.1.2.1.4

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\frac{4 ((1 - f + f - f \cdot f) (f^{2} + 2 P f f')) + 4 (- f^{2} P (1 (- f'))) + 4 (- f^{2} P (f (- f'))) + 4 (- f^{2} P (1 f')) + 4 (- f^{2} P (- f f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

خطوة 2.17.6.1.2.1.5

اضرب $f$ في $f$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.17.6.1.2.1.5.1

انقُل $f$ .

$\frac{4 ((1 - f + f - (f \cdot f)) (f^{2} + 2 P f f')) + 4 (- f^{2} P (1 (- f'))) + 4 (- f^{2} P (f (- f'))) + 4 (- f^{2} P (1 f')) + 4 (- f^{2} P (- f f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

خطوة 2.17.6.1.2.1.5.2

اضرب $f$ في $f$ .

$\frac{4 ((1 - f + f - f^{2}) (f^{2} + 2 P f f')) + 4 (- f^{2} P (1 (- f'))) + 4 (- f^{2} P (f (- f'))) + 4 (- f^{2} P (1 f')) + 4 (- f^{2} P (- f f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

خطوة 2.17.6.1.2.2

أضف $- f$ و $f$ .

$\frac{4 ((1 + 0 - f^{2}) (f^{2} + 2 P f f')) + 4 (- f^{2} P (1 (- f'))) + 4 (- f^{2} P (f (- f'))) + 4 (- f^{2} P (1 f')) + 4 (- f^{2} P (- f f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

خطوة 2.17.6.1.2.3

أضف $1$ و $0$ .

$\frac{4 ((1 - f^{2}) (f^{2} + 2 P f f')) + 4 (- f^{2} P (1 (- f'))) + 4 (- f^{2} P (f (- f'))) + 4 (- f^{2} P (1 f')) + 4 (- f^{2} P (- f f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

خطوة 2.17.6.1.3

وسّع $(1 - f^{2}) (f^{2} + 2 P f f')$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.17.6.1.3.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{4 (1 (f^{2} + 2 P f f') - f^{2} (f^{2} + 2 P f f')) + 4 (- f^{2} P (1 (- f'))) + 4 (- f^{2} P (f (- f'))) + 4 (- f^{2} P (1 f')) + 4 (- f^{2} P (- f f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

خطوة 2.17.6.1.3.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{4 (1 f^{2} + 1 (2 P f f') - f^{2} (f^{2} + 2 P f f')) + 4 (- f^{2} P (1 (- f'))) + 4 (- f^{2} P (f (- f'))) + 4 (- f^{2} P (1 f')) + 4 (- f^{2} P (- f f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

خطوة 2.17.6.1.3.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{4 (1 f^{2} + 1 (2 P f f') - f^{2} f^{2} - f^{2} (2 P f f')) + 4 (- f^{2} P (1 (- f'))) + 4 (- f^{2} P (f (- f'))) + 4 (- f^{2} P (1 f')) + 4 (- f^{2} P (- f f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

خطوة 2.17.6.1.4

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.17.6.1.4.1

اضرب $f^{2}$ في $1$ .

$\frac{4 (f^{2} + 1 (2 P f f') - f^{2} f^{2} - f^{2} (2 P f f')) + 4 (- f^{2} P (1 (- f'))) + 4 (- f^{2} P (f (- f'))) + 4 (- f^{2} P (1 f')) + 4 (- f^{2} P (- f f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

خطوة 2.17.6.1.4.2

اضرب $2 P f f'$ في $1$ .

$\frac{4 (f^{2} + 2 P f f' - f^{2} f^{2} - f^{2} (2 P f f')) + 4 (- f^{2} P (1 (- f'))) + 4 (- f^{2} P (f (- f'))) + 4 (- f^{2} P (1 f')) + 4 (- f^{2} P (- f f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

خطوة 2.17.6.1.4.3

اضرب $f^{2}$ في $f^{2}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.17.6.1.4.3.1

انقُل $f^{2}$ .

$\frac{4 (f^{2} + 2 P f f' - (f^{2} f^{2}) - f^{2} (2 P f f')) + 4 (- f^{2} P (1 (- f'))) + 4 (- f^{2} P (f (- f'))) + 4 (- f^{2} P (1 f')) + 4 (- f^{2} P (- f f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

خطوة 2.17.6.1.4.3.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{4 (f^{2} + 2 P f f' - f^{2 + 2} - f^{2} (2 P f f')) + 4 (- f^{2} P (1 (- f'))) + 4 (- f^{2} P (f (- f'))) + 4 (- f^{2} P (1 f')) + 4 (- f^{2} P (- f f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

خطوة 2.17.6.1.4.3.3

أضف $2$ و $2$ .

$\frac{4 (f^{2} + 2 P f f' - f^{4} - f^{2} (2 P f f')) + 4 (- f^{2} P (1 (- f'))) + 4 (- f^{2} P (f (- f'))) + 4 (- f^{2} P (1 f')) + 4 (- f^{2} P (- f f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

خطوة 2.17.6.1.4.4

اضرب $f^{2}$ في $f$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.17.6.1.4.4.1

انقُل $f$ .

$\frac{4 (f^{2} + 2 P f f' - f^{4} - (f \cdot f^{2}) (2 P f')) + 4 (- f^{2} P (1 (- f'))) + 4 (- f^{2} P (f (- f'))) + 4 (- f^{2} P (1 f')) + 4 (- f^{2} P (- f f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

خطوة 2.17.6.1.4.4.2

اضرب $f$ في $f^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.17.6.1.4.4.2.1

ارفع $f$ إلى القوة $1$ .

$\frac{4 (f^{2} + 2 P f f' - f^{4} - (f^{1} f^{2}) (2 P f')) + 4 (- f^{2} P (1 (- f'))) + 4 (- f^{2} P (f (- f'))) + 4 (- f^{2} P (1 f')) + 4 (- f^{2} P (- f f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

خطوة 2.17.6.1.4.4.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{4 (f^{2} + 2 P f f' - f^{4} - f^{1 + 2} (2 P f')) + 4 (- f^{2} P (1 (- f'))) + 4 (- f^{2} P (f (- f'))) + 4 (- f^{2} P (1 f')) + 4 (- f^{2} P (- f f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

خطوة 2.17.6.1.4.4.3

أضف $1$ و $2$ .

$\frac{4 (f^{2} + 2 P f f' - f^{4} - f^{3} (2 P f')) + 4 (- f^{2} P (1 (- f'))) + 4 (- f^{2} P (f (- f'))) + 4 (- f^{2} P (1 f')) + 4 (- f^{2} P (- f f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

خطوة 2.17.6.1.4.5

اضرب $2$ في $- 1$ .

$\frac{4 (f^{2} + 2 P f f' - f^{4} - 2 f^{3} (P f')) + 4 (- f^{2} P (1 (- f'))) + 4 (- f^{2} P (f (- f'))) + 4 (- f^{2} P (1 f')) + 4 (- f^{2} P (- f f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

خطوة 2.17.6.1.5

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{4 f^{2} + 4 (2 P f f') + 4 (- f^{4}) + 4 (- 2 f^{3} (P f')) + 4 (- f^{2} P (1 (- f'))) + 4 (- f^{2} P (f (- f'))) + 4 (- f^{2} P (1 f')) + 4 (- f^{2} P (- f f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

خطوة 2.17.6.1.6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.17.6.1.6.1

اضرب $2$ في $4$ .

$\frac{4 f^{2} + 8 (P f f') + 4 (- f^{4}) + 4 (- 2 f^{3} (P f')) + 4 (- f^{2} P (1 (- f'))) + 4 (- f^{2} P (f (- f'))) + 4 (- f^{2} P (1 f')) + 4 (- f^{2} P (- f f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

خطوة 2.17.6.1.6.2

اضرب $- 1$ في $4$ .

$\frac{4 f^{2} + 8 (P f f') - 4 f^{4} + 4 (- 2 f^{3} (P f')) + 4 (- f^{2} P (1 (- f'))) + 4 (- f^{2} P (f (- f'))) + 4 (- f^{2} P (1 f')) + 4 (- f^{2} P (- f f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

خطوة 2.17.6.1.6.3

اضرب $- 2$ في $4$ .

$\frac{4 f^{2} + 8 (P f f') - 4 f^{4} - 8 (f^{3} (P f')) + 4 (- f^{2} P (1 (- f'))) + 4 (- f^{2} P (f (- f'))) + 4 (- f^{2} P (1 f')) + 4 (- f^{2} P (- f f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

خطوة 2.17.6.1.7

احذِف الأقواس.

$\frac{4 f^{2} + 8 P f f' - 4 f^{4} - 8 f^{3} (P f') + 4 (- f^{2} P (1 (- f'))) + 4 (- f^{2} P (f (- f'))) + 4 (- f^{2} P (1 f')) + 4 (- f^{2} P (- f f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

خطوة 2.17.6.1.8

اضرب $- f'$ في $1$ .

$\frac{4 f^{2} + 8 P f f' - 4 f^{4} - 8 f^{3} (P f') + 4 (- f^{2} P (- f')) + 4 (- f^{2} P (f (- f'))) + 4 (- f^{2} P (1 f')) + 4 (- f^{2} P (- f f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

خطوة 2.17.6.1.9

اضرب $- f^{2} P (- f')$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.17.6.1.9.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$\frac{4 f^{2} + 8 P f f' - 4 f^{4} - 8 f^{3} (P f') + 4 (1 f^{2} P f') + 4 (- f^{2} P (f (- f'))) + 4 (- f^{2} P (1 f')) + 4 (- f^{2} P (- f f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

خطوة 2.17.6.1.9.2

اضرب $f^{2}$ في $1$ .

$\frac{4 f^{2} + 8 P f f' - 4 f^{4} - 8 f^{3} (P f') + 4 (f^{2} P f') + 4 (- f^{2} P (f (- f'))) + 4 (- f^{2} P (1 f')) + 4 (- f^{2} P (- f f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

خطوة 2.17.6.1.10

اضرب $f^{2}$ في $f$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.17.6.1.10.1

انقُل $f$ .

$\frac{4 f^{2} + 8 P f f' - 4 f^{4} - 8 f^{3} (P f') + 4 f^{2} P f' + 4 (- (f \cdot f^{2}) P (- f')) + 4 (- f^{2} P (1 f')) + 4 (- f^{2} P (- f f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

خطوة 2.17.6.1.10.2

اضرب $f$ في $f^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.17.6.1.10.2.1

ارفع $f$ إلى القوة $1$ .

$\frac{4 f^{2} + 8 P f f' - 4 f^{4} - 8 f^{3} (P f') + 4 f^{2} P f' + 4 (- (f^{1} f^{2}) P (- f')) + 4 (- f^{2} P (1 f')) + 4 (- f^{2} P (- f f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

خطوة 2.17.6.1.10.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{4 f^{2} + 8 P f f' - 4 f^{4} - 8 f^{3} (P f') + 4 f^{2} P f' + 4 (- f^{1 + 2} P (- f')) + 4 (- f^{2} P (1 f')) + 4 (- f^{2} P (- f f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

خطوة 2.17.6.1.10.3

أضف $1$ و $2$ .

$\frac{4 f^{2} + 8 P f f' - 4 f^{4} - 8 f^{3} (P f') + 4 f^{2} P f' + 4 (- f^{3} P (- f')) + 4 (- f^{2} P (1 f')) + 4 (- f^{2} P (- f f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

خطوة 2.17.6.1.11

اضرب $- f^{3} P (- f')$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.17.6.1.11.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$\frac{4 f^{2} + 8 P f f' - 4 f^{4} - 8 f^{3} (P f') + 4 f^{2} P f' + 4 (1 f^{3} P f') + 4 (- f^{2} P (1 f')) + 4 (- f^{2} P (- f f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

خطوة 2.17.6.1.11.2

اضرب $f^{3}$ في $1$ .

$\frac{4 f^{2} + 8 P f f' - 4 f^{4} - 8 f^{3} (P f') + 4 f^{2} P f' + 4 (f^{3} P f') + 4 (- f^{2} P (1 f')) + 4 (- f^{2} P (- f f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

خطوة 2.17.6.1.12

اضرب $f'$ في $1$ .

$\frac{4 f^{2} + 8 P f f' - 4 f^{4} - 8 f^{3} (P f') + 4 f^{2} P f' + 4 f^{3} P f' + 4 (- f^{2} P f') + 4 (- f^{2} P (- f f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

خطوة 2.17.6.1.13

اضرب $- 1$ في $4$ .

$\frac{4 f^{2} + 8 P f f' - 4 f^{4} - 8 f^{3} (P f') + 4 f^{2} P f' + 4 f^{3} P f' - 4 (f^{2} P f') + 4 (- f^{2} P (- f f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

خطوة 2.17.6.1.14

اضرب $f^{2}$ في $f$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.17.6.1.14.1

انقُل $f$ .

$\frac{4 f^{2} + 8 P f f' - 4 f^{4} - 8 f^{3} (P f') + 4 f^{2} P f' + 4 f^{3} P f' - 4 f^{2} P f' + 4 (- (f \cdot f^{2}) P (- 1 f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

خطوة 2.17.6.1.14.2

اضرب $f$ في $f^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.17.6.1.14.2.1

ارفع $f$ إلى القوة $1$ .

$\frac{4 f^{2} + 8 P f f' - 4 f^{4} - 8 f^{3} (P f') + 4 f^{2} P f' + 4 f^{3} P f' - 4 f^{2} P f' + 4 (- (f^{1} f^{2}) P (- 1 f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

خطوة 2.17.6.1.14.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{4 f^{2} + 8 P f f' - 4 f^{4} - 8 f^{3} (P f') + 4 f^{2} P f' + 4 f^{3} P f' - 4 f^{2} P f' + 4 (- f^{1 + 2} P (- 1 f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

خطوة 2.17.6.1.14.3

أضف $1$ و $2$ .

$\frac{4 f^{2} + 8 P f f' - 4 f^{4} - 8 f^{3} (P f') + 4 f^{2} P f' + 4 f^{3} P f' - 4 f^{2} P f' + 4 (- f^{3} P (- 1 f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

خطوة 2.17.6.1.15

أعِد كتابة $- 1 f'$ بالصيغة $- f'$ .

$\frac{4 f^{2} + 8 P f f' - 4 f^{4} - 8 f^{3} (P f') + 4 f^{2} P f' + 4 f^{3} P f' - 4 f^{2} P f' + 4 (- f^{3} P (- f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

خطوة 2.17.6.1.16

اضرب $- f^{3} P (- f')$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.17.6.1.16.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$\frac{4 f^{2} + 8 P f f' - 4 f^{4} - 8 f^{3} (P f') + 4 f^{2} P f' + 4 f^{3} P f' - 4 f^{2} P f' + 4 (1 f^{3} P f')}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

خطوة 2.17.6.1.16.2

اضرب $f^{3}$ في $1$ .

$\frac{4 f^{2} + 8 P f f' - 4 f^{4} - 8 f^{3} (P f') + 4 f^{2} P f' + 4 f^{3} P f' - 4 f^{2} P f' + 4 (f^{3} P f')}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

$\frac{4 f^{2} + 8 P f f' - 4 f^{4} - 8 f^{3} (P f') + 4 f^{2} P f' + 4 f^{3} P f' - 4 f^{2} P f' + 4 f^{3} P f'}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

خطوة 2.17.6.2

جمّع الحدود المتعاكسة في $4 f^{2} + 8 P f f' - 4 f^{4} - 8 f^{3} (P f') + 4 f^{2} P f' + 4 f^{3} P f' - 4 f^{2} P f' + 4 f^{3} P f'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.17.6.2.1

اطرح $4 f^{2} P f'$ من $4 f^{2} P f'$ .

$\frac{4 f^{2} + 8 P f f' - 4 f^{4} - 8 f^{3} (P f') + 4 f^{3} P f' + 0 + 4 f^{3} P f'}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

خطوة 2.17.6.2.2

أضف $4 f^{2} + 8 P f f' - 4 f^{4} - 8 f^{3} (P f') + 4 f^{3} P f'$ و $0$ .

$\frac{4 f^{2} + 8 P f f' - 4 f^{4} - 8 f^{3} (P f') + 4 f^{3} P f' + 4 f^{3} P f'}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

خطوة 2.17.6.3

أضف $- 8 f^{3} P f'$ و $4 f^{3} P f'$ .

$\frac{4 f^{2} + 8 P f f' - 4 f^{4} - 4 f^{3} P f' + 4 f^{3} P f'}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

خطوة 2.17.6.4

جمّع الحدود المتعاكسة في $4 f^{2} + 8 P f f' - 4 f^{4} - 4 f^{3} P f' + 4 f^{3} P f'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.17.6.4.1

أضف $- 4 f^{3} P f'$ و $4 f^{3} P f'$ .

$\frac{4 f^{2} + 8 P f f' - 4 f^{4} + 0}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

خطوة 2.17.6.4.2

أضف $4 f^{2} + 8 P f f' - 4 f^{4}$ و $0$ .

$\frac{4 f^{2} + 8 P f f' - 4 f^{4}}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

خطوة 2.17.7

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{- 4 f^{4} + 4 f^{2} + 8 P f f'}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

خطوة 2.17.8

أخرِج العامل $4 f$ من $- 4 f^{4} + 4 f^{2} + 8 P f f'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.17.8.1

أخرِج العامل $4 f$ من $- 4 f^{4}$ .

$\frac{4 f (- f^{3}) + 4 f^{2} + 8 P f f'}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

خطوة 2.17.8.2

أخرِج العامل $4 f$ من $4 f^{2}$ .

$\frac{4 f (- f^{3}) + 4 f (f) + 8 P f f'}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

خطوة 2.17.8.3

أخرِج العامل $4 f$ من $8 P f f'$ .

$\frac{4 f (- f^{3}) + 4 f (f) + 4 f (2 P f')}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

خطوة 2.17.8.4

أخرِج العامل $4 f$ من $4 f (- f^{3}) + 4 f (f)$ .

$\frac{4 f (- f^{3} + f) + 4 f (2 P f')}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

خطوة 2.17.8.5

أخرِج العامل $4 f$ من $4 f (- f^{3} + f) + 4 f (2 P f')$ .

$\frac{4 f (- f^{3} + f + 2 P f')}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

خطوة 2.17.9

أخرِج العامل $- 1$ من $- f^{3}$ .

$\frac{4 f (- (f^{3}) + f + 2 P f')}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

خطوة 2.17.10

أخرِج العامل $- 1$ من $f$ .

$\frac{4 f (- (f^{3}) - 1 (- f) + 2 P f')}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

خطوة 2.17.11

أخرِج العامل $- 1$ من $- (f^{3}) - 1 (- f)$ .

$\frac{4 f (- (f^{3} - f) + 2 P f')}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

خطوة 2.17.12

أخرِج العامل $- 1$ من $2 P f'$ .

$\frac{4 f (- (f^{3} - f) - (- 2 P f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

خطوة 2.17.13

أخرِج العامل $- 1$ من $- (f^{3} - f) - (- 2 P f')$ .

$\frac{4 f (- (f^{3} - f - 2 P f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

خطوة 2.17.14

أعِد كتابة $- (f^{3} - f - 2 P f')$ بالصيغة $- 1 (f^{3} - f - 2 P f')$ .

$\frac{4 f (- 1 (f^{3} - f - 2 P f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

خطوة 2.17.15

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{(4 f) (f^{3} - f - 2 P f')}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

خطوة 2.17.16

أعِد ترتيب العوامل في $- \frac{(4 f) (f^{3} - f - 2 P f')}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$ .

$- \frac{4 f (f^{3} - f - 2 P f')}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

خطوة 3

بما أن $K$ عدد ثابت بالنسبة إلى $P$ ، فإن مشتق $K$ بالنسبة إلى $P$ هو $0$ .

$0$

خطوة 4

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$- \frac{4 f (f^{3} - f - 2 P f')}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}} = 0$

خطوة 5

أوجِد قيمة $f'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

عيّن قيمة بسط الكسر بحيث تصبح مساوية لصفر.

$4 f (f^{3} - f - 2 P f') = 0$

خطوة 5.2

أوجِد قيمة $f'$ في المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

اقسِم كل حد في $4 f (f^{3} - f - 2 P f') = 0$ على $4 f$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.1

اقسِم كل حد في $4 f (f^{3} - f - 2 P f') = 0$ على $4 f$ .

$\frac{4 f (f^{3} - f - 2 P f')}{4 f} = \frac{0}{4 f}$

خطوة 5.2.1.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{4 f (f^{3} - f - 2 P f')}{4 f} = \frac{0}{4 f}$

خطوة 5.2.1.2.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{f (f^{3} - f - 2 P f')}{f} = \frac{0}{4 f}$

خطوة 5.2.1.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $f$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{f (f^{3} - f - 2 P f')}{f} = \frac{0}{4 f}$

خطوة 5.2.1.2.2.2

اقسِم $f^{3} - f - 2 P f'$ على $1$ .

$f^{3} - f - 2 P f' = \frac{0}{4 f}$

خطوة 5.2.1.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.3.1

احذِف العامل المشترك لـ $0$ و $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.3.1.1

أخرِج العامل $4$ من $0$ .

$f^{3} - f - 2 P f' = \frac{4 (0)}{4 f}$

خطوة 5.2.1.3.1.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.3.1.2.1

أخرِج العامل $4$ من $4 f$ .

$f^{3} - f - 2 P f' = \frac{4 (0)}{4 (f)}$

خطوة 5.2.1.3.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$f^{3} - f - 2 P f' = \frac{4 \cdot 0}{4 f}$

خطوة 5.2.1.3.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$f^{3} - f - 2 P f' = \frac{0}{f}$

خطوة 5.2.1.3.2

اقسِم $0$ على $f$ .

$f^{3} - f - 2 P f' = 0$

خطوة 5.2.2

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $f'$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.1

اطرح $f^{3}$ من كلا المتعادلين.

$- f - 2 P f' = - f^{3}$

خطوة 5.2.2.2

أضف $f$ إلى كلا المتعادلين.

$- 2 P f' = - f^{3} + f$

خطوة 5.2.3

اقسِم كل حد في $- 2 P f' = - f^{3} + f$ على $- 2 P$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.3.1

اقسِم كل حد في $- 2 P f' = - f^{3} + f$ على $- 2 P$ .

$\frac{- 2 P f'}{- 2 P} = \frac{- f^{3}}{- 2 P} + \frac{f}{- 2 P}$

خطوة 5.2.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.3.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $- 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.3.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{- 2 P f'}{- 2 P} = \frac{- f^{3}}{- 2 P} + \frac{f}{- 2 P}$

خطوة 5.2.3.2.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{P f'}{P} = \frac{- f^{3}}{- 2 P} + \frac{f}{- 2 P}$

خطوة 5.2.3.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $P$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.3.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{P f'}{P} = \frac{- f^{3}}{- 2 P} + \frac{f}{- 2 P}$

خطوة 5.2.3.2.2.2

اقسِم $f'$ على $1$ .

$f' = \frac{- f^{3}}{- 2 P} + \frac{f}{- 2 P}$

خطوة 5.2.3.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.3.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.3.3.1.1

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$f' = \frac{f^{3}}{2 P} + \frac{f}{- 2 P}$

خطوة 5.2.3.3.1.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$f' = \frac{f^{3}}{2 P} - \frac{f}{2 P}$

خطوة 6

استبدِل $f'$ بـ $\frac{d f}{d P}$ .

$\frac{d f}{d P} = \frac{f^{3}}{2 P} - \frac{f}{2 P}$