حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f = e^{x} \sin (y + z) - z$

خطوة 1

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d y} (f) = \frac{d}{d y} (e^{x} \sin (y + z) - z)$

خطوة 2

مشتق $f$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $f'$ .

$f'$

خطوة 3

أوجِد مشتقة المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $e^{x} \sin (y + z) - z$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{d}{d y} [e^{x} \sin (y + z)] + \frac{d}{d y} [- z]$ .

$\frac{d}{d y} [e^{x} \sin (y + z)] + \frac{d}{d y} [- z]$

خطوة 3.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d y} [e^{x} \sin (y + z)]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

بما أن $e^{x}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، إذن مشتق $e^{x} \sin (y + z)$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $e^{x} \frac{d}{d y} [\sin (y + z)]$ .

$e^{x} \frac{d}{d y} [\sin (y + z)] + \frac{d}{d y} [- z]$

خطوة 3.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ هو $f' (g (y)) g' (y)$ حيث $f (y) = \sin (y)$ و $g (y) = y + z$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $y + z$ .

$e^{x} (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d y} [y + z]) + \frac{d}{d y} [- z]$

خطوة 3.2.2.2

مشتق $\sin (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $\cos (u)$ .

$e^{x} (\cos (u) \frac{d}{d y} [y + z]) + \frac{d}{d y} [- z]$

خطوة 3.2.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $y + z$ .

$e^{x} (\cos (y + z) \frac{d}{d y} [y + z]) + \frac{d}{d y} [- z]$

خطوة 3.2.3

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $y + z$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [z]$ .

$e^{x} (\cos (y + z) (\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [z])) + \frac{d}{d y} [- z]$

خطوة 3.2.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$e^{x} (\cos (y + z) (1 + \frac{d}{d y} [z])) + \frac{d}{d y} [- z]$

خطوة 3.2.5

بما أن $z$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، فإن مشتق $z$ بالنسبة إلى $y$ هو $0$ .

$e^{x} (\cos (y + z) (1 + 0)) + \frac{d}{d y} [- z]$

خطوة 3.2.6

أضف $1$ و $0$ .

$e^{x} (\cos (y + z) \cdot 1) + \frac{d}{d y} [- z]$

خطوة 3.2.7

اضرب $\cos (y + z)$ في $1$ .

$e^{x} \cos (y + z) + \frac{d}{d y} [- z]$

خطوة 3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

بما أن $- z$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، فإن مشتق $- z$ بالنسبة إلى $y$ هو $0$ .

$e^{x} \cos (y + z) + 0$

خطوة 3.3.2

أضف $e^{x} \cos (y + z)$ و $0$ .

$e^{x} \cos (y + z)$

خطوة 4

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$f' = e^{x} \cos (y + z)$

خطوة 5

استبدِل $f'$ بـ $\frac{d f}{d y}$ .

$\frac{d f}{d y} = e^{x} \cos (y + z)$