حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$b^{2} x^{2} + a^{2} y^{2} = a^{2} b^{2}$

خطوة 1

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d x} (b^{2} x^{2} + a^{2} y^{2}) = \frac{d}{d x} (a^{2} b^{2})$

خطوة 2

أوجِد مشتقة المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $b^{2} x^{2} + a^{2} y^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [b^{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [a^{2} y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [b^{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [a^{2} y^{2}]$

خطوة 2.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [b^{2} x^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = b^{2}$ و $g (x) = x^{2}$ .

$b^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + x^{2} \frac{d}{d x} [b^{2}] + \frac{d}{d x} [a^{2} y^{2}]$

خطوة 2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$b^{2} (2 x) + x^{2} \frac{d}{d x} [b^{2}] + \frac{d}{d x} [a^{2} y^{2}]$

خطوة 2.2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = b$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $b$ .

$b^{2} (2 x) + x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [b]) + \frac{d}{d x} [a^{2} y^{2}]$

خطوة 2.2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$b^{2} (2 x) + x^{2} (2 u \frac{d}{d x} [b]) + \frac{d}{d x} [a^{2} y^{2}]$

خطوة 2.2.3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $b$ .

$b^{2} (2 x) + x^{2} (2 b \frac{d}{d x} [b]) + \frac{d}{d x} [a^{2} y^{2}]$

خطوة 2.2.4

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [b]$ بالصيغة $b'$ .

$b^{2} (2 x) + x^{2} (2 b b') + \frac{d}{d x} [a^{2} y^{2}]$

خطوة 2.2.5

انقُل $2$ إلى يسار $b^{2}$ .

$2 \cdot b^{2} x + x^{2} (2 b b') + \frac{d}{d x} [a^{2} y^{2}]$

خطوة 2.2.6

انقُل $2$ إلى يسار $x^{2}$ .

$2 b^{2} x + 2 x^{2} b b' + \frac{d}{d x} [a^{2} y^{2}]$

خطوة 2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بما أن $a^{2} y^{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $a^{2} y^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$2 b^{2} x + 2 x^{2} b b' + 0$

خطوة 2.3.2

أضف $2 b^{2} x + 2 x^{2} b b'$ و $0$ .

$2 b^{2} x + 2 x^{2} b b'$

خطوة 3

أوجِد مشتقة المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

بما أن $a^{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $a^{2} b^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $a^{2} \frac{d}{d x} [b^{2}]$ .

$a^{2} \frac{d}{d x} [b^{2}]$

خطوة 3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = b$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $b$ .

$a^{2} (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [b])$

خطوة 3.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$a^{2} (2 u \frac{d}{d x} [b])$

خطوة 3.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $b$ .

$a^{2} (2 b \frac{d}{d x} [b])$

خطوة 3.3

انقُل $2$ إلى يسار $a^{2}$ .

$2 \cdot a^{2} b \frac{d}{d x} [b]$

خطوة 3.4

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [b]$ بالصيغة $b'$ .

$2 a^{2} b b'$

خطوة 4

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$2 b^{2} x + 2 x^{2} b b' = 2 a^{2} b b'$

خطوة 5

أوجِد قيمة $b'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

اطرح $2 a^{2} b b'$ من كلا المتعادلين.

$2 b^{2} x + 2 x^{2} b b' - 2 a^{2} b b' = 0$

خطوة 5.2

اطرح $2 b^{2} x$ من كلا المتعادلين.

$2 x^{2} b b' - 2 a^{2} b b' = - 2 b^{2} x$

خطوة 5.3

أخرِج العامل $2 b b'$ من $2 x^{2} b b' - 2 a^{2} b b'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

أخرِج العامل $2 b b'$ من $2 x^{2} b b'$ .

$2 b b' x^{2} - 2 a^{2} b b' = - 2 b^{2} x$

خطوة 5.3.2

أخرِج العامل $2 b b'$ من $- 2 a^{2} b b'$ .

$2 b b' x^{2} + 2 b b' (- a^{2}) = - 2 b^{2} x$

خطوة 5.3.3

أخرِج العامل $2 b b'$ من $2 b b' x^{2} + 2 b b' (- a^{2})$ .

$2 b b' (x^{2} - a^{2}) = - 2 b^{2} x$

خطوة 5.4

حلّل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.1

بما أن كلا الحدّين هما مربعان كاملان، حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة الفرق بين مربعين، $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ حيث $a = x$ و $b = a$ .

$2 b b' ((x + a) (x - a)) = - 2 b^{2} x$

خطوة 5.4.2

احذِف الأقواس غير الضرورية.

$2 b b' (x + a) (x - a) = - 2 b^{2} x$

خطوة 5.5

اقسِم كل حد في $2 b b' (x + a) (x - a) = - 2 b^{2} x$ على $2 b (x + a) (x - a)$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.1

اقسِم كل حد في $2 b b' (x + a) (x - a) = - 2 b^{2} x$ على $2 b (x + a) (x - a)$ .

$\frac{2 b b' (x + a) (x - a)}{2 b (x + a) (x - a)} = \frac{- 2 b^{2} x}{2 b (x + a) (x - a)}$

خطوة 5.5.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 b b' (x + a) (x - a)}{2 b (x + a) (x - a)} = \frac{- 2 b^{2} x}{2 b (x + a) (x - a)}$

خطوة 5.5.2.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{b b' (x + a) (x - a)}{(b (x + a)) (x - a)} = \frac{- 2 b^{2} x}{2 b (x + a) (x - a)}$

خطوة 5.5.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $b$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{b b' (x + a) (x - a)}{b (x + a) (x - a)} = \frac{- 2 b^{2} x}{2 b (x + a) (x - a)}$

خطوة 5.5.2.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{b' (x + a) (x - a)}{(x + a) (x - a)} = \frac{- 2 b^{2} x}{2 b (x + a) (x - a)}$

خطوة 5.5.2.3

ألغِ العامل المشترك لـ $x + a$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.2.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{b' (x + a) (x - a)}{(x + a) (x - a)} = \frac{- 2 b^{2} x}{2 b (x + a) (x - a)}$

خطوة 5.5.2.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{b' (x - a)}{x - a} = \frac{- 2 b^{2} x}{2 b (x + a) (x - a)}$

خطوة 5.5.2.4

ألغِ العامل المشترك لـ $x - a$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.2.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{b' (x - a)}{x - a} = \frac{- 2 b^{2} x}{2 b (x + a) (x - a)}$

خطوة 5.5.2.4.2

اقسِم $b'$ على $1$ .

$b' = \frac{- 2 b^{2} x}{2 b (x + a) (x - a)}$

خطوة 5.5.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.3.1

احذِف العامل المشترك لـ $- 2$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.3.1.1

أخرِج العامل $2$ من $- 2 b^{2} x$ .

$b' = \frac{2 (- b^{2} x)}{2 b (x + a) (x - a)}$

خطوة 5.5.3.1.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.3.1.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2 b (x + a) (x - a)$ .

$b' = \frac{2 (- b^{2} x)}{2 ((b (x + a)) (x - a))}$

خطوة 5.5.3.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$b' = \frac{2 (- b^{2} x)}{2 ((b (x + a)) (x - a))}$

خطوة 5.5.3.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$b' = \frac{- b^{2} x}{(b (x + a)) (x - a)}$

خطوة 5.5.3.2

احذِف العامل المشترك لـ $b^{2}$ و $b$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.3.2.1

أخرِج العامل $b$ من $- b^{2} x$ .

$b' = \frac{b (- b x)}{(b (x + a)) (x - a)}$

خطوة 5.5.3.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.3.2.2.1

أخرِج العامل $b$ من $(b (x + a)) (x - a)$ .

$b' = \frac{b (- b x)}{b ((x + a) (x - a))}$

خطوة 5.5.3.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$b' = \frac{b (- b x)}{b ((x + a) (x - a))}$

خطوة 5.5.3.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$b' = \frac{- b x}{(x + a) (x - a)}$

خطوة 5.5.3.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$b' = - \frac{b x}{(x + a) (x - a)}$

خطوة 6

استبدِل $b'$ بـ $\frac{d b}{d x}$ .

$\frac{d b}{d x} = - \frac{b x}{(x + a) (x - a)}$