حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

${(4 t^{2} - 6 t + 10)}^{\frac{3}{2}}$

خطوة 1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ هو $f' (g (t)) g' (t)$ حيث $f (t) = t^{\frac{3}{2}}$ و $g (t) = 4 t^{2} - 6 t + 10$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $4 t^{2} - 6 t + 10$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{3}{2}}] \frac{d}{d t} [4 t^{2} - 6 t + 10]$

خطوة 1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = \frac{3}{2}$ .

$\frac{3}{2} u^{\frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d t} [4 t^{2} - 6 t + 10]$

خطوة 1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $4 t^{2} - 6 t + 10$ .

$\frac{3}{2} {(4 t^{2} - 6 t + 10)}^{\frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d t} [4 t^{2} - 6 t + 10]$

خطوة 2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $4 t^{2} - 6 t + 10$ بالنسبة إلى $t$ هو $\frac{d}{d t} [4 t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 6 t] + \frac{d}{d t} [10]$ .

$\frac{3}{2} {(4 t^{2} - 6 t + 10)}^{\frac{3}{2} - 1} (\frac{d}{d t} [4 t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 6 t] + \frac{d}{d t} [10])$

خطوة 3

احسِب قيمة $\frac{d}{d t} [4 t^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، إذن مشتق $4 t^{2}$ بالنسبة إلى $t$ يساوي $4 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$\frac{3}{2} {(4 t^{2} - 6 t + 10)}^{\frac{3}{2} - 1} (4 \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 6 t] + \frac{d}{d t} [10])$

خطوة 3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ هو $n t^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{3}{2} {(4 t^{2} - 6 t + 10)}^{\frac{3}{2} - 1} (4 (2 t) + \frac{d}{d t} [- 6 t] + \frac{d}{d t} [10])$

خطوة 3.3

اضرب $2$ في $4$ .

$\frac{3}{2} {(4 t^{2} - 6 t + 10)}^{\frac{3}{2} - 1} (8 t + \frac{d}{d t} [- 6 t] + \frac{d}{d t} [10])$

خطوة 4

احسِب قيمة $\frac{d}{d t} [- 6 t]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

بما أن $- 6$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، إذن مشتق $- 6 t$ بالنسبة إلى $t$ يساوي $- 6 \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{3}{2} {(4 t^{2} - 6 t + 10)}^{\frac{3}{2} - 1} (8 t - 6 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [10])$

خطوة 4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ هو $n t^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{3}{2} {(4 t^{2} - 6 t + 10)}^{\frac{3}{2} - 1} (8 t - 6 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [10])$

خطوة 4.3

اضرب $- 6$ في $1$ .

$\frac{3}{2} {(4 t^{2} - 6 t + 10)}^{\frac{3}{2} - 1} (8 t - 6 + \frac{d}{d t} [10])$

خطوة 5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

بما أن $10$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، فإن مشتق $10$ بالنسبة إلى $t$ هو $0$ .

$\frac{3}{2} {(4 t^{2} - 6 t + 10)}^{\frac{3}{2} - 1} (8 t - 6 + 0)$

خطوة 5.2

أضف $8 t - 6$ و $0$ .

$\frac{3}{2} {(4 t^{2} - 6 t + 10)}^{\frac{3}{2} - 1} (8 t - 6)$

خطوة 6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3}{2} {(4 t^{2} - 6 t + 10)}^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (8 t - 6)$

خطوة 6.1.2

اجمع $- 1$ و $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3}{2} {(4 t^{2} - 6 t + 10)}^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (8 t - 6)$

خطوة 6.1.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{3}{2} {(4 t^{2} - 6 t + 10)}^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}} (8 t - 6)$

خطوة 6.1.4

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.4.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$\frac{3}{2} {(4 t^{2} - 6 t + 10)}^{\frac{3 - 2}{2}} (8 t - 6)$

خطوة 6.1.4.2

اطرح $2$ من $3$ .

$\frac{3}{2} {(4 t^{2} - 6 t + 10)}^{\frac{1}{2}} (8 t - 6)$

خطوة 6.1.5

اجمع $\frac{3}{2}$ و ${(4 t^{2} - 6 t + 10)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 {(4 t^{2} - 6 t + 10)}^{\frac{1}{2}}}{2} (8 t - 6)$

خطوة 6.2

أعِد ترتيب عوامل $\frac{3 {(4 t^{2} - 6 t + 10)}^{\frac{1}{2}}}{2} (8 t - 6)$ .

$(8 t - 6) \frac{3 {(4 t^{2} - 6 t + 10)}^{\frac{1}{2}}}{2}$