حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\sqrt{\frac{s^{2} + 1}{s^{2} + 4}}$

خطوة 1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{\frac{s^{2} + 1}{s^{2} + 4}}$ في صورة ${(\frac{s^{2} + 1}{s^{2} + 4})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d s} [{(\frac{s^{2} + 1}{s^{2} + 4})}^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d s} [f (g (s))]$ هو $f' (g (s)) g' (s)$ حيث $f (s) = s^{\frac{1}{2}}$ و $g (s) = \frac{s^{2} + 1}{s^{2} + 4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $\frac{s^{2} + 1}{s^{2} + 4}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d s} [\frac{s^{2} + 1}{s^{2} + 4}]$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d s} [\frac{s^{2} + 1}{s^{2} + 4}]$

خطوة 2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $\frac{s^{2} + 1}{s^{2} + 4}$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{s^{2} + 1}{s^{2} + 4})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d s} [\frac{s^{2} + 1}{s^{2} + 4}]$

خطوة 3

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{s^{2} + 1}{s^{2} + 4})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d s} [\frac{s^{2} + 1}{s^{2} + 4}]$

خطوة 4

اجمع $- 1$ و $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{s^{2} + 1}{s^{2} + 4})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d s} [\frac{s^{2} + 1}{s^{2} + 4}]$

خطوة 5

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{1}{2} {(\frac{s^{2} + 1}{s^{2} + 4})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d s} [\frac{s^{2} + 1}{s^{2} + 4}]$

خطوة 6

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{s^{2} + 1}{s^{2} + 4})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d s} [\frac{s^{2} + 1}{s^{2} + 4}]$

خطوة 6.2

اطرح $2$ من $1$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{s^{2} + 1}{s^{2} + 4})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d s} [\frac{s^{2} + 1}{s^{2} + 4}]$

خطوة 7

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{1}{2} {(\frac{s^{2} + 1}{s^{2} + 4})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d s} [\frac{s^{2} + 1}{s^{2} + 4}]$

خطوة 8

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d s} [\frac{f (s)}{g (s)}]$ هو $\frac{g (s) \frac{d}{d s} [f (s)] - f (s) \frac{d}{d s} [g (s)]}{{g (s)}^{2}}$ حيث $f (s) = s^{2} + 1$ و $g (s) = s^{2} + 4$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{s^{2} + 1}{s^{2} + 4})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(s^{2} + 4) \frac{d}{d s} [s^{2} + 1] - (s^{2} + 1) \frac{d}{d s} [s^{2} + 4]}{{(s^{2} + 4)}^{2}}$

خطوة 9

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $s^{2} + 1$ بالنسبة إلى $s$ هو $\frac{d}{d s} [s^{2}] + \frac{d}{d s} [1]$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{s^{2} + 1}{s^{2} + 4})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(s^{2} + 4) (\frac{d}{d s} [s^{2}] + \frac{d}{d s} [1]) - (s^{2} + 1) \frac{d}{d s} [s^{2} + 4]}{{(s^{2} + 4)}^{2}}$

خطوة 9.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d s} [s^{n}]$ هو $n s^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{s^{2} + 1}{s^{2} + 4})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(s^{2} + 4) (2 s + \frac{d}{d s} [1]) - (s^{2} + 1) \frac{d}{d s} [s^{2} + 4]}{{(s^{2} + 4)}^{2}}$

خطوة 9.3

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $s$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $s$ هو $0$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{s^{2} + 1}{s^{2} + 4})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(s^{2} + 4) (2 s + 0) - (s^{2} + 1) \frac{d}{d s} [s^{2} + 4]}{{(s^{2} + 4)}^{2}}$

خطوة 9.4

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.4.1

أضف $2 s$ و $0$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{s^{2} + 1}{s^{2} + 4})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(s^{2} + 4) (2 s) - (s^{2} + 1) \frac{d}{d s} [s^{2} + 4]}{{(s^{2} + 4)}^{2}}$

خطوة 9.4.2

انقُل $2$ إلى يسار $s^{2} + 4$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{s^{2} + 1}{s^{2} + 4})}^{- \frac{1}{2}} \frac{2 \cdot (s^{2} + 4) s - (s^{2} + 1) \frac{d}{d s} [s^{2} + 4]}{{(s^{2} + 4)}^{2}}$

خطوة 9.5

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $s^{2} + 4$ بالنسبة إلى $s$ هو $\frac{d}{d s} [s^{2}] + \frac{d}{d s} [4]$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{s^{2} + 1}{s^{2} + 4})}^{- \frac{1}{2}} \frac{2 (s^{2} + 4) s - (s^{2} + 1) (\frac{d}{d s} [s^{2}] + \frac{d}{d s} [4])}{{(s^{2} + 4)}^{2}}$

خطوة 9.6

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d s} [s^{n}]$ هو $n s^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{s^{2} + 1}{s^{2} + 4})}^{- \frac{1}{2}} \frac{2 (s^{2} + 4) s - (s^{2} + 1) (2 s + \frac{d}{d s} [4])}{{(s^{2} + 4)}^{2}}$

خطوة 9.7

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $s$ ، فإن مشتق $4$ بالنسبة إلى $s$ هو $0$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{s^{2} + 1}{s^{2} + 4})}^{- \frac{1}{2}} \frac{2 (s^{2} + 4) s - (s^{2} + 1) (2 s + 0)}{{(s^{2} + 4)}^{2}}$

خطوة 9.8

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.8.1

أضف $2 s$ و $0$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{s^{2} + 1}{s^{2} + 4})}^{- \frac{1}{2}} \frac{2 (s^{2} + 4) s - (s^{2} + 1) (2 s)}{{(s^{2} + 4)}^{2}}$

خطوة 9.8.2

اضرب $2$ في $- 1$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{s^{2} + 1}{s^{2} + 4})}^{- \frac{1}{2}} \frac{2 (s^{2} + 4) s - 2 (s^{2} + 1) s}{{(s^{2} + 4)}^{2}}$

خطوة 9.8.3

اضرب $\frac{2 (s^{2} + 4) s - 2 (s^{2} + 1) s}{{(s^{2} + 4)}^{2}}$ في $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2 (s^{2} + 4) s - 2 (s^{2} + 1) s}{{(s^{2} + 4)}^{2} \cdot 2} {(\frac{s^{2} + 1}{s^{2} + 4})}^{- \frac{1}{2}}$

خطوة 9.8.4

انقُل $2$ إلى يسار ${(s^{2} + 4)}^{2}$ .

$\frac{2 (s^{2} + 4) s - 2 (s^{2} + 1) s}{2 \cdot {(s^{2} + 4)}^{2}} {(\frac{s^{2} + 1}{s^{2} + 4})}^{- \frac{1}{2}}$

خطوة 10

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

غيّر علامة الأُس بإعادة كتابة الأساس في صورة مقلوبه.

$\frac{2 (s^{2} + 4) s - 2 (s^{2} + 1) s}{2 {(s^{2} + 4)}^{2}} {(\frac{s^{2} + 4}{s^{2} + 1})}^{\frac{1}{2}}$

خطوة 10.2

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{s^{2} + 4}{s^{2} + 1}$ .

$\frac{2 (s^{2} + 4) s - 2 (s^{2} + 1) s}{2 {(s^{2} + 4)}^{2}} \cdot \frac{{(s^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{{(s^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 10.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{(2 s^{2} + 2 \cdot 4) s - 2 (s^{2} + 1) s}{2 {(s^{2} + 4)}^{2}} \cdot \frac{{(s^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{{(s^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 10.4

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{2 s^{2} s + 2 \cdot 4 s - 2 (s^{2} + 1) s}{2 {(s^{2} + 4)}^{2}} \cdot \frac{{(s^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{{(s^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 10.5

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{2 s^{2} s + 2 \cdot 4 s + (- 2 s^{2} - 2 \cdot 1) s}{2 {(s^{2} + 4)}^{2}} \cdot \frac{{(s^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{{(s^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 10.6

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{2 s^{2} s + 2 \cdot 4 s - 2 s^{2} s - 2 \cdot 1 s}{2 {(s^{2} + 4)}^{2}} \cdot \frac{{(s^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{{(s^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 10.7

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.7.1

ارفع $s$ إلى القوة $1$ .

$\frac{2 (s^{1} s^{2}) + 2 \cdot 4 s - 2 s^{2} s - 2 \cdot 1 s}{2 {(s^{2} + 4)}^{2}} \cdot \frac{{(s^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{{(s^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 10.7.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{2 s^{1 + 2} + 2 \cdot 4 s - 2 s^{2} s - 2 \cdot 1 s}{2 {(s^{2} + 4)}^{2}} \cdot \frac{{(s^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{{(s^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 10.7.3

أضف $1$ و $2$ .

$\frac{2 s^{3} + 2 \cdot 4 s - 2 s^{2} s - 2 \cdot 1 s}{2 {(s^{2} + 4)}^{2}} \cdot \frac{{(s^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{{(s^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 10.7.4

اضرب $2$ في $4$ .

$\frac{2 s^{3} + 8 s - 2 s^{2} s - 2 \cdot 1 s}{2 {(s^{2} + 4)}^{2}} \cdot \frac{{(s^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{{(s^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 10.7.5

ارفع $s$ إلى القوة $1$ .

$\frac{2 s^{3} + 8 s - 2 (s^{1} s^{2}) - 2 \cdot 1 s}{2 {(s^{2} + 4)}^{2}} \cdot \frac{{(s^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{{(s^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 10.7.6

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{2 s^{3} + 8 s - 2 s^{1 + 2} - 2 \cdot 1 s}{2 {(s^{2} + 4)}^{2}} \cdot \frac{{(s^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{{(s^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 10.7.7

أضف $1$ و $2$ .

$\frac{2 s^{3} + 8 s - 2 s^{3} - 2 \cdot 1 s}{2 {(s^{2} + 4)}^{2}} \cdot \frac{{(s^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{{(s^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 10.7.8

اضرب $- 2$ في $1$ .

$\frac{2 s^{3} + 8 s - 2 s^{3} - 2 s}{2 {(s^{2} + 4)}^{2}} \cdot \frac{{(s^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{{(s^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 10.7.9

اطرح $2 s^{3}$ من $2 s^{3}$ .

$\frac{8 s + 0 - 2 s}{2 {(s^{2} + 4)}^{2}} \cdot \frac{{(s^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{{(s^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 10.7.10

أضف $8 s$ و $0$ .

$\frac{8 s - 2 s}{2 {(s^{2} + 4)}^{2}} \cdot \frac{{(s^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{{(s^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 10.7.11

اطرح $2 s$ من $8 s$ .

$\frac{6 s}{2 {(s^{2} + 4)}^{2}} \cdot \frac{{(s^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{{(s^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 10.7.12

احذِف العامل المشترك لـ $6$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.7.12.1

أخرِج العامل $2$ من $6 s$ .

$\frac{2 (3 s)}{2 {(s^{2} + 4)}^{2}} \cdot \frac{{(s^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{{(s^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 10.7.12.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.7.12.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2 {(s^{2} + 4)}^{2}$ .

$\frac{2 (3 s)}{2 ({(s^{2} + 4)}^{2})} \cdot \frac{{(s^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{{(s^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 10.7.12.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 (3 s)}{2 {(s^{2} + 4)}^{2}} \cdot \frac{{(s^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{{(s^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 10.7.12.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{3 s}{{(s^{2} + 4)}^{2}} \cdot \frac{{(s^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{{(s^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 10.7.13

اضرب $\frac{3 s}{{(s^{2} + 4)}^{2}}$ في $\frac{{(s^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{{(s^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{3 s {(s^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{{(s^{2} + 4)}^{2} {(s^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 10.7.14

انقُل ${(s^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{3 s}{{(s^{2} + 4)}^{2} {(s^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(s^{2} + 4)}^{- \frac{1}{2}}}$

خطوة 10.7.15

اضرب ${(s^{2} + 4)}^{2}$ في ${(s^{2} + 4)}^{- \frac{1}{2}}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.7.15.1

انقُل ${(s^{2} + 4)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 s}{{(s^{2} + 4)}^{- \frac{1}{2}} {(s^{2} + 4)}^{2} {(s^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 10.7.15.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{3 s}{{(s^{2} + 4)}^{- \frac{1}{2} + 2} {(s^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 10.7.15.3

لكتابة $2$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3 s}{{(s^{2} + 4)}^{- \frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{2}{2}} {(s^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 10.7.15.4

اجمع $2$ و $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3 s}{{(s^{2} + 4)}^{- \frac{1}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2}} {(s^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 10.7.15.5

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{3 s}{{(s^{2} + 4)}^{\frac{- 1 + 2 \cdot 2}{2}} {(s^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 10.7.15.6

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.7.15.6.1

اضرب $2$ في $2$ .

$\frac{3 s}{{(s^{2} + 4)}^{\frac{- 1 + 4}{2}} {(s^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 10.7.15.6.2

أضف $- 1$ و $4$ .

$\frac{3 s}{{(s^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}} {(s^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$